Методы измерения и изучения устойчивости временного ряда
Тема 5: Методы измерения и изучения устойчивости временного ряда.
Категорию устойчивости рассматривают с двух позиций:
o устойчивость уровней ряда;
o устойчивость тренда.
Согласно статистической теории, статистический показатель содержит в себе элементы необходимого и случайного. Необходимость проявляется в форме тенденции временных рядов, а случайность в форме колебаний уровней относительно тренда. Тенденцией характеризуется процесс эволюции.
Расчленение временных рядов на составляющие элементы – условный описательный прием. Тем не менее, решающим фактором, обусловливающим тенденцию является целенаправленная деятельность человека, а главной причиной колеблемости – изменение условий жизнедеятельности.
Отсюда следует, что устойчивость не означает обязательного повторения одинакового уровня из года в год. Слишком узким было понятие устойчивости ряда как полное отсутствие любых колебаний уровней.
Сокращение колебаний уровней ряда – одна из главных задач при повышении устойчивости.
Устойчивость временных рядов - это наличие необходимой тенденции изучаемого показателя с минимальным влиянием на него неблагоприятных условий.
Рекомендуемые материалы
Для измерения устойчивости уровней временных рядов используют следующие показатели:
1) размах колеблемости - определяется как разница средних уровней за благоприятные и неблагоприятные по отношению к изучаемому явлению периоды времени:
R=y благопр – унеблагопр
К благоприятным периодам времени относятся все периоды с уровнями выше тренда, а к неблагоприятным – ниже тренда.
2) индекс устойчивости:
i=
3)среднее линейное отклонение:
d=
1) среднее квадратическое отклонение:
S(t)=
Уменьшение колеблемости во времени будет равнозначно устойчивости уровней.
Для характеристики устойчивости рекомендуются также следующие показатели:
1) процентный размах (PR):
PR=Wmax-Wmin
Wmax/min – max/min относительный прирост.
W=
2) Скользящая средняя (МА) оценивает величину среднего отклонения от уровня скользящих средних (хt):
МА=
xt=
3) Среднее процентное изменение (АРС) оценивает среднее значение абсолютных величин, относительных приростов и квадратов относительных приростов:
АРС=
Для оценки устойчивости уровней временных рядов применяются относительные показатели колеблемости:
V(t)=
V(t)=
K=100 – V(t) – коэффициент устойчивости (в процентах или долях единиц).
Для измерения устойчивости тенденции динамики (тренда) используют следующие показатели:
1) коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена):
Кр=1-,
d - разность рангов уровней изучаемого ряда и рангов номеров периодов или моментов времени.
d = Ry – Rt
Для определения этого коэффициента величины уровней нумеруют в порядке возрастания, а при наличии одинаковых уровней им присваивается определенный ранг равный частному от деления рангов, приходящихся на число этих равных значений.
Коэффициент Спирмена может принимать значения в пределах от 0 до ±1. Если каждый уровень исследуемого периода выше, чем предыдущего, то ранги уровней ряда и номера лет совпадают – Кр=+1. Это означает полную устойчивость самого факта роста уровней ряда, то есть непрерывность роста. Чем ближе Кр к +1, тем ближе рост уровней к непрерывному, то есть выше устойчивости роста. Если Кр=0, рост совершенно неустойчив.
При отрицательных значениях чем ближе Кр к -1, тем устойчивее уменьшение изучаемого показателя.
2) индекс корреляции (ИК):
I=
Индекс корреляции показывает степень сопряженности колебаний исследуемых показателей с совокупностью факторов, изменяющих их во времени. Приближение индекса корреляции к 1 означает, большую устойчивость изменения уровней временных рядов.
Число уровней ряда у двух показателей должно быть одинаково.
Применяются также комплексные показатели устойчивости, сущность которых заключается в определении их не через уровни временных рядов, а через показатели их динамики.
1. Показатель Каякиной определяется как отношение среднего прироста линейного тренда, т.е. параметра а1 к среднему квадратическому отклонению уровней от тренда:
Кк=
Чем больше величина этого показателя, тем менее вероятно, что уровень ряда в следующем периоде будет меньше предыдущего.
2. Показатель опережения, который получают, сопоставляя темпы роста уровней ряда с темпами значения колеблемости:
К0=
Если показатель опережения > 1, то это свидетельствует о том, что уровни ряда в среднем растут быстрее колебаний или снижаются медленнее колебаний. В таком случае коэффициент колеблемости уровней будет уменьшаться, а коэффициент устойчивости уровней увеличиваться. Если показатель опережения меньше 1, то колебания растут быстрее уровней тренда и коэффициент колеблемости растет, а коэффициент устойчивости уровней уменьшается, то есть показатель опережения определяет направление динамики коэффициента устойчивости уровней.
Пример:
T | yt | Ранжиров.уровни | Сравнение рангов | d | d2 | ||
yi | Py | Ry | Rt | ||||
1 | 12,0 | 11,0 | 1 | 2 | 3 | -1 | 1 |
2 | 18,8 | 12,0 | 2 | 5 | 1 | 4 | 16 |
3 | 11,0 | 15,4 | 3 | 1 | 8 | -7 | 49 |
4 | 29,0 | 17,5 | 4 | 9 | 5 | 4 | 16 |
5 | 17,5 | 18,8 | 5 | 4 | 2 | 2 | 4 |
6 | 23,4 | 20,7 | 6 | 7 | 10 | -3 | 9 |
7 | 35,6 | 23,4 | 7 | 10 | 6 | +4 | 16 |
8 | 15,4 | 26,1 | 8 | 3 | 9 | -6 | 36 |
9 | 26,1 | 29,0 | 9 | 8 | 4 | 4 | 16 |
10 | 20,7 | 35,6 | 10 | 6 | 7 | -1 | 1 |
Кр=1-
Ответ: так как Кр ближе к 0, то рост тренда устойчив.
Расчет индекса корреляции
t | Yt | t´ | Yt* t´ | t2 | yтеор | Yt-y | (yt-y)2 | (yt-yтеор)2 |
1 | 12,0 | -5 | -60 | 25 | 16,25 | -9 | 81 | 18,06 |
2 | 18,8 | -4 | -75,2 | 16 | 17,2 | -2,2 | 4,84 | 2,56 |
3 | 11,0 | -3 | -33 | 9 | 18,15 | -10 | 100 | 51,12 |
4 | 29,0 | -2 | -58 | 4 | 19,1 | +8 | 64 | 98,01 |
5 | 17,5 | -1 | -17,5 | 1 | 20,05 | 3,5 | 12,25 | 6,5 |
6 | 23,4 | 1 | 23,4 | 1 | 21,91 | 2,4 | 5,76 | 2,2 |
7 | 35,6 | 2 | 71,2 | 4 | 22,9 | 11,6 | 134,56 | 161,29 |
8 | 15,4 | 3 | 46,2 | 9 | 23,85 | 5,6 | 31,36 | 71,4 |
9 | 26,1 | 4 | 104,4 | 16 | 24,8 | 5,1 | 26,01 | 1,69 |
10 | 20,7 | 5 | 103,5 | 25 | 25,75 | 0,3 | 0,09 | 25,5 |
Итого | 110 | 459,87 | 438,33 |
Утеор=а0+а1t
а0= а1=
I =
Обратите внимание на лекцию "2 Роль и содержание комплексного анализа в управлении".
a0=
a1=
Утеор=21+0.95t
Y=21.04
I=
Ответ. Так как I=0,216, т.е. близок к «0», то рост тренда неустойчив.