Характеристики избирательности частотных фильтров

3. Характеристики избирательности частотных фильтров

3.1. Частотные фильтры

Частотным фильтром называют четырехполюсник, комплексный коэффициент передачи, АЧХ и ФЧХ которого требуемым образом изменяются в заданном диапазоне частот. Он обладает способностью пропускать сигналы с входа на выход или подавлять (задерживать) их в определенных частотных интервалах.

Частотный фильтр избирательно реагирует на сигнал в зависимости от его частоты. Частотная избирательность обусловлена двумя явлениями:

- зависимостью от частоты сопротивлений реактивных элементов L и C;

- электрическим резонансом в цепи, содержащей емкости и индуктивности.

Резонанс – это явление резкого нарастания амплитуды колебаний (тока или напряжения) в цепи по сравнению с амплитудой источника (воздействия) при приближении частоты сигнала к собственной (резонансной) частоте цепи. Резонансные явления наблюдаются и в механических системах.

3.2. Характеристики избирательности

Избирательность характеризует способность четырехполюсника со свойствами частотного фильтра хорошо передавать на выход сигналы одних частот и подавлять сигналы на других частотах.

Рекомендуемые материалы

Для четырех основных типов фильтров: нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосовых (ПФ) и режекторных (РФ), типовые графики амплитудно-частотных характеристик показаны на рис. 3.1.

Фильтры  нижних  частот  (ФНЧ)   и  полосовые   фильтры

51

(ПФ) характеризуются прежде всего полосой пропускания  – диапазоном частот, внутри которого АЧХ уменьшается не более, чем в  раз  или  на   3    дБ    (децибела)    от 

                        Рис. 3.1                       носительно максимального   значения. Это определение применительно к полосовому фильтру иллюстрирует график на рис. 3.2. Прежде всего определяется максимум  АЧХ и величина АЧХ на границе полосы пропускания, равная . Затем  по  гра-

                    Рис. 3.2                    фику или из решения  урав-

                                                     нения

   

                                      (3.1)

находятся частоты  и , соответствующие границам полосы пропускания, которые называют частотами среза. Тогда полоса пропускания  равна

.                                     (3.2)

Для фильтров верхних частот (ФВЧ) и режекторных фильтров (РФ) полоса пропускания бесконечна, и для их описания используется полоса удержания   - диапазон  частот,

52

внутри которого АЧХ уменьшается более, чем в  раз или на 3 дБ (децибела) относительно максимального значения, что иллюстрирует график, показанный на рис. 3.3. Расчет проводится аналогично предыдущему и тогда                                                             Рис. 3.3

  ,                                     (3.3)

а частоты среза определяются из уравнения (3.1).

Полоса пропускания (удержания) характеризует частотный диапазон, в котором фильтр выполняет заданные функции передачи или удержания сигнала. Как видно из приведенных рисунков, характер передачи сигнала меняется достаточно плавно, и представляют интерес характеристики избирательности, показывающие резкость перехода от пропускания до удержания сигнала при изменении частоты.

Наилучшей избирательностью обладает идеальный фильтр с прямоугольной АЧХ и прямолинейной ФЧХ, как показано для ПФ на рис. 3.4. Постройте аналогичные графики для ФНЧ, ФВЧ и РФ.

Рис. 3.4

53

Такой идеальный фильтр физически нереализуем, но к его частотным характеристикам можно приблизиться за счет усложнения схемы реального фильтра.

Мерой близости АЧХ реального фильтра к показанной на рис. 3.4а является коэффициент прямоугольности . Для ФНЧ и ПФ он равен отношению полосы пропускания  на уровне   (-3 дБ) к аналогичной полосе пропускания  на уровне  (-20 дБ),

.                                  (3.4)

Расчет  иллюстрирует рис. 3.5. Полоса  вычисляется из уравнения

.   (3.5)

Для ФВЧ и РФ коэффициент прямоугольности

            Рис. 3.5                                  равен обратной  величи-

                                                           не,

.                                      (3.6)

Для реальных фильтров величина  всегда меньше единицы. Чем ближе  к 1, тем выше избирательность частотного фильтра. В инженерной практике используют и другие меры избирательности.

54

3.3. Фильтры первого порядка

Электрическая цепь имеет первый порядок, если она содержит один реактивный элемент. Можно рассматривать четыре простейших фильтра первого порядка, показанных на рис. 3.6.

