Система. Элемент системы
Тема 2. Система. Элемент системы
Говоря о системе, обычно имеют ввиду совокупность элементов и реализующиеся между ними определенные интересующие нас отношения с фиксирующими свойствами. Например, экономической системой можно назвать предприятие как совокупность цехов. Вместе с тем предприятие является лишь частью системы более высокого ранга – отрасли общественного производства.
Любой объект, принятый в качестве отправного, может быть представлен как элемент ( или подсистема) некоторой системы более высокого ранга и как система, по отношению к которой существуют некоторые совокупности систем более низкого ранга. Поэтому при анализе и проектировании конкретной системы возникает проблема определения того «участка» иерархии, которая входит в ее компетенцию и прежде всего элемента, принимаемого в качестве «первичного».
Любой объект обладает неограниченным множеством свойств. Однако при формировании системы над данным множеством объектов, принимаемых в качестве элементов, последние выступают как носители тех свойств, которые существенны для изучаемых функций. Так при планировании деятельности предприятия существенными свойствами его элементов (цехов) являются их производственные мощности и площади, количество рабочих, фонд заработной платы и тому подобные.
Элемент системы М – объект, выполняющий определенные функции и не подлежащий дальнейшему расчленению. Его связь с внешней средой, к которой в данном случае относятся и другие элементы схемы, моделируются с помощью входов и выходов данного элемента. Предполагается, что через входы он испытывает воздействие на среды, а через выходы сам воздействует на нее (Рис 1.1).
Взаимодействие относительно обособленной системы со средой моделируется с помощью конечного числа входов и выходов.
Введем еще одно понятие - внутреннее состояние элемента. С его помощью количественно характеризуются существенные свойства самого реального объекта. Внутренне состояние элемента отображает интересующие нас потенциальные характеристики реального объекта, то есть количество информации, его пропускная способность и др.
Сопоставим с ним к-мерный вектор G, так, что попарно различным состояниям отвечают соответствующие значения этого вектора. Его компоненты (G1, G2, …, Gk) называют координатами состояния.
Векторы и множества допустимых значений их компонентов характеризуют возможные состояния элементов и интенсивности их входов и выходов. С их помощью описывается способ функционирования элемента.
Рекомендуемые материалы
(1.1)
Изменение состояния реального объекта не может происходить мгновенно. В элементе конкретной системы, моделирующем данный объект, этот переходной процесс описывается в общем случае системой дифференциальных уравнений, связывающих координаты состояния элементов с интенсивностями его входов.
Рисунок 1.1
При анализе и проектировании системы чаще всего имеют дело с зависимостями между входами элементов и его выходами. Это обуславливается тем, что конечной целью управления системы обычно является не приведение ее в заданное состояние, а достижение требуемого воздействия на внешнюю среду. Поэтому элемент рассматривается как динамический преобразователь входов в выходы:
{Y} = {Ω} {x, t} , (1.2)
где Ω – символическое обозначение совокупности преобразования каждого входа в каждый выход.
Отметим важные частные случаи преобразования (1.2).
1. Если длительность переходного процесса в реальном объекте пренебрежительно мала в сравнении с длительностью рабочего процесса, то им пренебрегают и считают, что требуемые изменения его состояния происходят мгновенно то есть G=G(x). Тогда для данного случая зависимость (1.2) будет выглядеть как:
{Y} = {Ω} {X} (1.3)
и элемент рассматривается как статический преобразователь.
2. Для линейного статического преобразователя соотношение (1.3) принимает вид:
Y=QX, (1.4)
где Q – матрица постоянных коэффициентов преобразований, т.е. параметров элементов.
Связи в системе
Функционирование системы в качестве единого целого обеспечивается связями между ее элементами. В экономических системах связи могут организовываться в плановом порядке или складываться стихийно под воздействием рыночного механизма. Состав элементов и способов объединения определяет структуру системы. Формирование связей между элементами при их объединении в конкретную систему будем рассматривать как реализацию определенного соотношения над их входами и выходами.
Для описания системы будем пользоваться двумя способами:
1) Графический (схематический)
2) Аналитический – система уравнений
Схема преобразователя для упрощения будем обозначать с одним входом Хi и одним выходом Yj (Рис1.2.)
Точки αi и βi условные «концы» входа и выхода, не
Рисунок 1.2.
примыкающими к элементу, назовем входными и выходными полюсами. Противопоставим однозначно каждому из полюсов число d – допустимый диапазон (ограничение) интенсивности входа (выхода) и размерность r материального вещественного потока, протекающего через вход (выход).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Схемой над множеством элементов {М} назовем набор из {М}, для которого указано, какие их полюса считаются отождествленными (совмещенными). Причем отождествлять можно только полюса, к которым отнесена одна и та же размерность R. Отождествленному полюсу приписывается число d.
D = min (di, dj)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Полюс схемы называется входным (внешним), если в него не поступают никакие выходы элементов схемы, в противном случае он считается выходным. Для полюсов схемы индуктивно определяется отношение подчиненности:
1. β à α – полюс β элемента подчинен полюсу α.
2. β à α и γ à β, то γ à α.
3. В остальных случаях отношение подчиненности не имеет места.
По схеме (Рис 1.3.) легко определить какие из полюсов системы являются входными и выходными и какие из полюсов ее элементов отождествлены (совмещены). Скажем, полюс β1 – результат отождествления выходного полюса элемента q1(№1) и входного полюса элемента S (№5).
Обратим внимание на полюса b4, g2, d2, которые лежат на замкнутой петле. Требование подчиненности этих полюсов будет соблюдено, если элементы φ(№4), Σ(№6) и f(№7) - преобразователи с запаздыванием их выходов относительно входов. В противном случае причинно обусловленная связь между ними пропадают и понятия «вход» и «выход» теряют смысл.
От схематического описания перейдем к аналитическому. При этом предполагается, что каждый из элементов выполняет преобразования свойственный ему до его подключения.
Рисунок 1.3.
Для каждого из ее элементов возьмем соответствующее ему уравнение связи между его входами и выходами с той оговоркой, что функциональные переменные переименовываются в соответствии с принятыми в системе. В нашем случае (для упрощения будем предполагать, что элементы являются статическими преобразователями) будут выглядеть следующим образом:
Y1 = qiXi (i=1.3)
Y6 = Y3 + Y4
Y4 = φ(Х4, Y7)
Y7 = f (Y5, Y6) (1.5)
Y5 = Y1 + Y2
Ys = f2 (Y5, Y6)
Число степеней свободы n системы определяется как разность между числом независимых переменных p и числом уравнений связи между ними c. В нашем случае c=8, p=12, n=4 то есть система обладает четырьмя степенями свободы.
При заданных четырех входах (Хi) поведение детерминированной системы будет однозначно определено функцией Y = F [Xi (t)] (i=1…4) описывающей траекторию выхода. Она может быть получена из (1.5) после соответствующих подстановок переменных.
Пример:
Yi = qi * Xi (i=1,3,4);
Y2 = X2 + Y6;
Y5 = φ1 (Y1, Y2);
Y6 = φ2 (Y1, Y2);
Y7 = Y5 + Y3;
Лекция "Лекция 1" также может быть Вам полезна.
YS = f (Y7, Y4).