§ 3. Процесс гибели и размножения

Построим процесс гибели и размножения X(t) «конструктивно».

Рассмотрим  две  последовательности            и           . Первая - отвечает за поступление клиентов в систему (размножение), а вторая - за обслуживание клиентов (гибель):

- интенсивность поступления клиентов (число клиентов, которое поступает в систему за единицу времени, если в ней i клиентов). 

- интенсивность обслуживания клиентов (число клиентов, которое обслуживается в системе за единицу времени, если в ней i клиентов).

Кроме того, пусть заданы две независимые последовательности  независимых случайных величин с показательным распределением с параметром =1.

Процесс X(t) строится так. Пусть , где . Тогда на интервале  процесс X(t) сохранит свое значение , где ,

.

Рекомендуемые материалы

  В момент t₁  значение процесса X(t) либо увеличится, либо уменьшится на единицу в соответствии с тем, какой из двух моментов  наступит раньше:

Мы положили, таким образом, значение процесса X(t) в точке t₁ равным ; тогда эволюция процесса X(t) на интервале , где  и , подчиняется тому же закону закону: X(t) не меняется на этом интервале в момент t₂

увеличивается на единицу, если , и уменьшается на единицу в противном случае.

       Если же , то значение процесса X(t) увеличивается на единицу в случайный момент .

       Построенный таким образом процесс , называется однородным по времени процессом гибели и размножения; его распределения полностью определяются набором параметров            ,              и начальным распределением X(0):

       Удобно использовать следующую диаграмму для представления развития процесса X(t):

Стрелочки сверху соответствуют динамике процесса размножения: из i-го состояния процесс переходит в (i+1)-е состояние с интенсивностью ; стрелочки снизу соответсвуют динамике процесса гибели: с интенсивностью процесс из i-го состояния переходит в (i-1)-е состояние.

Набор функций

описывает распределение процесса X(t); ниже мы приведем систему уравнений, которым удовлетворяют эти функции.

       Отметим, что не всякому набору параметров  отвечает «невырожденный» процесс X(t); дело в том, что если числа  растут очень быстро при , то процесс X(t) в конечный момент t может «взорваться», т.е. с положительной вероятностью превысить любой уровень и возрасти до .  Так ведут себя, например, популяция бактерий в благоприятной среде. Аналогично устроены процессы, описывающие химические реакции, приводящие к взрыву.

       Процессы X(t), для которых все , относятся к так называемым процессам чистого размножения. Процессы, для которых , называют процессами чистой гибели.

       Следующая лемма дает необходимые и достаточные условия на параметры , которые гарантируют конечность процесса чистого размножения с параметрами .

       Лемма. Пусть процесс чистого размножения с параметрами . Тогда для конечности процесса необходимо и достаточно, чтобы расходился ряд 

Пусть X(t) процесс гибели и размножения с теми же параметрами  процесса , а также параметрами . Очевидно, что

P(X(t) < ¥) ³ P(X⁺(t) < ¥) .

Поэтому из леммы получаем следствие.

       Следствие. Если для произвольного процесса гибели размножения X(t) выполнено условие , то для любого  справедливо P(X(t) < ¥) = 1, т.е. процесс конечен.

       Доказательство леммы можно найти в [   ].

Задачи к § 3

3.1. Рассмотрим процесс гибели и размножения, для которого

Требуется изобразить диаграмму, отвечающую этому процессу.

3.2. Пусть клиенты, которые хотят получить справку по телефону, образуют простейший поток с параметром . Пусть каждый разговор длится -показательное время. Пусть X(t) – число клиентов в системе в момент t. Изобразить диаграмму, отвечающую процессу X(t).

3.3. Пусть в условиях задачи 3.2

1) телефон имеет память на одного клиента: если клиент звонит и телефон занят, но память телефона свободна, то автомат предлагает положить трубку и ждать звонка. Когда телефон освободится, звонок прозвучит;

2) имеется автоматический коммутатор и два телефона, у каждого телефона свой оператор: если в момент звонка клиента имеется свободный телефон, то коммутатор автоматически адресует клиента на этот телефон;

3) коммутатор (см п.2)) имеет память на одного клиента;

Вместе с этой лекцией читают "Политическое развитие страны".

4) каждый телефон (см.п.2)) имеет память на одного клиента.

Для всех вышеперечисленных случаев изобразить диаграмму, отвечающему процессу X(t).

3.4. Установить, являются ли конечными процессы чистого размножения со следующими интенсивностями размножения:

а) l_k =kl+a,   l>0,   a >0,   k = 0, 1, ...

б) l₀ = 1,   l_k+1 = (k+1)l_k,   k = 0, 1, ...

в) l_k = g^k,   k = 0, 1, ...   g > 0.