Рис. 3.6

На рис. 3.6а и рис. 3.6б показаны два ФНЧ, а на рис. 3.6в и рис. 3.6г – два ФВЧ. В качестве примера рассмотрим ФНЧ рис. 3.6а.

Обозначим ток и напряжения, как показано на рис. 3.7. Тогда ток  в цепи равен 

,

а для выходного напряжения получим

.                         Рис. 3.7

По определению комплексный коэффициент передачи четырехполюсника равен

.

55

Определим АЧХ  (модуль ) с учетом того, что модуль частного равен отношению модуля числителя к модулю знаменателя,

.

Фазочастотная характеристика  как аргумент  равна разности аргументов числителя и знаменателя,

.

На рис. 3.8 показаны графики АЧХ (рис. 3.8а) и ФЧХ (рис. 3.8б) соответственно при кОм и нФ.

Рис. 3.8

 

Как видно по форме АЧХ, рассматриваемая цепь является типичным ФНЧ и форма частотных характеристик весьма далека от идеальной.

Вычислим полосу пропускания фильтра. Максимум АЧХ достигается при  и равен . Тогда для полосы пропускания  можно записать уравнение (рис. 3.9) вида

56

  ,

а полоса пропускания в рад/с равна

   .

                                                             Рис. 3.9

Как видно, для узкополосного ФНЧ необходимы большие значения сопротивления  и емкости .

Вычислим коэффициент прямоугольности  согласно (3.4), соответствующие полосы частот показаны на рис. 3.10. Полоса пропускания  на уровне  уже найдена, а аналогичная полоса  на уровне  определяется из уравнения

.

Его решение имеет вид

    

    ,

тогда коэффициент прямо-

угольности равен                                    Рис. 3.10 

.

57

Таким образом, простейший ФНЧ вида рис. 3.7 обладает низкой избирательностью, не зависящей от его параметров.

Проведем аналогичный анализ простейшего фильтра верхних частот, схема которого показана на рис. 3.11. Его комплексный коэффициент передачи равен

.

Для модуля (АЧХ) и аргумента (ФЧХ) получим

        Рис. 3.11                  

,

,

Их графики, построенные при кОм  и  мГн, показаны  на  рис. 3.12а и рис. 3.12б соответственно.

Рис. 3.12

Как видно, цепь является фильтром верхних частот. Для расчета полосы удержания  удобнее представить АЧХ в виде выражения

58

.

Его максимум , тогда из (3.1) получим уравнение

,

из которого получим выражение для полосы пропускания,

.

    

Для расчета коэффициента прямоугольности (3.6) определим полосу удержания  на уровне  от максимума как решение уравнения вида

,

тогда полоса  равна

.

Согласно (3.6), коэффициент прямоугольности равен

.

59

И в этом случае простой фильтр верхних частот имеет низкую избирательность.

3.4. Апериодические фильтры второго порядка

В фильтрах второго порядка присутствуют два реактивных элемента, при этом возможны следующие варианты:

- реактивные элементы одного типа (или две емкости, или две индуктивности);

- реактивные элементы разного типа (индуктивность и емкость).

Фильтры с одинаковыми реактивными элементами называют апериодическими. Их работа основана на зависимости от частоты реактивных сопротивлений индуктивностей или емкостей.

В качестве примера рассмотрим RC фильтр нижних частот второго порядка, схема которого показана на рис. 3.13.

При    известном   зна-

                 Рис. 3.13                       чении  входного  напряже-

                                                       ния  методом узловых напряжений определим выходное напряжение , схема цепи с необходимыми обозначениями показана на рис. 3.14. Выразим токи ветвей через узловое напряжение ,

,

                      Рис. 3.14

60

,

 .

По первому закону Кирхгофа  получим уравнение

,

решением которого является узловое напряжение

,

или после преобразований

.

Зная , нетрудно определить выходное напряжение,

.

Подставляя , получим

61

и комплексный коэффициент передачи будет равен

.

Годограф  (КЧХ цепи) показан на рис. 3.15.

Рис. 3.15

Определим АЧХ  рассматриваемого фильтра как модуль ,

.

График АЧХ  показан на рис. 3.16, а та же зависимость в децибелах -  на рис. 3.17, ФЧХ фильтра приведена на рис. 3.18 при кОм и нФ. Пунктиром на рис. 3.16 изображена АЧХ простого ФНЧ вида рис. 3.6а.

62

Рис. 3.16

Рис. 3.17

Рис. 3.18

Найдем полосу пропускания фильтра . Максимум АЧХ равен 1, тогда получим уравнение

.

