3126170 (типовой расчёт)

10 _ 01_ 25множество всех целых чиселсумма a + b; произведение [α ⋅ a ]52⎛5 5⎞(α + β ) ⋅ a = ⎜ + ⎟ ⋅ 3 = 5 ⋅ 3 = 15⎝2 2⎠⎡5 ⎤ ⎡5 ⎤α a + β a = ⎢ ⋅ 3⎥ + ⎢ ⋅ 3⎥ = [ 7,5] + [7,5] = 7 + 7 = 14 ≠ 15 ⇒⎣2 ⎦ ⎣2 ⎦⇒ (α + β )a ≠ α a + β a ⇒ заданное множество не образуетлинейного пространствапусть a = 3;α = β =10 _ 02 _ 25a = {1, 2, 3} , b = {6, 5, 9} , c = {7, 8, 9}.для того, что бы 3 вектора были линейно зависемы необходимо и достаточно,что бы они были компланарны ⇒ если их смешанное произведение равно 0, тоони линеейно зависемыaxbxcxaybycyaz 1 2 35 96 96 5bz = 6 5 9 = 1 ⋅− 2⋅+ 3⋅=8 97 37 8cz 7 8 9= ( 5 ⋅ 9 − 8 ⋅ 9 ) − 2 ⋅ ( 63 − 7 ⋅ 9 ) + 3 ⋅ ( 6 ⋅ 8 − 7 ⋅ 5 ) = 30 ≠ 0 ⇒⇒ данная система векторов линейно независима10 _ 03 _ 25 _1в задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :⎧3 x1 − 5 x2 + 2 x3 + 4 x4 = 0,⎪⎨7 x1 − 4 x2 + x3 + 3 x4 = 0,⎪5 x + 7 x − 4 x − 6 x = 0.234⎩ 1⎛ 3 −5 2 4 ⎞ ⎛ 105 −175 70 140 ⎞⎜⎟ ⎜⎟⎜ 7 −4 1 3 ⎟ ∼ ⎜ −105 60 −15 −45 ⎟ ∼⎜ 5 7 −4 −6 ⎟ ⎜ −105 −147 84 126 ⎟⎝⎠ ⎝⎠⎛105 −175 70 140 ⎞ ⎛ 105 −175 70 140 ⎞⎜⎟ ⎜⎟∼ ⎜ 0 −115 55 95 ⎟ ∼ ⎜ 0 −115 55 95 ⎟ ⇒⎜ 0 −322 154 266 ⎟ ⎜ 0000 ⎟⎠⎝⎠ ⎝⎧ x4 = c4⎪x = c⎪ 33⇒⎨⎪ x2 = (11c3 + 19c4 ) / 23⎪⎩ x1 = (3c3 + c4 ) / 23dim l = 2⎛ 3 / 23 ⎞⎛ 1/ 23 ⎞⎜⎟⎜⎟11/ 23 ⎟19 / 23 ⎟⎜⎜Базис : X 1 =,X =⎜ 1 ⎟ 2 ⎜ 0 ⎟⎜⎟⎜⎟⎝ 0 ⎠⎝ 1 ⎠замечаниеdim l − размерность линейного пространства − число, равноеколичеству базисных векторов10 _ 03 _ 25 _ 2в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :⎧3 x1 − 5 x2 + 2 x3 + 5 x4 = 0⎪⎨7 x1 − 4 x2 + x3 + 3 x4 = 0⎪5 x + 7 x − 4 x − 9 x = 0234⎩ 1⎛ 3 −5 2 5 ⎞ ⎛ 105 −175 70 175 ⎞ ⎛ 105 −175 70 175 ⎞⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟3 ⎟ ~ ⎜ −105 60 −15 −45 ⎟ ~ ⎜ 0 −115 55 130 ⎟ ~⎜ 7 −4 1⎜ 5 7 −4 −9 ⎟ ⎜ −105 −147 84 189 ⎟ ⎜ 0 −322 154 364 ⎟⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠⎧ x4 = C4⎛ 3 −5 2 5 ⎞ ⎪⎜⎟ ⎪ x3 = C3~ ⎜ 0 −23 11 26 ⎟ ⇒ ⎨x2 = − ( −11C3 − 26C4 ) / 23⎜0 00 0 ⎟⎠ ⎪⎝⎪ x = − ( −3C − 