Геометрическая интерпретация распознавания

5.4 Геометрическая интерпретация распознавания

Задача распознавания образов по признакам можно дать геометрическую  интерпретацию.

Каждый объект с m признаками согласно (5.3) определяет в m – мерном пространстве признаков точку .

Геометрический метод распознавания основан на использовании некоторой функции принадлежности  объекта данному классу.

Эта функция определяет меру близости объекта к некоторым эталонным множествам

Эти множества в  m – мерном пространстве признаков определяют пересекающиеся или непересекающиеся между собой множества.

m = 2

Рекомендуемые материалы

Пересекающиеся эталонные множества менее пригодны для распознавания.

Эталонные множества с помощью преобразования системы координат могут быть отделены друг от друга и т.о. между ними может быть проведена некоторая гиперплоскость, разделяющая эти  множества.

Определяя функцию близости  между объектом и эталонным множеством класса, часто используют расстояние между этим объектом и центром эталонного множества.

Совокупность этих центров даст нам множество эталонов

Каждая – точка

В евклидовой метрике m – мерного пространства расстояние между точками  определяется как

 (5.8)

В данную формулу удобно ввести весовые коэффициенты (5.9)

Весовые множители нужны для отражения того факта, что отдельные признаки объектов имеют разную степень важности для распознавания образов.

При геометрической трактовке распознавания образов прибегают к интерпретации. процесса в виде некоторого преобразования системы координат, при котором объекты одного класса сжимаются а множества различных классов удаляются друг от друга

Существуют линейные и не линейные способы преобразования.

В общем случае линейное преобразование задается матрицей

(5.10)

Если в исходной системе координат заданы векторы объектов  и  

То преобразованные векторы  определяются соотношениями

 (5.11)

Евклидово расстояние между элементами в преобразованном пространстве будет  (5.12)

Диагональные элементы матрицы преобразований W определяют масштабные коэффициенты сжатия вдоль координатных осей, а остальные элементы матрицы поворот координатных осей.

Если в матрице преобразований все недиагональные элементы = 0 , т.е. , то (5.12)  принимает вид (5.13) совпадает с (5.9).

Рассмотрим частный случай, когда поворот координатных осей не производится, а изменяется только масштаб.

Требуется определить такие коэффициенты сжатия, чтобы в новой системе координат расстояние между объектами множества были минимальными, т.е. чтобы было минимальным расстояние между текущими точками P и Q множества

Для решения поставленной задачи требуется наложить дополнительные условия на весовые коэффициенты

Например, можно потребовать, чтобы выполнялось равенство

(5.15)

Эта нормировка весовых коэффициентов наиболее распространена и означает, что весовые множители могут меняться от 0 до 1, и пространство признаком будет сжиматься по осям.

Помимо (5.15) используют и другие условия

Т.о. задача обучения состоит в минимизации функционала (5.14) составленных для множеств А1 и А2 обозначим эти функционалы  и  с дополнительными условием (5.15) или (5.16).

После того как обучение выполнено, решается задача распознавания.

Пусть даны два эталонных множества, и требуется определить, к какому из них относится некоторый объект b.

Для решения этой задачи в преобразованном пространстве вычисляется расстояние от точки b до каждого множества.

Вместе с этой лекцией читают "9. Информационное обеспечение КИС".

    (5.17)

 – число точек эталонного множества .

 – число точек эталонного множества .

Решающее правило состоит в следующем:

Коэффициенты  ищутся применительно к первому и второму множеству эталонов.