Лекция 4

Лекция 4.

План:

1. Силы, действующие на жидкий объем;

2. Вязкость или внутреннее трение в жидкостях.

§2.4.1. Силы, действующие на жидкий объем.

Внешние силы, действующие на жидкий объем и определяющие его движение, разделяются на массовые (объемные) и поверхностные.

Массовые силы  приложены ко всем жидким частицам, составляющим жидкий объем. К ним относятся силы тяжести и силы инерции. Кроме того, к массовым силам относятся силы взаимодействия частиц токопроводящей жидкости с электромагнитными полями. Наука, изучающая эти течения, называется магнитной гидрогазодинамикой.

Напряжением  массовой силы (м/с², Н/кг) называется отношение вектора массовой силы  к массе  жидкой частицы, на которую она действует:

                                                       (2.5)

Рекомендуемые материалы

В соответствии со вторым законом Ньютона, массовая сила равна произведению массы на ее ускорение, вызванное этой силой. Поэтому напряжение массовой силы равно ускорению центра массы частицы, проходящей в данный момент времени через данную точку, и характеризует распределение массовых сил в пространстве, занятом жидкостью. Проекции напряжения массовой силы на оси координат  обозначим , тогда

                                     (2.6)

где  — орты.

Поверхностные силы  представляют воздействие внешней среды на поверхность выделенного объема. Это воздействие распределено по поверхности непрерывно. Выберем на плоскости , рассекающей некоторую массу жидкости на части 1 и 2 (рис. 1), элементарную площадку, на которой лежит точка . Отбросим часть 2 и заменим ее действие на площадку  части 1 равнодействующей поверхностных сил . В общем случае величина зависит от ориентировки площадки  и направлена к ней под острым углом . Ориентация площадки  определяется единичным вектором внешней нормали .

Нормальная составляющая  поверхностной силы  действует по нормали к поверхности  , противоположно .

Сила трения или тангенциальная составляющая  действует в плоскости .

Напряжения поверхностных сил в точке  —это пределы отношений соответствующих сил к площадке  при стягивании ее в точку. Различают следующие напряжения.

Напряжение равнодействующей поверхностной силы, Н/м²

                                                                              (2.7)

Нормальное напряжение, Н/м²

                                                                         (2.8)

Знак минус показывает, что за положительное принято растягивающее нормальное напряжение.

Напряжение трения или касательное напряжение, Н/м²

                                               (2.9)

§2.4.2. Вязкость или внутреннее трение в жидкостях.

Вязкостью называется свойство всех реальных жидкостей оказывать сопротивление относительному сдвигу частиц, т. е. изменению их формы (но не объема). Для выяснения сущности вязкости рассмотрим течение жидкости между нижней неподвижной пластиной и верхней, движущейся параллельно нижней с постоянной скоростью  (рис. 2).

Опыт показывает, что скорость жидкости у нижней пластины равна нулю, у верхней—   (жидкость прилипает к твердым поверхностям), а скорость между пластинами распределена линейно: , давление постоянно во всей области. Такое течение называют течением чистого сдвига. Для его осуществления к жидкости со стороны верхней пластины должна быть при­ложена сила , уравновешивающая силу вязкости (трения) жидкости, а для удержания на месте нижней пластины — сила (). Измерения показывают, что напряжение трения  пропорционально отношению скорости  к расстоянию между пластинами  и не зависит от абсолютной величины скорости (имеет значение лишь относительное движение слоев жидкости). Отношение  называется градиентом скорости по нормали к плоскости скольжения слоев или кратко — поперечным градиентом скорости

                                                                     (2.10)

Формула (2.10) выражает закон Ньютона о молекулярном трении в жидкости — напряжение трения, пропорционально поперечному градиенту скорости. Этот закон был установлен Ньютоном экспериментальным путем. Жидкости, удовлетворяющие уравнению (2.10), называются ньютоновскими. Для неньютоновских жидкостей (смолы, коллоидальные растворы) напряжение трения определяется по более сложным формулам. Наука, изучающая движение неньютоновских жидкостей, называется реологией.

Коэффициент пропорциональности , Н*с/м² называется динамическим коэффициентом вязкости или просто вязкостью жидкости. Величина  зависит от природы жидкости, ее агрегатного состояния, температуры и практически не зависит от давления в широком диапазоне его изменения. Чем больше , тем больше вязкость жидкости.

