1611689570-2f7bf9f665e22b4e5993a1e15fa840d7 (Подвигин Основы функционального анализа)

Версия от 03.05.2017Основыфункционального анализаИ. В. ПодвигинНовосибирский государственный университетфизический факультеткафедра высшей математикиКлассический идеал атомистического изложения математики требует, чтобы материал был сгущен в форме постулатов, теорем и доказательств. В противовес этому математическую дисциплину можно рассматривать как непрерывную ткань взаимных связей, при изложении которых метод и мотивировка вступают на передний планР. КурантcccНовосибирский государственныйуниверситет, 2014–2017И. В. Подвигин, 2014–2017√i π an , 2014–2017Глава 1Ряды ФурьеОдно из преимуществ представления рядом Фурье по сравнению с другими(например, по сравнению с представлением в виде ряда Тейлора) заключается в том, что его можно применять к разрывным функциямГ. АрфкенВведениеПредставление функций в виде функциональных рядов в математике и ееприложениях играют не маловажную роль.

К примеру, в курсе математического анализа была изучена тема рядов Тейлора (и Маклорена), из которойизвестно, что всякая бесконечно дифференцируемая функция f ∈ C ∞ (a, b)может быть представлена в виде специального степенного рядаf (x) = f (x0 ) +∞Xf (n) (x0 )(x − x0 )n ,n!n=1q1в каждой точке x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ (a, b), где δ =limn→∞n |f (n) (x )|0n!. Зная по-ведение коэффициентов этого ряда можно судить о некоторых свойствахсамой функции. Кроме того, использование степенных рядов было полезно при решении линейных дифференциальных уравнений с постояннымикоэффициентами.В комплексном анализе важную роль играют ряды Лорана, частнымслучаем которых являются ряды Тейлора. В нашем же курсе центральнуюроль в первой главе будут играть специальные тригонометрические ряды —ряды Фурье.

Они также как и степенные ряды будут использоваться намипри решении имеющих физический смысл дифференциальных уравнений,только уже в частных производных. Отметим также простую связь междурядами Фурье и рядами Лорана. Имея для некоторой функции f (z) разло3Лекция14ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕжение в ряд Лорана в кольце r < |z| < R комплексной плоскостиf (z) =∞Xcn z n ,n=−∞и рассматривая его на любой окружности |z| = ρ внутри кольца сходимости,мы получаем ряд Фурье в комплексной форме для функции g(ϕ) = f (ρeiϕ ) :∞Xg(ϕ) =cn ρn einϕ .n=−∞1.1Задача о разложении 2π-периодическойфункции в ряд ФурьеРассмотрим функцию f : R → R и предположим, что она представляется ввиде ряда∞f (x) =a0 X+an cos nx + bn sin nx.2n=1(1.1.1)Нас будут интересовать два вопроса об этом разложении:1) Какими свойствами должна обладать функция f : R → R, чтобы разложение (1.1.1) было справедливо для всех x ∈ R? Другими словами этоозначает, определить класс функций, для которых функциональный ряд изправой части равенства (1.1.1) с некоторыми определенными коэффициентами an и bn сходится в каждой точке x ∈ R, и его сумма равна левой частиравенства (1.1.1), т.е.

значению в той же точке x ∈ R функции f.На этот вопрос мы уже можем частично дать ответ: функция f должнабыть 2π-периодической, поскольку правая часть равенства (1.1.1) такова иесть.2) Как найти коэффициенты an , bn ?Эти два вопроса и есть для нас задача о разложении 2π-периодическойфункции в ряд Фурье. Начнем мы со второго вопроса, т.е. с нахождениявыражений для коэффициентов an и bn .Итак, пусть наша функция 2π-периодична и настолько замечательная(т.е. обладает всеми свойствами, необходимыми для строгости рассуждений), что справедливо равенство (1.1.1), которое к тому же мы можем интегрировать (для левой части нет никаких проблем, а вот для правой возникают вопросы о перестановки предельных переходов: бесконечного суммирования и интегрирования).1.1.

РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В РЯД ФУРЬЕ 5Проинтегрируем равенство (1.1.1) на периоде, например, на отрезке [−π, π] :Z πZ πZ π X∞a0f (x)dx =dx +an cos nx + bn sin nxdx−π−π 2−π n=1Z πZ π∞X= a0 π +ancos nxdx + bnsin nxdxn=1−π−π= a0 π,откуда находим формулу для коэффициента a0 :Z1 πf (x)dx.a0 =π −π(1.1.2)Домножим теперь равенство (1.1.1) на cos mx, m ≥ 1, и снова проинтегрируем на отрезке [−π, π] :Z π XZ πZ π∞a0cos mxdx +an cos nx cos mx + bn sin nx cos mxdxf (x) cos mxdx =−π n=1−π−π 2Z πZ π∞Xan=cos nx cos mxdx + bnsin nx cos mxdx=+=n=1∞Xn=1∞Xn=1∞X−πZπan−πZπbn−π−π1(cos(n + m)x + cos(n − m)x)dx21(sin(n + m)x + sin(n − m)x)dx2an πδnm = am π.n=1Отсюда находим формулу для коэффициентов am :Z1 πam =f (x) cos mxdx, m ≥ 1.π −π(1.1.3)Умножая равенство (1.1.1) на sin mx, m ≥ 1, интегрируя его и проделываяаналогичные выкладки, получаем формулу и для коэффициентов bm :Z1 πf (x) sin mxdx, m ≥ 1.(1.1.4)bm =π −πОпределение 1.

