1612725362-9fa1b98a71f663117aee661c2de6c134 (Семинар Быстрова - Критерии согласия)

Êðèòåðèè ñîãëàñèÿÏóñòü èìååòñÿ âûáîðêà X1 , . . . , Xn èç íåèçâåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ F . ÏóñòüF1 íåêîòîðîå ðàñïðåäåëåíèå. Êðèòåðèè, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ ïðîâåðêè îñíîâíîé ãèïîòåçû H1 = {F = F1 }, íàçûâàþòñÿ êðèòåðèÿìè ñîãëàñèÿ. Àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçîé ÷àùå âñåãî ÿâëÿåòñÿ H2 = {F 6= F1 }. Èíîãäà â êà÷åñòâå H1âûñòóïàåò òîæå ñëîæíàÿ ãèïîòåçà.Ïóñòü çàäàí íåêîòîðûé ôóíêöèîíàë d(Fn∗ , F1 ), îáëàäàþùèé ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: ïî çàäàííîìó ε ìîæíî íàéòè c òàêîå, ÷òîèëèPH1 {d(Fn∗ , F1 ) > c} = εlim PH1 {d(Fn∗ , F1 ) > c} = ε.n→∞Çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà d(Fn∗ , F1 ) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ¾ðàññòîÿíèå¿ ìåæäóýìïèðè÷åñêèì è ïðåäïîëàãàåìûì òåîðåòè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì.Êðèòåðèé ñîãëàñèÿ (àñèìïòîòè÷åñêîãî) ðàçìåðà ε, îñíîâàííûé íà ôóíêöèîíàëå d, ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: êðèòåðèé îòâåðãàåò îñíîâíóþ ãèïîòåçó,åñëè äëÿ äàííîé âûáîðêè çíà÷åíèå d(Fn∗ , F1 ) ïðåâîñõîäèò c.Åñëè d(Fn∗ , F1 ) ñòðåìèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè n → ∞, êàêòîëüêî ðàñïðåäåëåíèå F îòëè÷íî îò F1 , òî äàííûé êðèòåðèé ñîãëàñèÿ ñîñòîÿòåëåí.

À èìåííî, ïðè ëþáîì ðàñïðåäåëåíèè F , îòëè÷íîì îò F1 , âåðîÿòíîñòüîøèáêè âòîðîãî ðîäà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.Ïóñòü ïî äàííîé ÷èñëîâîé âûáîðêå ~x âû÷èñëåíî ÷èñëî d∗ = d ~x çíà÷åíèåñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ íà äàííîé ÷èñëîâîé âûáîðêå ×èñëî~ > |d∗ |)ε∗ = PH (|d(X)|1íàçûâàþò ðåàëüíî äîñòèãíóòûì óðîâíåì çíà÷èìîñòè êðèòåðèÿ.

Ïî âåëè÷èíåε∗ ìîæíî ñóäèòü î òîì, ñëåäóåò ïðèíÿòü èëè îòâåðãíóòü îñíîâíóþ ãèïîòåçó.Èìåííî ýòî ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì ïðîâåðêè ãèïîòåçû â ëþáîì ñòà-Ðåàëüíî äîñòèãíóòûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè ýòî âåðîÿòíîñòü, âçÿâ âûáîðêó èç ðàñïðåäåëåíèÿ F1 , ïîëó÷èòü ïî íåé áîëüøååîòêëîíåíèå ýìïèðè÷åñêîãî îò èñòèííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ÷åì ïîëó÷åíî ïî ïðîâåðÿåìîé âûáîðêå. Áîëüøèå çíà÷åíèÿ ýòîé âåðîÿòíîñòè ñâèäåòåëüñòâóþò â ïîëüçóîñíîâíîé ãèïîòåçû, ìàëûå â ïîëüçó àëüòåðíàòèâû.Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà. Ïóñòü èìååòñÿ âûáîðêà X1 , .