63

Его решение имеет вид (получите его самостоятельно)

,

где введены обозначения

.

В частном случае при  и  получим

при этом полоса пропускания равна

.

Как видно из полученной формулы и из графиков АЧХ на рис. 3.16, рассматриваемый ФНЧ второго порядка имеет меньшую полосу пропускания, чем простейший ФНЧ вида рис. 3.6а при одинаковых величинах  и .

Вычислим коэффициент прямоугольности  ФНЧ на рис. 3.13. Для этого определим полосу пропускания  на уровне  от максимума, равного 1, из уравнения вида

.

64

Решая его аналогично предыдущему, получим

и коэффициент прямоугольности равен

,

где

.

Обозначим отношения сопротивлений и емкостей фильтра соответственно

тогда получим

.

Зависимость  показана на рис. 3.19а, а на рис. 3.19б – зависимость коэффициента прямоугольности от параметра .

65

Рис. 3.19

Для определения оптимальных параметров фильтра найдем значение , при котором обеспечивается минимум функции , решая уравнение

,

результат имеет вид

.

Чем больше , тем меньше оптимальное значение  и выше коэффициент прямоугольности.

Определим минимально достижимое значение параметра , для чего подставим  в выражение для  и найдем предел при   (проделайте  это  самостоятельно).  В  результате  получим, что величина  не менее 1. Зависимость   при  показана на рис. 3.20а, а на рис 3.20б – зависимость от  коэффициента прямоугольности.

66

Рис. 3.20

    

Величина  увеличивается с падением  и при  () принимает наибольшее значение

.

Для одинаковых значений сопротивлений () и емкостей () получим  и , что заметно меньше максимального значения. Для  получим и коэффициент прямоугольности .

На рис. 3.21 показаны АЧХ фильтра при  и  (пунктирная линия), а на рис 3.22 – те же зависимости в децибелах. Как видно, при увеличении  АЧХ затухает быстрее в области верхних частот, то есть уменьшается полоса пропускания  на уровне  от максимума АЧХ, за счет этого повышается коэффициент прямоугольности.

Рассматриваемый RC фильтр нижних частот второго порядка вида рис. 3.13 обеспечивает   коэффициент   прямоугольности    более 0,2, что в два раза выше, чем у простейшего ФНЧ.

67

Рис. 3.21

Рис. 3.22

Приведенный анализ характеристик RC фильтра второго порядка может рассматриваться как пример для исследований в рамках курсовой работы.

3.5. Фильтры второго порядка типа LC

Если фильтр второго порядка построен на элементах L и C, то его работа может быть основана на зависимости от частоты их реактивных сопротивлений, или на явлениях резонанса тока или напряжения в этих элементах  (в этом случае цепь называют резонансной). В таких цепях всегда присутствуют активные сопротивления  (дискретные резисторы или сопротивления потерь в реактивных элементах).

68

Апериодические LC фильтры характеризуются включенными в них большими активными сопротивлениями R и их свойства подобны выявленным при анализе апериодических RC цепей. Резонансные LC цепи будут рассмотрены в дальнейшем.

3.6. Задания для самостоятельного решения

Задание 3.1. Определите комплексные коэффициенты передачи фильтров, показанных на рис. 3. 23. Постройте графики КЧХ. Получите выражения для их АЧХ и ФЧХ, постройте графики, получите выражения для полосы пропускания и коэффициента прямоугольности.

                                                            Рис. 3.23

Задание 3.3. Получите выражения для АЧХ и ФЧХ фильтров с учетом сопротивления нагрузки , соответствующие схемы показаны на рис. 3.24.

Рис. 3.24

Ещё посмотрите лекцию "5.3 Квантование непрерывных сигналов" по этой теме.

69

Исследуйте влияние нагрузки на частотные характеристики и полосу пропускания фильтра.

Задание 3.3. Определите АЧХ и ФЧХ показанных на рис. 3.25 фильтров, постройте их графики. Получите выражение для коэффициента прямоугольности с учетом сопротивления нагрузки . Исследуйте влияние  на частотные характеристики и избирательность этих фильтров.

Рис. 3.25

Задание 3.4. Получите частотные характеристики цепей из заданий 3.1 - 3.3 с помощью программы схемотехнического моделирования при кОм, нФ и мГн, определите полосы пропускания, с помощью режима «Stepping» исследуйте влияние нагрузки на их АЧХ и ФЧХ.