Свойства вероятности

Свойства вероятности

Теорема 1. Если события А и В несовместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)                                                         (1)

Доказательство, Пусть число всех исходов равно п. В число исходов, благоприятных событию А + В, входят все исходы, благоприятные событию А и все исходы, благоприятные событию В. Так как события А и В несовместны, то среди перечисленных исходов нет одинаковых. Поэтому т(А + В) = т(А) + т(В). Следовательно,

что и требовалось доказать.

Задача. В урне 8 белых, 5 синих и 2 красных шара. Какова вероятность того, что вынутый шар будет синего или красного цвета?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что вынут синий шар, а событие В — вынут красный шар. Тогда Р(А) = , Р(В) = . Событие А + В означает, что вынут шар синего или красного цвета. Так как события А и В несовместны, то вероятность события А + В вычисляется по формуле (1)

Р(А +В) =  +  =

Рекомендуемые материалы

Теорема 2. Справедлива формула

                                                                    (1)

Доказательство. Так как события А к А несовместны, то по формуле (1)

Р(А +) = Р(А) + Р().

С другой стороны, событие А +  является достоверным, поэтому по свойству II из §2 имеем Р(А + ) = 1. Следовательно, Р() + Р(А) = 1, отсюда Р(А) = 1 – Р(А), что и требовалось доказать.

Задача. Один лотерейный билет выигрывает с вероятностью 0,0001. Какова вероятность того, что владелец одного билета ничего не выиграет?

Решение. Пусть событие А означает выигрыш. Тогда  означает, что билет не выигрывает. По формуле (2)

Р() = 1 - 0,0001 = 0,9999.

Люди также интересуются этой лекцией: 4.2. Защита информации в глобальной сети Internet.

Замечание. Формулу (1) можно распространить на любое число событий. Методом математической индукции доказывается, что если события А±, аз, ..., А_п, попарно несовместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле

Р(А₁₊А₂+...+ А_п) = P(Aj) + Р(А₂) + ... + Р(А_п).                               (3)

УПРАЖНЕНИЕ

11. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 выбирают две и составляют двузначное число. Событие А — обе цифры числа четные; событие В — обе цифры нечетные. Что означают события , , А + В, , АВ? Найдите вероятности всех перечисленных событий.