. . , Xn èç íåèçâåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ F è Fn∗ (y) ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîñòðîåííàÿ ïî ýòîé âûáîðêå. Ïóñòü F1 íåêîòîðîå ðàñïðåäåëåíèå ñ íåïðåðûâíîéôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F1 (y). Äëÿ ïðîâåðêè ïðîñòîé ãèïîòåçû H1 = {F = F1 }èñïîëüçóåòñÿ ñòàòèñòèêà Êîëìîãîðîâà√d(X1 , .

. . , Xn ) = n sup |Fn∗ (y) − F1 (y)|.òèñòè÷åñêîì ïàêåòå ïðîãðàìì.y∈RÑïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 1 (Êîëìîãîðîâà).ÅñëèF = F1 ,òî ïðèn → ∞ðàñïðåäåëå-íèå ñòàòèñòèêè Êîëìîãîðîâà ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ðàñïðåäåëåíèþ Êîëìîãîðîâàñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿK(y) =∞X(−1)j e−2jj=−∞12 y2,y > 0.Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçìåðà ε îòâåðãàåò îñíîâíóþ ãèïîòåçó, åñëè çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè Êîëìîãîðîâà d(X1 , .

. . , Xn ) ïðåâîñõîäèò êâàíòèëü ζ1−ε óðîâíÿ 1 − ε ðàñïðåäåëåíèÿ Êîëìîãîðîâà.Êðèòåðèé Ïèðñîíà õè-êâàäðàò. Ïóñòü èìååòñÿ âûáîðêà X1 , . . . , Xn èçíåèçâåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ F è F1 íåêîòîðîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïóñòü çàäàíêîíå÷íûé íàáîð èç k íåïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëîâ ∆1 , . . . , ∆k , ïîêðûâàþùèõR. Îáîçíà÷èì ÷åðåç pj = F1 (∆j ) âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ â ýòè èíòåðâàëû äëÿðàñïðåäåëåíèÿ F1 è ÷åðåç νj ÷èñëî ýëåìåíòîâ âûáîðêè, ïîïàâøèõ â èíòåðâàë∆j .Äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû H1 î ñîâïàäåíèè âåêòîðà íåèçâåñòíûõ èñòèííûõâåðîÿòíîñòåé (F (∆1 ), . . .

, F (∆k )) ñ âåêòîðîì (p1 , . . . , pk ) èñïîëüçóåòñÿ ñòàòèñòèêà õè-êâàäðàòkX(νj − npj )22.χ (X1 , . . . , Xn ) =npjj=1Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 2 (Ïèðñîíà). ÅñëèãèïîòåçàH1âåðíà, òî ïðèäåëåíèå ñòàòèñòèêè õè-êâàäðàò ñëàáî ñõîäèòñÿ ê2χn → ∞ðàñïðå--ðàñïðåäåëåíèþ ñk−1ñòåïåíüþ ñâîáîäû.Êðèòåðèé Ïèðñîíà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçìåðà ε îòâåðãàåò îñíîâíóþ ãèïîòåçó, åñëè çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè õè-êâàäðàò χ2 (X1 , .

. . , Xn ) ïðåâîñõîäèò êâàíòèëüζ1−ε óðîâíÿ 1 − ε χ2 -ðàñïðåäåëåíèÿ ñ k − 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû.Êðèòåðèé õè-êâàäðàò ÷àñòî ïðèìåíÿþò äëÿ ïðîâåðêè ïàðàìåòðè÷åñêîé ãèïîòåçû F ∈ {Fθ , θ ∈ Θ ⊆ Rm }. Îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå çíà÷åíèÿ òåîðåòè÷åñêèõâåðîÿòíîñòåé (p1 , . . . , pk ) çàâèñÿò îò íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà. êà÷åñòâå îöåíêè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ èñïîëüçóþò îöåíêó ïî ìåòîäóìèíèìóìà õè-êâàäðàò: θ∗ äîñòàâëÿåò ìèíèìóì ôóíêöèèkX(νj − npj (θ))2.χ (X1 , . .

