МУ - М-103 (Определение момента инерции маятника максвелла)

Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаГладков Н.А., Вишнякова С.М., Вишняков В.И.ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛАМетодические указания к лабораторной работе М103по общему курсу физикиМосква, 2014Цель работы.1. Изучение динамики сложного движения твердого тела на примере маятникаМаксвелла, который одновременно находится во вращательном движении исовершает поступательное перемещение.2. Определение момента инерции маятника Максвелла относительно своей осисимметрии.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.Уравнения движений маятника Максвелла.Маятник Максвелла (рис.1 и 2а) состоит из массивного колеса 1 радиусом R с тонкимосевым валом 2 радиусом r , которое висит на двух нитях 3.

После намотки нитей центрколеса поднимется на некоторую высоту h. Если после этого колесо отпустить, то оно поддействием силы тяжести маятника начнет раскручиваться и опускаться вниз. Очевидно, вкрайнем нижнем положении маятника, когда все нити размотаются, скорость спуска маятникадостигнет максимального значения V0max . При этом ось маятника начнет вращаться вокруг осимаятника, проходящей через концы нитей.

В результате скорость V0max станет направленнойвертикально вверх, т.е. вектор V0max повернется на 1800 . В дальнейшем нити начнутнаматываться на осевой вал и маятник начнет подниматься вертикально вверх. Дойдя докрайнего верхнего положения, маятник начнет вновь опускаться. Таким образом, движениямаятника станут повторяться, т.е. маятник Максвелла будет совершать колебательныедвижения. В отличие от известных нам маятников, которые колеблются по гармоническомузакону, маятник Максвелла совершает свободные колебательные движения под действиемпостоянной по величине и по направлению результирующей силы, т.е. движется спостоянным ускорением (см.

ниже), но значения скорости и смещения от положенияравновесия повторяются. Отметим, что движение маятника – плоское.Сложное движение можно разложить на поступательное и вращательное движения поразному. Мы рассмотрим два варианта.Первый вариант.Представим сложное движение маятника как суммупоступательного движения в лабораторной (абсолютной) системе отсчета и вращательногодвижения относительно его оси симметрии, проходящей через центр масс маятника - точку О.Согласно основным законам динамики поступательного и вращательного движений твердоготела, пренебрегая толщиной нитей, можно написать уравнения движения маятника при егоспуске (см. рис. 2а ,2б)ma0 = mg – 2F,(1)I0 ε0 = 2Fr,(2)2где m – масса маятника; F- сила натяжения каждой нити, а0 - ускорение центра массмаятника при его спуске, , I0 - момент инерции маятника относительно его оси симметрии,проходящей через его центр масс, ε0 - угловое ускорение маятника вокруг его оси, rA -радиусосевого вала.Считаем нить нерастяжимой, тогда скорость центра масс V0 маятника будет равнаскорости вращательного движения точек на поверхности осевого вала:V0= Vвр(r)= ω0r ,(3)где ω0 - угловая скорость вращения маятника относительно его оси, т.е.

оси проходящейчерез точку О.Если продифференцировать (3) по времени t, то приходим к соотношению следующеговида:a0 = ε0 rгде(4),Соотношение (4) связывает характеристику поступательного движения – ускорениецентра масс a0 - с характеристикой вращательного движения – угловым ускорением ε0.Решая совместно уравнения (1), (2) и (4), для момента инерции маятника Максвеллаотносительно его оси симметрии (относительно оси, проходящей через центр масс) получимформулу(5).Второй вариант.Т.к. скорость центра масси скорость вращательного движения врточки А (см.рис.2б) вокруг оси О направлены в противоположные стороны, а в силу условия (3) равны повеличине, то абсолютная скоростьточки А оказывается равной нулю.Через точку А параллельно оси симметрии маятника можно провести новую ось, ось А,скорость которой в каждый рассматриваемый момент времени равна нулю, так называемуюмгновенную ось.

Тогда движение маятника можно рассматривать только как его вращение вданный момент времени относительно мгновенной оси вращения, проходящей через точку Аперпендикулярно плоскости рисунка, параллельно оси маятника. В этом случае уравнениединамики вращательного движения маятника запишется так:IA εA = mgrА(6)3где εА-угловое ускорение маятника относительно мгновенной оси, проходящей черезточку А, IA - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через эту точку А.Согласно теореме Штейнера:IA = I0 + mr2(7)Чтобы выйти на ту же формулу (5) для момента инерции маятника Максвелла, надосвязать угловое ускорение εA с ускорением центра масс a0.