При исследовании течений, в которых действуют силы трения и силы инерции, используется кинематический коэффициент вязкости , м²/с

                                                            (2.11)

Из рис.3 следует, что с увеличением температуры вязкость капельных жидкостей уменьшается, а газов увеличивается. Это объясняется различием в механизмах молекулярного трения в них. Трение в капельных жидкостях заключается, главным образом, в преодолении сил взаимодействия между молекулами слоев, смещающихся относительно друг друга. С увеличением температуры капельной жидкости увеличиваются частота колебаний молекул и силы взаимодействия между ними уменьшаются, а вместе с ними уменьшается и вязкость. Величина  для капельных жидкостей определяется экспериментальным путем.

Трение в газах обусловлено переносом направленного количества движения молекул при их тепловом хаотическом движении. Пусть два соседних слоя газа движутся в одну сторону с различными скоростями («быстрый» и «медленный» слои). Молекулы «быстрого» слоя, переходя в «медленный», ускоряют его молекулы, а сами подтормаживаются и наоборот. С увеличением температуры газа скорость хаотического движения молекул и число соударений возрастают, а вместе с этим — перенос количества движения и вязкость газа.

В кинетической теории были найдены теоретическое обоснование закона Ньютона о молекулярном трении для газов и формулы для коэффициентов вязкости

,                                                                                (2.12)

 ,                                                              (2.13)

где  и — длина свободного пробега и скорость теплового хаотического движения молекул.

Зависимость  газа от температуры обычно определяется с достаточной степенью точности по эмпирической формуле

                                                              (2.14)

Зная, что  и , получим

                                                                   (2.15)

 и  — значения, коэффициентов при  и . Величина показателя  уменьшается с увеличением температуры. Для воздуха при  , а при  . В дальнейшем для воздуха будем полагать .

Поперечный градиент скорости  характеризует изменение скорости в направлении нормали к ней и является важнейшей величиной, так как закон Ньютона утверждает, что вязкость жидкости может проявиться только при . Если , то  и вязкость жидкости не проявляется.

Физический смысл градиента скорости. Деформация сдвига  кубической жидкой частицы в неравномерном поле скоростей за время  равна . Отсюда поперечный градиент скорости

                                                    (2.16)

представляет собой скорость относительной деформации сдвига. Следовательно, в жидкостях касательные напряжения  пропорциональны скорости относительной деформации сдвига. Одно из основных отличительных свойств жидкостей — их легкоподвижность — в том и состоит, что даже при значительной вязкости , при малой скорости относительной деформации сдвига () напряжение трения также исчезающе мало () и при неограниченном времени действия может вызвать деформацию сколь угодно большой величины (крохотные катера буксируют корабли в сотни тысяч тонн водоизмещением с малой скоростью). С другой стороны, даже в очень маловязких жидкостях, таких, как воздух, при больших скоростях относительной деформации () силы трения приобретают большое значение. Если величина напряжения трения постоянна для всей площади  соприкосновения слоев, как это имеет место в случае чистого сдвига, то сила трения рассчитывается по формуле

                                                  (2.17)

В противном случае необходимо интегрировать по площади.

Сила трения между твердыми телами пропорциональна силе нормального давления и не зависит ни от скорости относительного движения тел, ни от площади их соприкосновения. Сила трения покоя больше, чем сила трения при относительном движении. Сила трения покоя в жидкостях равна нулю так же как и при движе­нии с равномерным полем скоростей, когда .

Обобщенный закон Ньютона или закон Стокса. Любое напряжение в жидкостях пропорционально соответствующей скорости относительной деформации. Например нормальное напряжение пропорционально относительным скоростям линей­ной и объемной деформаций.

Гидростатическое давление. Во всех случаях, когда в данной точке отсутствуют тангенциальные напряжения, т. е. при покое, при движении с равномерным полем скоростей, независимо от ориентации площадки, на нее действует только нормальное напряжение. Анализируя равновесие жидкой частицы можно дока­зать, что величина этого нормального напряжения не зависит от ориентации площадки. Это напряжение с обратным знаком называется гидростатическим давлением , т. е.

                                                 (2.18)

где — нормальные напряжения, действующие на грани частицы перпендикулярные осям  произвольной системы координат.

Знак минус учитывает, что давление всегда направлено внутрь выделенного объема жидкости. В общем случае течения вязкость жидкостей проявляется не только в появлении касательных напряжений, но и во влиянии на величину нормальных. При этом величина нор­мальных напряжений в данной точке зависит от ориентации площадки, т. е. . Однако среднее арифметическое трех взаимно перпендикулярных нормальных напряжений в вязкой жид­кости не зависит от ориентации площадки и для несжимаемой жидкости, равно давлению с обратным знаком

                                           (2.19)

В гидродинамике сжимаемой вязкой жидкости принимается второе обобщение гипотезы Ньютона, согласно которому среднее нормальное напряжение равно сумме давления (со знаком минус) и произведения коэффициента второй вязкости  на скорость относительной объемной деформации

                                   (2.20)

Коэффициент второй вязкости учитывает диссипацию энергии в самопроизвольных процессах установления равновесия. Для одно­атомных газов . Для многоатомных принимает существенное значение, сопоставимое с коэффициентом вязкости , в тех процессах, скорость протекания которых значительно выше скорости установления термодинамического равновесия. Это имеет место, например, при взрывах. Таким образом, учет вязкости существенно усложняет анализ законов движения жидкостей, так как вязкость приводит к появлению тангенциальных напряжений и сложным образом влияет на нормальные напряжения.

Идеальная жидкость — это жидкость, лишенная вязкости (). Эту модель используют для упрощения расчетов в случае, когда силами вязкости можно пренебречь. Нормальное напряжение в данной точке идеальной жидкости не зависит от ориентации площадки и равно гидростатическому давлению с обратным знаком.

Динамический пограничный слой. С вязкостью связано возникновение пограничного слоя при обтекании жидкостями твердых тел. Пусть поток жидкости с равномерным полем скоростей  набегает на поверхность плоской пластины и течет параллельно ей. Молекулы жидкости, непосредственно прилегающие к поверхности твердого тела, прилипают к этой поверхности под действием сил притяжения их к молекулам твердого тела. Прилипшие молекулы из-за вязкости жидкости взаимодействуют с близтекущими слоями, подтормаживая их. Теоретически такое тормозящее действие слоев друг на друга может простираться по направлению нормали к пластине в бесконечность, т. е. скорость вдоль нормали должна постепенно изменяться в таких пределах: . Поэтому пограничный слой называется асимптотическим. Однако в большинстве интересующих нас случаев (маловязкие жидкости и достаточно большие скорости) значительное влияние прилипших молекул и, следовательно, сущест­венное изменение скорости наблюдается лишь в относительно тон­ком пристеночном слое . Здесь  толщина погранич­ного слоя на расстоянии х от начала пластины, возрастающая вдоль пластины (подтормаживаются все новые слои жидкости).

Граничные условия пограничного слоя. Вследствие асимптотичности пограничного слоя его условная толщина определяется общепринятыми граничными условиями:

внутренняя граница (условия прилипания) :

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Лекция №13 Пожарная безопасность.

внешняя граница (условная)

                                                            (2.21)

Формулировка теории пограничного слоя. Всю область течения жидкости около твердого тела можно разбить на две качественно отличные зоны:

а) пограничный слой толщиной . Это относительно тонкий слой , примыкающий к поверхности твердого тела. В этом слое существенно изменяется скорость от  u_w = 0 до и =0,99 и ди/ду>>0. Поэтому только внутри пограничного слоя проявляется вязкость жидкости и ее необходимо учитывать в расчетах. Однако для пограничного слоя учет вязкости существенно упрощается;

б) набегающий невозмущенный поток и область, лежащая над пограничным слоем, в которых . Поэтому жидкость, теку­щую над пограничным слоем, можно считать идеальной () и анализировать ее движение по более простым законам движения идеальной жидкости.

Теория пограничного слоя разделяет решение общей сложной задачи об обтекании твердого тела потоком вязкой жидкости на две более простые: обтекание твердого тела лишь тонким слоем вязкой жидкости и обтекание твердого тела несколько увеличен­ного в размерах (на величину пропорциональную толщине погра­ничного слоя) идеальной жидкостью.