. , Xn ; θ) =npj (θ)j=12Ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ ïðè ýòîì ìåíÿåòñÿ: ïðè âåðíîé îñíîâíîé ãèïîòåçå ïðåäåëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñòàòèñòèêè χ2 (X1 , . . . , Xn ; θ∗ )áóäåò ðàñïðåäåëåíèå χ2k−1−m , ãäå m åñòü ðàçìåðíîñòü âåêòîðà ïàðàìåòðîâ θ.Êðèòåðèé Ôèøåðà èñïîëüçóþò â êà÷åñòâå ïåðâîãî øàãà â çàäà÷å ïðîâåðêèîäíîðîäíîñòè äâóõ íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíûõ âûáîðîê. Äàíû äâå íåçàâèñèìûå~ = (X1 , . . . , Xn ) èç Na , σ2 è Y~ =âûáîðêè èç íîðìàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé: X1 1(Y1 , . .

. , Ym ) èç Na2 , σ22 , ñðåäíèå êîòîðûõ, âîîáùå ãîâîðÿ, íåèçâåñòíû. ÊðèòåðèéÔèøåðà ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû H1 = {σ1 = σ2 }.~ è S 2 (Y~ ) íåñìåù¼ííûå âûáîðî÷íûå äèñïåðñèèÎáîçíà÷èì ÷åðåç S02 (X)0n~S02 (X)m1 X(Xi − X)2 ,=n − 1 i=1S02 (Y~1 X)=(Yi − Y )2m − 1 i=12 ~~ Y~ ) êàê ρ(X,~ Y~ ) = S02 (X)/S~è çàäàäèì ñòàòèñòèêó êðèòåðèÿ d(X,0 (Y ).2Òåîðåìà 3.Ïðè âåðíîé ãèïîòåçåH1âåëè÷èíà~ Y~ )ρ(X,èìååò ðàñïðåäåëå-n − 1 è m − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.Îñíîâíàÿ ãèïîòåçà ïðèíèìàåòñÿ êðèòåðèåì Ôèøåðà, åñëè ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ ïîïàäàåò â èíòåðâàë [f1 , f2 ], ãäå f1 è f2 ñóòü êâàíòèëè óðîâíåé ε/2 è 1 − ε/2ñîîòâåòñòâåííî ðàñïðåäåëåíèÿ Ôèøåðà ñ n − 1 è m − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.Êðèòåðèé Ñòüþäåíòà. Ïóñòü èìåþòñÿ äâå íåçàâèñèìûå âûáîðêè: âûáîðêà~ = (X1 , .

. . , Xn ) èç Na , σ2 è âûáîðêà Y~ = (Y1 , . . . , Ym ) èç Na , σ2 ñ íåèçâåñòíûìèX12ñðåäíèìè è îäíîé è òîé æå íåèçâåñòíîé äèñïåðñèåé σ2 . Ïðîâåðÿåòñÿ ñëîæíàÿãèïîòåçà H1 = {a1 = a2 }.Ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ ÑòüþäåíòàrnmX −Y~ Y~ ) =.·qd(X,2 ~~n+m(n−1)S02 (X)+(m−1)S0 (Y )íèå Ôèøåðà ñn+m−2Òåîðåìà 4.Ïðè âåðíîé ãèïîòåçåH1âåëè÷èíà~ Y~ )d(X,èìååò ðàñïðåäåëå-n + m − 2 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.Êðèòåðèé Ñòüþäåíòà òî÷íîãî ðàçìåðà ε îòâåðãàåò îñíîâíóþ ãèïîòåçó, åñëè~ Y~ )| ïðåâîñõîäèò êâàíòèëü t1−ε/2 óðîâíÿ 1 − ε/2 ðàñïðåäåëåíèÿçíà÷åíèå |d(X,Ñòüþäåíòà ñ n + m − 2 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.íèå Ñòüþäåíòà ñÇàäà÷è è ðåøåíèÿ(20.1) Èìååòñÿ âûáîðêà X1 , X2 , X3 îáú¼ìà 3. Äëÿ ïðîâåðêèãèïîòåçû î òîì, ÷òî âûáîðêà âçÿòà èç ðàâíîìåðíîãî íà îòðåçêå [0, 1] ðàñïðåäåëåíèÿ, èñïîëüçóåòñÿ êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà: ãèïîòåçà î ðàâíîìåðíîñòè îòâåðãàåòñÿ, åñëèsup |F3∗ (y) − y| > 1/3.Çàäà÷à 0.1.y∈[0,1]Ñôîðìóëèðîâàòü ýòîò êðèòåðèé â ÿâíîì âèäå â òåðìèíàõ ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê.