5C ) / 2334⎩ 1dim l = 2⎛ 5C4 / 23 ⎞⎛ 3C3 / 23 ⎞⎜⎟⎜⎟26C4 / 23 ⎟11C3 / 23 ⎟⎜⎜базис : X 1 =;X =⎟⎜ C3 ⎟ 2 ⎜0⎜⎟⎜⎟0⎝⎠⎝ C4⎠⎛ 3 / 23 ⎞⎛ 5 / 23 ⎞⎜⎟⎜⎟11/ 23 ⎟26 / 23 ⎟частное решение : X 1 = ⎜; X2 = ⎜⎜ 1 ⎟⎜ 0 ⎟⎜⎟⎜⎟⎝ 0 ⎠⎝ 1 ⎠10 _ 03 _ 25 _ 3 (продолжение задачи из задачника 2005 года издания )⎧ x1 − 3 x2 + 4 x3 + 3 x4 = 2⎪⎨3x1 − 8 x2 + x3 + 2 x4 = 5⎪2 x − 5 x − 3x − x = 3134⎩ 1⎛ 1 −3 4 3 2 ⎞ ⎛ 6 −18 24 18 12 ⎞ ⎛ 6 −18 24 18 12 ⎞⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎜ 3 −8 1 2 5 ⎟ ~ ⎜ −6 16 −2 −4 −10 ⎟ ~ ⎜ 0 −2 22 14 2 ⎟ ~⎜ 2 −5 −3 −1 3 ⎟ ⎜ −6 1593 −9 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 −3 33 21 3 ⎟⎠⎝⎠ ⎝⎧ x4 = C4⎛ 1 −3 4 3 2 ⎞ ⎪⎜⎟ ⎪ x3 = C3~ ⎜ 0 −1 11 7 1 ⎟ ⇒ ⎨⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎪ x2 = −1 + 11C3 + 7C4⎝⎠ ⎪⎩ x1 = −1 + 29C3 + 18C4dim l = 2⎛ −1 + 18C4 ⎞⎛ −1 + 29C3 ⎞⎜⎟⎜⎟−1 + 7C4 ⎟−1 + 11C3 ⎟⎜⎜базис : X 1 =;X =⎟⎜⎟ 2 ⎜0C3⎜⎟⎜⎟C40⎝⎠⎝⎠⎛ 28 ⎞⎛17 ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟10 ⎟6⎜частное решение : X 1 =; X2 = ⎜ ⎟⎜1⎟⎜0⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝0⎠⎝1⎠10 _ 04 _ 25 _1⎧e1′ = e1 + e 2 − 7e3 ,⎪⎨e′2 = ( 7 8 ) e1 − e 2 ,⎪e′ = −e + e + e ,123⎩ 3x = {3, −8, 8}⎛ 1 7 / 8 −1⎞⎜⎟A=⎜ 1−1 1 ⎟ − матрица _ перехода⎜ −701 ⎟⎠⎝1 способ решения ( методом обратной матрицы)det A = 1 ⋅1 7/81−1−7⋅7 / 8 −17⎛7 ⎞= −1 − − 8 ⎜ − 1 ⎟ = − 1−1 18⎝8 ⎠⎛ −1⎜0⎜⎜ 7/81A−1 =⋅ ( Aij )T = − ⎜ −0det A⎜⎜⎜ 7/8⎜ −1⎝111 1−−7 1−11−111 −1−7 1−1 −11 1T1 −1 ⎞⎟−7 0 ⎟1 7/8⎟⎟ =−0 ⎟−7⎟1 7/8 ⎟1 −1 ⎟⎠− (1 + 7 )−7 ⎞⎛ −1⎛1 7 / 8 1/ 8 ⎞⎜⎟⎜⎟1− 762 ⎟= − ⎜ −7 / 8−49 / 8 ⎟ = ⎜ 8⎜ 7 49 / 8 15 / 8 ⎟⎜ 7 / 8 − 1 − (1 + 1) −1 − 7 / 8 ⎟⎝⎠⎝⎠⎛ 1 7 / 8 1 / 8 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⋅ 3 + 7 / 8 ⋅ (−8) + 1 / 8 ⋅ 8 ⎞ ⎛ −3 ⎞⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟*−162 ⎟ ⋅ ⎜ −8 ⎟ = ⎜X = A ⋅ X = ⎜88 ⋅ 3 + 6 ⋅ (−8) + 2 ⋅ 8⎟ = ⎜ −8 ⎟⎜ 7 49 / 8 15 / 8 ⎟ ⎜ 8 ⎟ ⎜ 7 ⋅ 3 + 49 / 8 ⋅ (−8) + 15 / 8 ⋅ 8 ⎟ ⎜ −13 ⎟⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝⎠Tx* = (−3; −8; −13)10 _ 04 _ 25 _ 22 способ решения ( методом Крамера )1Δ= 1−73Δ1 = −881Δ2 = 17 / 8 −1−11 = 1 ⋅ ( ( −1) ⋅ 1 − 0 ⋅ 1) −017⋅ (1 ⋅ 1 − ( −7 ) ⋅ 1) − 1 ⋅ (1 ⋅ 0 − ( −7 ) ⋅ ( −1) ) = −187 / 8 −1−1071 = 3 ⋅ ( ( −1) ⋅ 1 − 0 ⋅ 1) − ⋅ ( ( −8 ) ⋅ 1 − 8 ⋅ 1) − 1 ⋅ ( ( −8 ) ⋅ 0 − 8 ⋅ ( −1) ) = 3813 −1−8 1 = 1 ⋅ ( ( −8 ) ⋅ 1 − 8 ⋅ 1) − 3 ⋅ (1 ⋅ 1 − ( −7 ) ⋅ 1) − 1 ⋅ (1 ⋅ 8 − ( −7 ) ⋅ ( −8 ) ) = 8−7817/8Δ3 = 1−1−8 = 1 ⋅ ( ( −1) ⋅ 8 − 0 ⋅ ( −8 ) ) −08−713⎛Δ Δ Δ ⎞x* = ⎜ 1 ; 2 ; 3 ⎟ = ( −3; −8; −13)⎝Δ Δ Δ ⎠7(1 ⋅ 8 − ( −7 ) ⋅ ( −8) ) + 3 ⋅ (1 ⋅ 0 − ( −7 ) ⋅ ( −1) ) = 138⇒ свойства аддитивности и однородности выполняются ⇒ преобразование линейно= ( 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 + 2 y1 + 3 y2 + 4 y3 , 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 5 y1 + 6 y2 + 7 y3 , 8 x1 + x3 + 8 y1 + y3 ) = C ( x) + C ( y ) ⇒C ( x + y ) = ( 2( x + y )1 + 3( x + y ) 2 + 4( x + y )3 , 5( x + y )1 + 6( x + y ) 2 + 7( x + y )3 , 8( x + y )1 + ( x + y )3 ) == (α (2 x1 + 3 x2 + 4 x3 ), α (5 x1 + 6 x2 + 7 x3 ), α (8 x1 + x3 ) ) = α C ( x)C (α x) = ( 2α x1 + 3α x2 + 4α x3 , 5α x1 + 6α x2 + 7α x3 , 8α x1 + α x3 ) =3)C ( x ) = ( 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 , 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 , 8 x1 + x3 ) , C ⊂ R 3⇒ свойство аддитивности не выполняется ⇒ преобразование не линейно≠ ( 2 x1 + 3x2 + 4 x33 + 2 y1 + 3 y2 + 4 y33 , 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 5 y1 + 6 y2 + 7 y3 , 0 ) = B( x) + B( y ) ⇒B ( x + y ) = ( 2( x + y )1 + 3( x + y ) 2 + 4( x + y )33 , 5( x + y )1 + 6( x + y ) 2 + 7( x + y )3 , 0 ) ≠2) B ( x ) = ( 2 x1 + 3x2 + 4 x33 , 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 , 0 ) , B ⊂ R 3= α A( x) ⇒ свойство однородности не выполняется ⇒ преобразование не линейноA(α x) = ( 2α x1 + 3α x2 + 4, 5α x1 + 6α x2 + 7, 8α x1 + α x3 ) ≠ (α (2 x1 + 3 x2 + 4), α (5 x1 + 6 x2 + 7), α (8 x1 + x3 ) ) =1) A ( x ) = ( 2 x1 + 3 x2 + 4, 5 x1 + 6 x2 + 7, 8 x1 + x3 ) , A ⊂ R 310 _ 05 _ 25 _1В содержат 4 x33 .