МУ - М-101 (Математический маятник)

М.Ю. КонстантиновМатематический маятникМетодические указания к лабораторной работе М-101Цель работы: Исследование колебаний математического маятника. Исследование зависимости периода колебаний от длины маятника и амплитуды колебаний. Определение ускорение свободного падения.ВведениеКолебательным движением механической системы называется периодическое движение системы в окрестности положения равновесия. Время T , закоторое совершается одно полное колебание, называется периодом колебаний.Величина ν , обратная периоду, называется частотой колебаний ν = 1/T .В настоящей лабораторной работе изучаются колебания математическогомаятника.МатематическимТеоретическая частьмаятником называетсяматериальная точка массы m , подвешенная натонкой невесомой нерастяжимой нити длины l .

Напрактике математический маятник реализуется спомощьюшарика,диаметркоторогоdпренебрежимо мал по сравнению с длиной нити, т.е.d ≪ l (см. рисунок).При отсутствии диссипативных сил сохраняется полная механическая энергия маятника, то есть,справедливо уравнение:121  dα I   + mgl (1 − cosα ) = E0 = const ,2  dt (1)где I - момент инерции шарика относительно точки подвеса A , α = α ( t ) - уголотклонения маятника, m - масса шарика, g - ускорение свободного падения, l расстояние от точки подвеса маятника A до центра тяжести шарика, E0 - полная энергия маятника, равнаяE0 = mgl (1 − cos α 0 ) ,где α 0 - амплитуда колебаний (угол максимального отклонения) маятника.Так как по предположению диаметр шарика d пренебрежимо мал посравнению с расстоянием l от точки подвеса маятника A до центра тяжестишарика, то есть d ≪ l , то I = ml 2 и уравнение (1) примет вид21  dα l   + g ( cos α 0 − cos α ) = 0 .2  dt (2)Дифференцируя уравнение (2) по времени, получим дифференциальноеуравнение колебаний математического маятникаd 2α g+ sin α = 0 ,dt 2 l(3)первым интегралом которого является уравнение (2).Заметим, что к аналогичному виду может быть приведено и дифференциальное уравнение колебаний физического маятника, если вместо длины маятника l использовать его приведённую длину lпр =I, где a - расстояние отmaточки подвеса до центра тяжести маятникаВ общем случае (при достаточно больших углах отклонения) решениеуравнения (3) не может быть выражено через элементарные функции.Если ограничиться рассмотрением малых колебаний, когда применимаприближённая формула sin α ≈ α , то уравнение (3) перепишется в видеd 2α g+ α = 0.dt 2 l2(4)Решение уравнения (4) будем искать в стандартном видеα = Ce kt ,(5)где C и k - некоторые постоянные.

Подставляя (5) в (4) получим характеристическое уравнениеgk2 + = 0,lоткудаk = ±ig= ±iω ,lгде ω = g / l .Таким образом, общее решение уравнения (4) запишется следующим образомα = C1eiωt + C2e −iωt .Пользуясь известной формулой Эйлераeiz = cos z + i sin z ,полученное решение после несложных преобразований можно переписать втригонометрической формеα = α 0 cos ( ωt + δ ) ,(6)где α 0 - амплитуда колебаний (угол максимального отклонения от положенияравновесия), величина ωt + δ называется фазой колебаний, δ называется на-чальной фазой, а ω называется циклической частотой колебаний.Уравнение (6) называется уравнением гармонических колебаний, а колебания, совершающиеся по закону синуса или косинуса, называются гармониче-скими колебаниями.

Тело, совершающее гармонические колебания, называетсягармоническим осциллятором.Таким образом, мы показали, что малые колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями с периодомT=2πl= 2πgωи частотой3(7)ν=1 ω1==T 2π 2πg.lИз равенства (7) следует, что малые колебания математического маятникане зависят от амплитуды. Такие колебания называются изохорными.Равенства (6), (7) получены колебаний маятника с малой амплитудой, когда можно пользоваться приближенной формулой sin α ≈ α . При больших амплитудах эта формула эта формула не применима и период колебаний будет зависеть от угла отклонения.Чтобы найти зависимость периода колебаний от амплитуды, извлечёмквадратный корень из уравнения (2)dα2g=( cos α − cos α0 ) ,dtlи выполним разделение переменныхdt =dα2g( cos α − cos α0 )l.Таким образом, период колебаний маятника определяется интегралом:lT =42gα0∫0dαl=2gcos α − cos α 0α0∫0dα.2 α02 αsin− sin22(8)Полученный интеграл относится к классу интегралов эллиптического типа и не может быть выражен через элементарные функции.