×åìó ðàâåí ðàçìåð ýòîãî êðèòåðèÿ?Ðåøåíèå.Ïîñêîëüêó ýëåìåíòû âûáîðêè ñîâïàäàþò ñ íóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ, ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò òðè ñêà÷êà âåëè÷èíîé 1/3â òî÷êàõ X(1) , X(2) è X(3) . Èñòèííàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) = x â ýòèõòî÷êàõ ðàâíà F (X(i) ) = X(i) . Äëÿ âûïîëíåíèÿ sup |F3∗ (y) − y| > 1/3 äîëæíîy∈[0,1]èìåòü ìåñòî õîòÿ áû îäíî èç íåðàâåíñòâ:à) |X(1) − F3∗ (X(1) )| = X(1) > 1/3,á) |1/3 − X(1) | > 1/3, ò.å. X(1) > 2/3,â) |X(2) − F3∗ (X(2) )| = |X(2) − 1/3| > 1/3, ò.å. ëèáî X(2) < 1/3, ëèáî X(2) > 2/3,ã) |2/3 − X(2) | > 1/3, ò.å.

X(2) < 1/3,ä) |X(3) − 2/3| > 1/3, ò.å. X(3) < 1/3,å) |1 − X(3) | > 1/3, ò.å. X(3) < 2/3.3Çàìåòèì, ÷òî íåðàâåíñòâà èç ï.(á, ã) ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèÿìè êàêîãî-ëèáî èçîñòàëüíûõ íåðàâåíñòâ. Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì: êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü åñòü ñëåäóþùåå ñîáûòèå:{X(1) > 1/3} ∪ {X(2) < 1/3} ∪ {X(2) > 2/3} ∪ {X(3) < 2/3}.Âû÷èñëèì âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà. Óäîáíåå èñêàòü âåðîÿòíîñòüïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ:α1 = 1 − PH1 (X(1) 6 1/3, 1/3 6 X(2) 6 2/3, X(3) > 2/3) = 1 − 3! ·17= .339(20.2) Äîêàçàòü ñîñòîÿòåëüíîñòü êðèòåðèÿ Êîëìîãîðîâà.Ðåøåíèå.

Åñëè H1 íåâåðíà, òî Xi èìåþò ðàñïðåäåëåíèå F2 , îòëè÷íîå îò F1 .PÏî òåîðåìå Ãëèâåíêî Êàíòåëëè Fn∗ (y) → F2 (y) äëÿ ëþáîãî y ïðè n → ∞. ÍîF1 6= F2 , ïîýòîìó íàéä¼òñÿ y0 òàêîå, ÷òî |F2 (y0 ) − F1 (y0 )| > 0. ÒîãäàÇàäà÷à 0.2.Psup |Fn∗ (y) − F1 (y)| > |Fn∗ (y0 ) − F1 (y0 )| → |F2 (y0 ) − F1 (y0 )| > 0.yÌû äîëæíû äîêàçàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü îøèáêè âòîðîãî ðîäà ïðè ëþáîì F2 6= F1ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.√√α2 (F2 ) = PF2 ( n sup |Fn∗ (y) − F1 (y)| < ζ1−ε ) 6 PF2 ( n|Fn∗ (y0 ) − F1 (y0 )| < ζ1−ε ) =y= PF2|Fn∗ (y0 )ζ1−ε− F1 (y0 )| − √<0 .nËåâàÿ ÷àñòü íåðâåíñòâà ïîä çíàêîì âåðîÿòíîñòè ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ïîëîæèòåëüíîìó ÷èñëó, è ïî îïðåäåëåíèþ ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè α2 (F2 ) → 0.(20.6) Ïðè n = 4040 áðîñàíèÿõ ìîíåòû Áþôôîí ïîëó÷èë 2048âûïàäåíèé ãåðáà è 1992 âûïàäåíèé ðåøêè.