Пусть f : R → R — 2π-периодическая функция. Коэффициенты an , bn , найденные по формулам (1.1.2), (1.1.3) и (1.1.4), называютсякоэффициентами Фурье функции f, а сами формулы — формулы Эйлера–Фурье 1 .1 Леонард Эйлер (1707–1783) — швейцарский математик, один из самых известныхчленов Российской Академии Наук; Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830) — французский математик и физик, основоположник теории тригонометрических рядов.6ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕЗаметим, что в формулах Эйлера–Фурье можно заменить интегрирование на любой отрезок длиной в период функции f.Определение 2. Пусть f : R → R — 2π-периодическая функция. Говорят,что ряд∞a0 X+an cos nx + bn sin nx2n=1с коэффициентами Фурье an и bn есть [формальный] ряд Фурье функции f.При этом пишут∞f (x) ∼a0 X+an cos nx + bn sin nx.2n=1Из формул (1.1.2) и (1.1.3) видно, что первая является частным случаемвторой при m = 1. Этим объясняется исторически сложившееся написаниеряда Фурье с выделенным нулевым коэффициентом a0 /2.Отметим, что все выкладки этого параграфа (перестановка предельныхпереходов) были справедливы, например, если ряд Фурье сходился равномерно на отрезке [−π, π].

О том, для каких функций имеет место такаясходимость ряда Фурье, и ответ на первый сформулированный вначале вопрос, мы будем обсуждать чуть позднее, в следующих параграфах. Отметим лишь, что для равенства (1.1.1) необходимо существование коэффициентов Фурье (1.1.2)–(1.1.4), для чего достаточно потребовать абсолютинтегрируемость функции f на своем периоде. Действительно, еслиRнуюπ|f(x)|dx < ∞, то−πZZ π1 π|an | ≤|f (x)|| cos nx|dx ≤|f (x)|dx < ∞.π −π−πАналогично показывается ограниченность коэффициентов bn .

Везде в дальнейшем, если это особо не оговорено, мы будем молчаливо предполагать,что коэффициенты Фурье существуют (читай f – абсолютно интегрируемана промежутке).1.2Ряд Фурье для функций с произвольнымпериодомАналогично рассуждениям предыдущего параграфа можно получить рядФурье и формулы коэффициентов Фурье для функций с произвольнымпериодом. Мы получим эти результаты, опираясь на уже имеющиеся формулы. Покажем, как это сделать. Пусть f : R → R — 2l-периодическая (иабсолютно интегрируемая на своем периоде) функция, т.е. f (x) = f (x + 2l)для любого x ∈ R. Определим 2π-периодическую функцию g : R → R формулой lyg(y) = f.π1.3.

РАЗЛОЖЕНИЕ НА ИНТЕРВАЛЕ7Проверим, что g действительно периода 2π : l(y + 2π)lylyg(y + 2π) = f=f+ 2l = f= g(y).πππДля 2π-периодической функции g мы можем записать (формальный) рядФурье:∞a0 Xg(y) ∼+an cos ny + bn sin ny2n=1с коэффициентами Фурьеan =bn =π1πZ1πZg(y) cos nydy, n ≥ 0,−ππg(y) sin nydy, n ≥ 1.−πСделав во всех выражениях замену переменной x = lyπ , получим (формальный) ряд∞a0 Xπnxπnxf (x) ∼+an cos+ bn sin(1.2.1)2lln=1с коэффициентамиan =bn =l1lZ1lZf (x) cosπnxdx, n ≥ 0,l(1.2.2)f (x) sinπnxdx, n ≥ 1.l(1.2.3)−ll−lОпределение 3. Пусть f : R → R — 2l-периодическая функция.

Коэффициенты an , bn , найденные по формулам (1.2.2) и (1.2.3) называются коэффициентами Фурье функции f. При этом ряд (1.2.1) с коэффициентамиФурье an и bn есть [формальный] ряд Фурье функции f.1.3Разложение в ряд Фурье на интервале1.3.1. Пусть [a, b] — отрезок вещественной прямой R и f : [a, b] → R — функция, абсолютно интегрируемая на нем. Положим 2l = b − a.

Функцию fможно продолжить на всю числовую прямую R до 2l-периодической функции f ∗ . Для любого x ∈ R найдется такое единственное число kx ∈ Z, чтоx + 2lkx ∈ (a, b] (можно также брать полуоткрытый интервал [a, b)) тогдафункция f ∗ определяется равенствомf ∗ (x) = f (x + 2lkx ).Вся эта конструкция изображена на рис. 1.1.8ГЛАВА 1. РЯДЫ ФУРЬЕРис. 1.1: Периодическое продолжение функции f на RОпределение 4.

Пусть f : [a, b] → R — некоторая функция. Разложить в[формальный] ряд Фурье функцию f на отрезке [a, b] означает разложить в[формальный] ряд Фурье 2l-периодической функции f ∗ , 2l = b − a.При этом формулы (1.2.1)–(1.2.3) переписываются следующим образом:∞f (x) ∼2πnxa0 X2πnxan cos++ bn sin2b−ab−an=1(1.3.1)с коэффициентамиb2an =b−aZ2b−aZbn =f (x) cos2πnxdx, n ≥ 0,b−a(1.3.2)f (x) sin2πnxdx, n ≥ 1.b−a(1.3.3)aabОтметим, что разница в построении периодической функции f ∗ заключается в определении ее значений на концах отрезка [a, b] (в описанном вышеслучае мы брали f ∗ (a) = f ∗ (b) = f (b)); поскольку интегрирование (по мереЛебега) не зависит от значений в одной точке, то формулы (1.3.1)–(1.3.3)не изменятся при рассмотрении f ∗ с какими-нибудь другими значениями вэтих точках.1.3.2. Рассмотрим теперь симметричный относительно нуля отрезок [−a, a]и функцию f : [−a, a] → R.