Уравнения в полных дифференциалах (тотальные)
Уравнения в полных дифференциалах (тотальные).
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:
называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции 
Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде: 
Таким образом, для решения надо определить:
1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u;
2) как найти эту функцию.
Если дифференциальная форма 
является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать:
Рекомендуемые материалы
Т.е. 
.
Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х:
Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности.
Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u.
Проинтегрируем равенство 
:
Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром.
Определим функцию С(у).
Продифференцируем полученное равенство по у.
Откуда получаем: 
Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю.
Теперь определяем функцию С(у):
Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем:
Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:
Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена.
Пример. Решить уравнение 
Проверим условие тотальности: 
Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Определим функцию u.
Лекция "9 Информационные хранилища" также может быть Вам полезна.
;
Итого, 
Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:
