В.И. Кучерявый - Учебное пособие - Уравнения математической физики для решения задач теории упругости (В.И. Кучерявый - Уравнения математической физики для решения задач теории упругости)

МИНОБРНАУКИ РОССИИГосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образованияУхтинский государственный технический университет(УГТУ)В. И. Кучерявый, С. Н. МильковУравнения математической физикидля решения задач теории упругостиУчебное пособиеУхта 2011Учебное изданиеВасилий Иванович КучерявыйСергей Николаевич МильковУравнения математической физики для решения задач теории упругостиУчебное пособиеУДК 539.3:531.01(076.1)К 95Кучерявый, В. И.Уравнения математической физики для решения задач теории упругости[Текст] : учеб. пособие / В. И.

Кучерявый, С. Н. Мильков. – Ухта: УГТУ, 2011. – 120 с.ISBN 978-5-88179-641-9В учебном пособии изложены методы решения задач сопротивления материалов итеории упругости с помощью уравнений математической физики как аналитическими, так ичисленными методами. В пособии приведены задания для выполнения контрольных работ посопротивлению материалов и теории упругости.Пособие предназначено для бакалавров, специалистов и магистров, изучающих сопротивление материалов, теорию упругости, методы расчёта нефтегазопроводов и высшуюматематику.Учебное пособие рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советомУхтинского государственного технического университета.Рецензент: И. Н. Бирилло, зав.

лабораторией надёжности газопроводов Северногокоридора ЕСГ отдела центра «Надёжность и ресурс объектов ЕСГ» филиала ООО «ГазпромВНИИГАЗ» в г. Ухта, к.т.н.; С. О. Урсегов, зав. отделом проектирования и мониторингаразработки месторождений высоковязких нефтей ООО «ПечорНИПИнефть», к.т.н.Редактор К.

В. КоптяеваТехнический редактор Л. П. Коровкина© Ухтинский государственный технический университет, 2011© Кучерявый В.И., Мильков С.Н., 2011ISBN 978-5-88179-641-9План 2011 г., позиция 28. Подписано в печать 29.04.2011 г.Компьютерный набор.

Гарнитура Times New Roman.Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная.Усл. печ. л. 7,0. Уч.- изд. л. 6,4. Тираж 120 экз. Заказ № 252.Ухтинский государственный технический университет.169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Первомайская, д. 13.Типография УГТУ.169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Октябрьская, д. 13.Оглавление§ 1. Основные уравнения математической физики..............................................

4§ 2. Уравнение малых поперечных колебаний струны ....................................... 5§ 3. Формулы Даламбера ........................................................................................ 7§ 4. Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струны ..................... 10§ 5.

Вынужденные колебания струны, закреплённой на концах ..................... 13§ 6. Уравнения теплопроводности ....................................................................... 16§ 7. Уравнения диффузии ..................................................................................... 19§ 8. Распределение температуры в неограниченном стержне .......................... 19§ 9.

Метод сеток для решения задачи Дирихле .................................................. 24§ 10. Решение плоской задачи теории упругости в конечных разностях ........ 28Приложение 1. Рабочая программа и контрольные заданияпо сопротивлению материалов ............................................................................ 35Приложение 2. Методические указания и контрольные заданияпо теории упругости..............................................................................................

783§ 1. Основные дифференциальные уравнения математической физикиМногие задачи механики и физики приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Так, например, при изучении различных видов волн – упругих, звуковых,электромагнитных, а также других колебательных явлений мы приходим к волновому уравнению2 2u 2u  2u 2 u c  2  2  2 ,t 2yz  x(1)где с – скорость распространения волны в данной среде.Процессы распространения тепла в однородном изотропном теле так же,как и явления диффузии, описываются уравнением теплопроводности2u 2u  2u 2 ua  2  2  2 .tyz  x(2)При рассмотрении установившегося теплового состояния в однородномизотропном теле мы приходим к уравнению Пуассона 2u  2 u  2 u - f  x, y , z  .(3)x 2 y 2 z 2При отсутствии источников тепла внутри тела уравнение (3) переходит вуравнение Лапласа 2u  2u  2u 0.x 2 y 2 z 2(4)Уравнения (1) - (4) часто называют основными уравнениями математической физики.

Их подробное изучение даёт возможность построить теорию широкого круга физических явлений и решить ряд физических и техническихзадач.Каждое из уравнений (1) - (4) имеет бесчисленное множество частныхрешений. При решении конкретной физической задачи необходимо из всехэтих решений выбрать то, которое удовлетворяет некоторым дополнительнымусловиям, вытекающим из её физического смысла. Такими дополнительнымиусловиями чаще всего являются так называемые граничные условия, т.

е. условия, заданные на границе рассматриваемой среды, и начальные условия, относящиеся к одному какому-нибудь моменту времени, с которого начинаетсяизучение данного физического явления. Совокупность начальных и граничныхусловий называется краевыми условиями.4§ 2. Уравнение малых поперечных колебаний струныСтруной мы будем называть упругую нить, не сопротивляющуюся изгибу, но оказывающую сопротивление растяжению. Отсутствие сопротивленияизгибу математически выражается в том, что напряжения, возникающие вструне, всегда направлены по касательной к её профилю (рис.