При рассмотрении вращениямаятника вокруг мгновенной оси А скорость центра масс V0 является скоростьювращения точек, лежащих на оси О, и соответственно равнаV0= Vвр(r)= ωА r(8)Если продифференцировать (8) по времени t, то получим:a0 = εА r.(9)Решая совместно уравнения (6), (7) и (9), получим для определения момента инерциимаятника такую же формулу, что и (5).Так как силы, действующие на маятник – сила тяжести и силы натяжения, и моментыэтих сил, не зависят от времени ни по величине, ни по направлению, то и поступательное, ивращательное движения будут равнопеременными, т.е. a0 =const и εА= const.При равнопеременном движении с начальной скоростью, равной нулю, ускорениецентра масс a0 можно определить через высоту спуска h и время спуска th : изh = a0 th2 /2 следуета0 = 2h/th2(10)Подставляя (10) в (5), получим расчетную формулу для момента инерции маятникаМаксвелла относительно его оси симметрии:(11)Итак, момент инерции маятника Максвелла можно определить, если измеритьрасстояние h и время прохождения маятником этого расстояния th .Формулу (5) можно получить такжесоответствующего закону сохранения энергии:итретьимспособом:из уравнения,(12)где mgh –потенциальная энергия маятника в начальный момент времени, т.е.

на высотеh,- кинетическая энергия поступательного движения маятника и- кинетическаяэнергия вращательного движения маятника относительно его оси О в конце спуска при t=th .При этом надо учесть, что согласно (3) скорость центра масс V0 =ω0 r, а V02 = 2a0 h.4Теперь рассмотрим особенности силы натяжения, действующей на маятник состороны нитей.

Из уравнения (1) находим: F=m/2 (g-a0). Эта сила определяет величину силынатяжения каждой нити, как при спуске, так и при подъеме маятника.Однако когда маятник оказывается в крайнем нижнем положении, скорость его спускадостигает максимальной величины V0max. Далее маятник начнет подниматься вверх также соскоростью V0max , но направленной вверх.Изменение направления скорости V0max на 1800 происходит за очень малый интервалвремени Δt. Поэтому при прохождении маятником нижнего положения натяжение нитейрезко возрастает (возникает рывок нитей).

Величину силы натяжения Fmax каждой нити прирывке можно найти из закона изменения импульса маятника(2Fmax - mg) Δt = mV0max –(-mV0max ) = 2mV0max(13)Полагая, что при изменении направления скорости V0max на 1800 ее модуль неизменяется, получаем V0max =πr/Δt, откудаΔt=πr/V0max(14)Подставляя (14) в (13) находим:2Fmax = 2mV20max /πr +mg(15)Так как V20max =2a0 h, то максимальная сила натяжения нитей будет больше силы тяжестимаятника, она зависит от высоты падения и равна:(16)Поэтому прочность нитей должна быть такой, чтобы при рывке каждая из нихвыдерживаламаксимальное натяжение Fmax, определяемое формулой (16).ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬОписание установки.Общий вид экспериментальной установки представлен нарис.1.

Маятник Максвелла, висящий на двух нитях 3, расположен между двумя стойками.Свободные концы нитей прикреплены к горизонтальной перекладине 4. При этом одна нитьприкреплена к регулировочному винту. Используя этот винт, можно установить ось колесаточно в горизонтальном положении.

При вращении колеса вокруг его оси нити 3равномерно наматываются на осевойвал 2 так, как это показано на рис.2а. При этомплотность витков должна быть приблизительно одинаковой на обоих концах вала.начала движения нити всегда должны быть намотаны в одном и том же направлении.5ДоПосле намотки нитей центр колеса поднимется на некоторую высоту h.

Если послеэтого колесо отпустить, то оно под действием силы тяжести маятника и сил натяженияначнет раскручиваться и опускаться вниз.На третьей стойке закреплено спусковоеустройство: игла, спусковой тросик,электросистема, связывающая с помощью двух соединительныхпроводов спусковоеустройство и счетчик времени. Игла вставляется в одно их углублений на ободе колеса, и спомощью тросика удерживает колесо от движения, либо освобождает его. Положениекнопки тросика можно фиксировать стопорным винтиком или пальцем руки (как вфотоаппарате). Спусковое устройство должно быть отрегулировано так, чтобы после стартаколесо не колебалось и не крутилось.На четвертой стойке установлен вилкообразный световой барьер со счетчиком.

Наверхней панели светового барьера расположены дисплей для вывода результатов отсчета,кнопка «Set» (сброс), рычажок для установления режимов отсчета (число пересеченийсветового луча барьера, промежутков времени ).Методика выполнения экспериментаАлгоритм проведения эксперимента сводится к следующим операциям:1. Измеряется время спуска маятника с разных высот, начиная с высоты h=0,50м довысоты h=1,00м с интервалом Δh=0,10м.