Расчет параметров и размерный анализ

8.0 Введение

Можно вычислять параметры двигателя в стиле, применённом в упражнениях 7.1 и 7.2 для каждого эксплуатационного режима, например, для каждой высоты, скорости полёта и режима работы двигателя. Но этот путь не является лучшим при рассмотрении характеристик, так как он не прослеживает самого главного. Альтернативой ему служит использование размерного анализа, то есть создания групп комплексов, которые фактически являются безразмерными, и далее создание групп с реальными количественными показателями (пусть не безразмерными, но сохраняющими их идеи).

Использование идеи подобия режимов и параметров делает возможным оценку  работы двигателя на различных высотах и числах Маха полёта, когда двигатель работает в том же самом безразмерном состоянии, на том же режиме (т.е. в подобных условиях).

8.1 Параметры и характеристики двигателя

На рисунке 8.1 схематично показан двигатель, установленный под крылом. Назначение пилона заключается в передаче силы между двигателем и крылом, и подаче топлива в двигатель. Управление  двигателем  осуществляется изменением подачи  топлива. Совсем недавно управление потоком топлива с учётом температуры и давления воздуха на входе в двигатель и контролирование всех параметров осуществлялось механическим регулятором. Теперь все процессы осуществляются электронным регулятором, который определяет расход топлива, а так же назначает любые переменные. Однако электронный регулятор не изменяет  фундаментальные зависимости, например, между вращательной скоростью двигателя (частотой вращения ротора) и количеством топлива, атмосферными условиями и скоростью полёта. Поэтому можно считать, что любая переменная в двигателе выражается через функции  и V.

Управление двигателем осуществляется таким образом, что изменение одного набора безразмерных параметров определяет все остальные. Например, определив отношение температуры торможения на входе в турбину к температуре торможения на входе в компрессор T₀₄ / T₀₂, устанавливаем отношение давлений, безразмерный топливный поток и безразмерную вращательную скорость. Аналогично в многовальном двигателе, отношение между скоростями валов также определяется степенью повышения температуры. Состояние двигателя также может быть определено изменением одной из степеней повышения давления (например, P₀₃ / P₀₂) или безразмерной вращательной скоростью (относительной частотой вращения ротора).

Рекомендуемые материалы

На рисунке 8.1 изображён двигатель, установленный на пилоне крыла, показана контрольная поверхность, на которой создаётся тяга. Двигатель показан со смешением потока газогенератора и потока внешнего контура с общим реактивным соплом.

Рисунок 8.1. Двигатель, установленный на пилоне крыла.

Мы можем упростить некоторые детали без существенной потери качества. Для большинства эксплуатационных режимов двигателя реактивное сопло, для основного потока и потока внешнего контура будет  запираться, такое явление называется сверхкритическим режимом. Это означает, что двигатель не воспринимает окружающее статическое давление на выходе из сопла. На двигатель заметное влияние оказывают параметры воздуха на входе в компрессор,  это  совокупность давления торможения Р₀₂ и температуры Т₀₂ воздуха, входящего в двигатель, которые и определяют состояния и условия работы, происходящей внутри двигателя. Это означает, что двигатель реагирует на условия торможения на входе, но не воспринимает поступательную скорость полёта.

8.2 Безразмерные переменные двигателя

Чтобы продемонстрировать безразмерное вычисление, рассмотрим массовый поток воздуха, проходящий через двигатель. Его величину можно определить через функцию от скорости вращения N одного из валов:

или в функции температуры на входе в турбину:

или через расход топлива:

Используемая комбинация переменных зависит от того, нахождение чего является более рациональным и доступным при заданных условиях - другими словами, какую величину необходимо определить при известных других. Естественная безразмерная переменная для массового потока  была определена в разделе 6.4:

, D - используемый диаметр двигателя, обычно диаметр вентилятора, а D² соответственно обозначает площадь. Выражение (8.1a) в безразмерной форме примет вид:

где отношение  пропорционально скорости вращения концевой части лопасти, разделенной на скорость звука, которая есть функция от температуры торможения на входе. Выражение (8.1б), аналогично приведённое к безразмерной форме примет вид:

Уравнение (8.1.c) приняло вид:

8.3 Безразмерное представление тяги

Одна из основных переменных, которую необходимо рассчитать для различных режимов работы двигателя - это тяга. Необходимо различать тягу брутто F_G и тягу нетто F_N, которые согласно выражению, определённому в теме 3, находятся в соотношении:

,

где V - скорость полёта, а - входной импульс. В формуле тяги нетто кроме режима эксплуатации двигателя присутствует скорость полёта. Поэтому для получения безразмерной группы более удобно использовать тягу брутто, позже преобразовав её в тягу нетто (если возникнет необходимость).