1).uM'oxφ+Δφℓx+ΔxxРис. 1Будем предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси 0х и в одной плоскости. В данном случае процесс колебания описывается функцией u(x,t), которая даёт величину перемещения точки струны сабсциссой х в момент времени t. Так как мы рассматриваем малые отклоненияструны, то будем предполагать, что длина элемента струны ММ' равняется еёпроекции на ось ОХ ММ' = ∆х. Также будем считать, что натяжение Т во всехточках струны одинаковое.Рассмотрим элемент струны ММ' (рис. 1). На концах этого элемента покасательным к струне действуют силы Т. Пусть касательные образуют с осью0х углы  и    .

Тогда проекция на ось ou сил, действующих на элементММ', будет равна T sin      T sin  . Так как угол  мал, то можно положить tg  sin  , и будем иметьT sin      T sin   Ttg      Ttg x x 2 u  x  x, t  u  x, t  uT Tdx.2xxxxОбозначим через р(x,t) внешнюю силу, действующую на струну параллельно оси ou и рассчитанную на единицу длины. Тогда проекция на ось 0uэтой силы, действующей на участок ММ' струны, будет равна5x x P  x, t  dx .xЧто касается силы сопротивления среды, то здесь надо принимать вовнимание как среду, так и величину скорости колебания струны. Если струнаколеблется в воздухе и величина скорости колебания не очень велика, то можносчитать силу сопротивления среды пропорциональной первой степени скорости.

Это приводит к следующему выражению для проекции на ось 0u силы сопротивления, действующей на участок ММ':x x2kxudx ,tгде k – постоянная положительная величина.Обозначим через ρ(х) линейную плотность струны; тогда на участок ММ'будет действовать сила инерции, равная:x xx 2u  x  2 dx .tСумма всех сил должна быть равна нулю, т.е.x x  2uu 2u x T x2  P  x, t   2k t    x  t 2  dx  0 .Отсюда в силу произвольности х следует, что подынтегральная функциядолжна равняться нулю в каждой точке струны в любой момент времени t: 2uu 2u  x  2  2k  T 2  P  x, t  .ttxЭто и есть искомое уравнение колебаний струны.Если   const , т.

е. в случае однородной струны, это уравнение записывается в виде:2 2uu2  u 2h  a q  x, t  ,t 2tx 2где a T, hk, q  x, t  1(1)P  x, t  .Нетрудно видеть, что если пренебречь сопротивлением, то в случае отсутствия внешней силы уравнение (1) перейдёт в уравнение2 2u2  ua,t 2x 2которое называется уравнением свободных колебаний струны.6( 1' )Запишем краевые условия, с учётом которых следует интегрироватьуравнение (1).Пусть, например, концы струны при х = 0 и х = ℓ неподвижны. Тогдапри любом t должны выполняться равенства:(2)u  0, t   0 ,u  ,t   0 .(3)Эти равенства являются граничными условиями нашей задачи.В начальный момент t = 0 струна имеет форму, которую мы ей придали.Пусть эта форма описывается функцией f(x):(4)u  x, o   u t o  f  x .В начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией F(х):u(5) F ( x).t t oУсловия (4) и (5) являются начальными условиями.§ 3.

Формула ДаламбераРассмотрим задачу с начальными условиями для неограниченной струны(задача Коши для волнового уравнения).2 2u2  u,at 2x 2(1)u t o  f ( x),(2)u F ( x). t t oДля того, чтобы найти общее решение уравнения (1), произведём следующую замену переменных:  x  at ,   x  at .(3)Вторые производные, входящие в уравнение (1), выражаются через производные по переменным ξ и η посредством равенств:7 2u  2u 2u 2u2,x 2  2  2222 2u2  u2  u2  ua 2aa.y 2 2 2Внося эти выражения в уравнение (1) и произведя очевидные преобразования, получим: 2u 0.Перепишем уравнение (4) в виде(4)  u  0,   тогдаu    ,где    – произвольная функция  .Интегрируя полученное уравнение по  , рассматривая  как параметр,найдем, чтоu     d     ,где    – произвольная функция переменной  .Полагая теперь   d    ,получим u        или, воз-вращаясь к старым переменным х и t, запишем общее решение волновогоуравнения (1):u    x  at     x  at  .(5)Определим в общем решении (5) функции φ и ψ таким образом, чтобыудовлетворялись начальные условия (2):  x    x   f  x  ,1F  x .aИнтегрируя второе равенство, получим '  x    '  x  (6)x1F  x  dx    x     x   C ,a oгде C – произвольная постоянная.8(7)Из равенств (6), (7) определяем функции   x  и   x  :x11c  x   f  x    F  z  dz  ,22a o2x11c  x   f  x    F  z  dz  .22a o2Подставив полученные выражения в формулу (5), запишем общее решение (формула Даламбера):f  x  at   f  x  at  1 xatu  x, t  F  z  dz .22a xat(8)Выясним физический смысл формулы Даламбера.