Ñîâìåñòèìî ëè ýòî ñ ãèïîòåçîé îñèììåòðè÷íîñòè ìîíåòû?Ðåøåíèå.Ïîñòðîèì êðèòåðèé ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ìóàâðà Ëàïëàñà(ïî ñóòè ìû èñïîëüçóåì òå æå ðàññóæäåíèÿ, ÷òî è ïðè ïîñòðîåíèè àñèìïòîòè÷åñêè òî÷íîãî ÄÈ äëÿ p). Ìû ðàññìàòðèâàåì îñíîâíóþ ãèïîòåçó p = 1/2 ïðèäâóñòîðîííåé àëüòåðíàòèâå p 6= 1/2.

Áóäåì îòâåðãàòü îñíîâíóþ ãèïîòåçó, åñëèPn Xi − 2 ~ > τ1−ε/2 ,|d(X)| = q11 n· · Çàäà÷à 0.3.22ãäå τ1−ε/2 êâàíòèëü ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.Ýòîò êðèòåPðèé, î÷åâèäíî, èìååò àñèìïòîòè÷åñêèé ðàçìåð ε. ÏðèXi = 2048 äàííàÿ ÷èñ2048−2020~ = pëîâàÿ âûáîðêà äà¼ò çíà÷åíèå d(X)≈ 0,88.4040/4Âû÷èñëèì ïðèáëèæ¼ííî ðåàëüíî äîñòèãíóòûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè~ > 0,88) ≈ 2Φ(0,88) = 2 · 0,189 = 0, 378.ε∗ = PH1 (|d(X)|4Äàííóþ âåðîÿòíîñòü ñëåäóåò òðàêòîâàòü êàê âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü ïî ðåçóëüòàòàì 4040 áðîñàíèé ñèììåòðè÷íîé ìîíåòû õóäøåå ñîãàñèå ñ ïðîâåðÿåìîéãèïîòåçîé, ÷åì äëÿ èñïûòàíèé Áþôôîíà.

Èíûìè ñëîâàìè, ïîëó÷èòü äëÿ ñèììåòðè÷íîé ìîíåòû ÷èñëî ãåðáîâ, åù¼ áîëåå îòêëîíÿþùååñÿ îò 2020, ÷åì â ïðîâåä¼ííîé Áþôôîíîì ñåðèè èñïûòàíèé. Ïîñêîëüêó ýòà âåðîÿòíîñòü íå ÿâëÿåòñÿìàëîé, ñëåäóåò ïðèíÿòü ïåðâóþ ãèïîòåçó êàê íå ïðîòèâîðå÷àùóþ ðåçóëüòàòàìèñïûòàíèé. äàííîé ïîñòàíîâêå âïîëíå ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ îäíîñòîðîííåé àëüòåðíàòèâîé p > 1/2 (õîòÿ äëÿ ýòîãî ñëåäóåò èìåòü áîëåå âåñêèå îñíîâàíèÿ î ñâîéñòâàõìîíåòû, ÷åì òîëüêî ðåçóëüòàòû èñïûòàíèé).  ýòîì ñëó÷àå êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòüáóäåò îäíîñòîðîííåé, è ðåàëüíî äîñòèãíóòûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè óìåíüøèòñÿâäâîå. Îí áóäåò ïîêàçûâàòü âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü ïðè èñïûòàíèõ ñ ñèììåòðè÷íîé ìîíåòîé ÷èñëî ãåðáîâ, åù¼ áîëåå óêëîíÿþùååñÿ â áîëüøóþ ñòîðîíó îò 2020,÷åì 2048.Ðåøèì ýòó æå çàäà÷ó ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ Ïèðñîíà.