При учёте того, что массовый поток топлива выражается величиной относительно небольшой, по сравнению с  массовым потоком воздуха, определение тяги брутто примет вид:

В сужающемся реактивном сопле только часть расширения происходит до критического сечения, которое является выходной частью сопла; реактивную скорость можно вычислить с небольшой погрешностью, принимая процесс расширения в реактивном сопле изоэнтропическим, до достижения атмосферного давления, как было сделано в предыдущих темах. Режим двигателя, не зависит от атмосферного давление P_a, потому что реактивное сопло заперто, но параметры двигателя при вычислении тяги брутто зависят от давления торможения на входе P₀₂.

Можно применить уравнение сохранения импульса потока из реактивного сопла с учетом давлений, действующих на реактивное сопло, как показано на рисунке 8.1, тогда получим:

 

где  – разница давления между выходом из сопла  и статическим давлением окружающей атмосферы,  - скорость в критическом сечении сопла  и  - площадь сопла.  Так как массовый расход через внешний контур больше чем через газогенератор, то скорости, давления и площади, используемые на выходе из сопла, обозначаются индексом «19 ». Давление на выходе из сопла , является статическим давлением в критическом сечении, которое несколько большее, чем окружающее давление, следовательно, разность  имеет положительную величину.        Переформулированное выражение реактивной тяги примет вид:

 Тяга брутто с добавлением произведения  теперь определена, так как все рассматриваемые нами параметры ( и ), являются внутридвигательными. Другими словами, как только операционная точка двигателя установлена, они зависят только от параметров торможения давления и температуры на входе. Таким образом, в безразмерной форме комбинация условий работы двигателя запишется как:

что можно переписать в виде:

             На рисунке 8.2 изображены характеристики для существующего двигателя с большой степенью двухконтурности, показана зависимость удельного расхода топлива от тяги при заданной постоянной высоте и различных числах Маха. Для случая (a) изображён график в функции изменения температуры газа на входе в турбину, случай (b) отображает тот же самый диапазон в функции скорости вращения ротора ВД.   

Рисунок 8.2. Зависимость удельного расхода топлива от тяги для двигателя с большой степенью двухконтурности.

8.4 Практические параметры для вычислений

В безразмерной группе для массы потока воздуха ясно, что C_P всегда является постоянным, а D² будет постоянным для данного двигателя. Поэтому безразмерная группа записывается в виде:

,

которая часто используется для описания массового потока, хотя при этом величина его величина уже имеет размерность. Аналогично, для потока топлива теплотворная способность будет величиной постоянной и поэтому для топлива расчетная сокращённая форма примет вид:

.

Заметим, однако, что  температура торможения на входе, находится в числителе для воздуха, но в знаменателе для топлива. Только незнающий, после ознакомления с правилами размерного анализа обращался бы с массой потока топлива и массой  потока воздуха, как эквивалентными величинами и не замечал бы различия.

Тот же самый подход исключения постоянных терминов используется для других переменных, так например, безразмерная скорость, сокращённая до  примет вид приведенной скорости:

,

где , а - стандартная температура на входе, обычно составляющая 288.15 К. Величина θ - обычно близка к единице, следовательно, значение величины приведенной скорости стремится к величине фактической скорости, и поэтому интуитивный смысл величины сохранён. Та же самая зависимость может быть применена для вычисления фактической величины приведенного массового потока (выраженного в единицах кг /сек), полученной из безразмерного выражения:

,

где значения величин θ и δ находятся как:  и , соответственно.

Упражнение 8.1

a) Покажите, что для постоянного числа Маха полета отношение температуры торможения входа к окружающей статической температуре T_o2/T_a  и   давления   торможения  входа к окружающему статическому давлению, Р₀₂/P_a  постоянно. Используйте постоянство Р₀₂/P_a, чтобы показать, что тяга полная будет пропорциональна . Другими словами полная тяга пропорциональна окружающему давлению при постоянном числе Маха и заданном режиме двигателя.

Тяга в полете F_N, равна полной тяге минус входной импульс  m_airV. Покажите при постоянном числе Маха и условно принятом  и, следовательно, . Используйте это, чтобы доказать, что для постоянного Числа Маха полета и двигателя, с постоянной геометрией, тяга в полете F_N также пропорциональна окружающему давлению.

б) В Упражнении 7.2б тяга нетто, требуемая в начале крейсерского режима на высоте 31000 футов и  числе Маха 0.85, позволила найти массовый поток воздуха и полную тягу. Для того же самого числа Маха полета вычислите  массовый поток воздуха и полную и полетную тяги  от каждого двигателя на высоте 41000 футов (p_a = 17.9 кПа, T_a=216.7 K) с двигателем в том же самом безразмерном эксплуатационном режиме.