Тем не менее, этотинтеграл может быть вычислен в виде сходящегося тригонометрического ряда:lT = 2πg22  1  1⋅ 3 2 α04 α0++ ...1 +   sin sin222⋅42  2l ∞ 2 2 n α0 1 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (2n − 1) 2 n α0sin...2πcn sin,++=∑2g2 2 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ 2n n=0гдеc0 = 1,cn =1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ (2n − 1)2 ⋅ 4 ⋅ … ⋅ 2n4(n > 0) .(9)Подробное вычисление интеграла (8) приведено в приложении.Ограничиваясь членами второго порядка малости, получим приближенное выражение зависимости периода колебаний от амплитудыlT = 2πg2  1 2 α0 1 +   sin.2   2 (10)Если можно пренебречь и членами второго порядка малости, то снова получим хорошо известную формулу (7) для периода малых колебаний математического маятникаT = 2πl.gРавенства (9)-(10) позволяют оценить систематическую погрешность, возникающую при использовании формулы (7) для вычисления периода колебанийс большими амплитудами.Экспериментальная частьСхема установкиМаятник представляет собой никелевый шарик диаметром 32 мм, подвешенныйна тонкой прочной (нерастяжимой) нити,закреплённой на штативе.

В месте закрепления нити установлена шкала дляопределения угла максимального отклонения нити (амплитуды колебаний).У основания штатива закреплен световойбарьерсосчетчикомввидеперевёрнутой буквы П, который можетработать в трёх режимах: подсчёт числапрохождений маятника через световойбарьер,колебанийизмерениеиполупериодаизмерениепериодаколебаний. На передней панели счетчика5имеется дисплей, отражающий результат измерения, переключатель переключения режимов и кнопка «сброс», нажатие которой сбрасывает результат предыдущего измерения и приводит счетчик в состояние готовности к новому измерению.Полная длина маятника l (расстояние от точки подвеса до центра тяжести) складывается из длины нити lнити и радиуса шарика r , т.е.l = lнити + r .(11)ВНИМАНИЕ: 1.

При проведении всех измерений периода колебаний переключатель режимов работы счётчика должен находиться в крайнем правом положении (измерение периода колебаний)!2. При установке длины маятника можно либо с помощью формулы (11) определять необходимую длину нити, либо непосредственно измерять расстояниеот точки подвеса до центра шарика. Однако при выполнении лабораторной работы должен использоваться только один из указанных способов.Порядок выполнения работыЗадание 1. Измерение периода колебаний маятника при разных значениях егодлины.1.1.

Установить длину маятника равной 100 см.1.2. Отрегулировать положение точки подвеса так, чтобы в положенииравновесия шарик пересекал световой барьер.1.3. Отклонив маятник на угол не более ( 3 ÷ 5 ) ° в направлении, перпендикулярном световому барьеру, нажать кнопку сброс (белая кнопка в левомнижнем углу счетчика) и отпустить шарик.1.4. Результат измерения периода колебаний занести в таблицу 1.1.5. Повторить действия пп. 1.3. - 1.4.

5 раз.6Таблица 1. Зависимость периода малых колебаний математического маятникаот его длины.№Длина маятника (см)301T12T23T34T45T56T7∆Tg85070100Задание 2. Измерение периода колебаний маятника при разных значениях амплитуды колебаний.Установить длину маятника равной 30 см и измерить значения периодапри 4 углах отклонения в интервале 10° ≤ α 0 ≤ 70° .

Результаты измерения занести в таблицу 2.Таблица 2. Зависимость периода колебаний математического маятника от амплитуды колебанийАмплитуда№ (угол отклонения α 0 )Период колебаний(сек)123457Обработка результатов измерений.1. Для каждого значения длины маятника вычислить и занести в таблицу 1среднее значение периода малых колебанийT =1 n∑ Ti ,n i =1(11)где n - число измерений ( n = 5 ), и погрешности измерения периода, вычисливих по формулеn∑ (T −∆T = t p , fi =1iTn ( n − 1))2,(12)где коэффициенты t p , f зависят как от доверительной вероятности P , так и отчисла измерений n .