Скалярное произведение
§6. Скалярное произведение.
Определение 1. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное
произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними: 
Из §3 сразу следует, что скалярное произведение может быть записано в виде:
Свойства скалярного произведения.
1. (a,b) = (b,a) {Следует из коммутативности произведения чисел и четности косинуса}
2. 
.
3. (а , b + c) = (a , b) + (a , c) .
Рекомендуемые материалы
{Два последних свойства следуют из соответствующих свойств проекций (§3) }
4. 
{Очевидно}
Скалярное произведение вектора на себя называют скалярным квадратом вектора. Последнее свойство утверждает, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
Следующая теорема имеет принципиальное значение не только для векторного пространства, но и для любого его обобщения.
Теорема (необходимое и достаточное условие ортогональности). Два вектора взаимно ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:
{Н.( 
) 
Д.( 
) 
}
Люди также интересуются этой лекцией: 9 Основы пожарной безопасности.
Указанные свойства позволяют легко вычислять скалярные произведения по известным характеристикам векторов.
Пример. Вычислить 
, если 
{
}
В действительности, более существенным является обратное утверждение: зная скалярные произведения, можно находить как длины векторов, так и углы между векторами:
Однако, для того, чтобы пользоваться данными формулами, необходимо уметь вычислять скалярное произведение, зная только координаты векторов.