( Ответ: для bpr = 6; m_air = 328 кг/с, F_G = 129 кН, F/v = 46.8 кН)

Если качество крыла самолета неизменно  20, какой будет максимальная масса самолета, которую может нести силовая установка, если М = 0.85 и Н=41000 футов со всеми четырьмя двигателями, работающими в том же самом безразмерном состоянии?         

(Ответ: максимальная масса = 381 тонна)

Упражнение 8.2*

a) Для двигателя упражнения 7.1 и 7.2, со степенью двухконтурности 6, температура торможения и давление  вниз по потоку канала обхода будут T₀₁₃=312.8 К и P₀₁₃ = 83.2 кН на высоте крейсерского режима 31000 футов и М=0.85. Массовый  поток через обход - 6/7  целого массового потока, найденного в упражнении 7.2б, для обеспечения  514 кг/с. Реактивное сопло внешнего контура сходящееся так что число Маха на выходе сопла равно единице. (Тогда площадь критическая безразмерная составит величину 1.281.)  Найдите для реактивного сопла наружного контура площадь, статическую температуру ,статическое давление и скорость.

 (Ответ :A_Nb = 2.31м²; Т₁₉ до 261 K; p₁₉ = 43.9 кПа; V₁₉ = 323.6 м/с)

б)          Из  кривых, показанных на рис. 7.5 ясно, что реально разработанный двигатель с bpr = 6 имел скорость реактивного сопла обхода приблизительно 0.78 от основной реактивной скорости и в итоге имел  параметры таблицы в главе 7. Для этой комбинации реактивных скоростей суммарная площадь реактивного сопла (обхода и основного) - 3.14 м². Используйте эту величину, чтобы оценить выражение(F_g + P_aA_N)/А_NP₀₂ при крейсерском режиме полета (обратите внимание, что характерная площадь D² в уравнениях  была заменена). Вспомните, что на этой высоте и числе Маха p_a = 28.7 кПа и P₀₂=46.0кПа.

( Ответ: 2.06)

Для той же самой безразмерной рабочей точки (например, постоянные величины  или ) группа  будет неизменна. Следовательно, найдите полную тягу для уровня моря при статических испытаниях, когда P₀₂= P_a = 101 кПа, T₀₂ = T_a = 288 K.             

(Ответ: F_G = F/v=336 кН)

в)  Найти температуру на входе в турбину и полный массовый поток для испытания на уровне моря.

( Ответ: Т_o4 = 1610 K; m_ajr = 1070 кг/с)

Упражнение 8.3

Величина удельного расхода топлива, характерная для начального режима крейсерского полёта была получена в упражнении 7.1. Какой будет величина удельного расхода топлива при стендовых испытаниях на высоте уровня моря с двигателем, величина степени двухконтурности которого составляет = 6?

(Обратите внимание, что величина удельного расхода топлива основана на величине тяги полёта). (Ответ: величина удельного расхода топлива ()= 0.269 кг / час / кг)

В лекции "4 Зубчатые передачи" также много полезной информации.

Резюме темы 8

Создание безразмерных групп намного облегчает процесс выбора подходящих (уместных, приемлемых) переменных. Большинство двигателей работает с запертым реактивным соплом (т.е. на критическом режиме), поведение характеристик и параметров двигателя тогда полностью определяются потоком топлива, температурой и давлением торможения на входе. Степени повышения температуры, степени повышения давления в двигателе и безразмерные скорости также определены, значит можно определить массовый поток воздуха. Для определения величины тяги брутто, окружающее статическое давление должно быть также включено в число  переменных, а для определения тяги нетто,  кроме этого требуется введение величин скорости или числа Маха полёта.

Безразмерное выражение для массового потока топлива заметно отличается от выражения для входящего в двигатель массового потока воздуха.

Для заданного числа Маха, тяга нетто данного двигателя пропорциональна окружающему статическому давлению, принимая во внимание тот факт, что удельный расход топлива обратно пропорционален квадратному корню из окружающей статической температуры. Используя безразмерные переменные, или  полученные от них  размерные переменные, можно оценить параметры на скоростях и высотах, отличные от тех, которые были получены при проектировании или при испытаниях. Потеря тяги одним из двигателей четырёхмоторного самолёта приведёт к сокращению высоты полёта примерно на 7 000 футов, что для установившегося полёта составит около 7% потерь.

Далее тема 9 излагается в 2-х вариантах: в терминах наших стандартов и в прямом английском