Скорости молекул
Лекция №3
Скорости молекул
Распределение молекул по скоростям
Максвелла-Больцмана
В 1859г Максвелл и в 1877г Больцман показали, что можно описать распределение молекул по скоростям при данной температуре.
Вспомним основные фундаментальные положения молекулярно-кинетической теории газов:
- газ является изотропной средой , т.е. его свойства по всем направлением одинаковы;
- при любой заданной температуре всегда имеется одна и та же доля молекул с данными скоростями;
Рекомендуемые материалы
- температура газа есть проявление скорости движения молекул:
где k - постоянная Больцмана.
Произвольно ориентированные скорости движения молекул могут быть определены выражением: V2 = ,
где - соответствующие проекции рассматриваемой скорости на координатные оси.
Функция распределения скоростей вдоль одной оси , например, Х описывается выражением: ,
где N – количество молекул в рассматриваемом объеме.
Функция распределения скоростей относительно всех трех координатных осей
Функция распределения скоростей молекул для произвольно взятых направлений будет выражена уравнением:
Для ограниченного (заданного) числа молекул N функция будет записана:
Необходимо помнить, что по определению: ;
Дифференцирование полученных выражений по V дает максимум (см. рис. 3), т.е.
значение скорости, наиболее часто встречающейся в распределении – наиболее вероятной скорости Vp
(при )
где Т - температура газа, К;
M – молекулярный вес газа , кг/моль.
Рис.3
Средняя арифметическая скорость Vа может быть выражена следующим образом:
; м3 *с-1
Va= 453 м*с-1 (для воздуха при t=200С)
Средняя квадратичная скорость Vr соответствующая квадратному корню из суммы квадратов скоростей может быть выражена:
; м3 *с-1
Vr500м*с-1 (для воздуха при t = 20ОС)
Рассмотрим для сравнения выражение для определения скорости звука U : ,
где:
Если мы принимаем =1,4 для таких газов как H2, N2, O2 ,то мы увидим , что скорость звука в газах очень близка к значениям их скорости.
Значения скорости теплового движения молекул часто используются в расчетах.
Пример:
Необходимо рассчитать скорость вращения ротора простейшего молекулярного насоса, известного как насос Геде. Диаметр ротора насоса Dr = 0.4 м (рис. 4). На рис. 4 цифрами обозначены:
1. всасывающий патрубок
2. выхлопной патрубок
3. ротор
4. статор (корпус)
Индексами обозначены:
Dr – диаметр ротора;
nr – частота вращения ротора;
Vr- линейная скорость движений ротора.
Рис.4
Принцип работы насоса основан на том, что молекулы, попавшие в пространство между корпусом (4) и ротором (3) сначала начинают двигаться в произвольном направлении. При ударе о вращающийся ротор, рис.5, молекулы отражаются, приобретая дополнительную тангенциальную составляющую Vr в направлении вращения ротора. Тогда суммарная (средняя) скорость отраженных молекул : .
Рекомендуем посмотреть лекцию "4 Интегрированная система защиты зернобобовых культур от вредителей".
Рис.5
Для того, чтобы молекулы после удара о ротор заметно отклонились от нормали необходимо, чтобы линейная скорость поверхности ротора была соизмерима со скоростью теплового движения молекул, т.е. ,
Тогда ;м*с-1
откуда требуемая скорость ротора :
об/мин
Такая скорость обеспечит заметное отклонение молекул и заметный эффект откачки насоса.