⎛2 3 4 ⎞⎜⎟С = ⎜5 6 7⎟⎜8 0 1 ⎟⎝⎠Матрицы вектора А не существует, так как координаты вектораА содержат слагаемые 4 (в первой координате) и 7 (во второй координате)Матрицы вектора В не существует, так как координаты вектораЗдесь линейным будет только преобразование С , так как прилинейном преобразовании координаты вектора несодержат степени и свободных членовМатрица вектора С имеет вид :C ( x ) = ( 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 , 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 , 8 x1 + x3 ) , C ⊂ R 3B ( x ) = ( 2 x1 + 3 x2 + 4 x33 , 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 , 0 ) , B ⊂ R 3A ( x ) = ( 2 x1 + 3 x2 + 4, 5 x1 + 6 x2 + 7, 8 x1 + x3 ) , A ⊂ R 3Пусть x = ( x1 , x2 , x3 ) Являются ли линейными следующие преобразования :10 _ 05 _ 25 _ 22 вариант решения10 _ 06 _ 25Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, A( x) = {x2 − x3 , x1 , x1 + x3 }, B ( x) = {x2 , 2 x3 , x1 }⎛ 0 1 −1⎞⎛0 1 0⎞⎛ x1 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟A = ⎜ 1 0 0 ⎟ B = ⎜ 0 0 2 ⎟ X = ⎜ x2 ⎟⎜1 0 1 ⎟⎜1 0 0⎟⎜x ⎟⎝⎠⎝⎠⎝ 3⎠⎛⎛0 1 0⎞⎛ 0 0 −1⎞ ⎛ 0 0 2 ⎞ ⎞ ⎛ x1 ⎞(1,2)⎜⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎟⎜ ⎟222 ( B + 2 A + B ) X = 2 ⎜ ⎜ 0 0 2 ⎟ + 2 ⎜ 0 1 −1⎟ + ⎜ 2 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ x2 ⎟ =⎜1 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 0⎟⎟⎜ x ⎟⎜⎜1 0 0⎟⎠⎝⎠ ⎝⎠⎠⎝ 3 ⎠⎝⎝⎛ ⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ 0 0 −2 ⎞ ⎛ 0 0 2 ⎞ ⎞ ⎛ x1 ⎞⎜⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎟⎜ ⎟= 2 ⎜ ⎜ 0 0 2 ⎟ + ⎜ 0 2 −2 ⎟ + ⎜ 2 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ x2 ⎟ =⎜⎜1 0 0⎟ ⎜ 2 2 0 ⎟ ⎜ 0 1 0⎟⎟⎜ x ⎟⎠ ⎝⎠ ⎝⎠⎠⎝ 3 ⎠⎝⎝⎛ ⎛ 0 1 −2 ⎞ ⎛ 0 0 2 ⎞ ⎞ ⎛ x1 ⎞⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⋅ x1 + 1 ⋅ x2 + 0 ⋅ x3 ⎞⎜⎜⎟ ⎜⎟⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟= 2 ⎜ ⎜ 0 2 0 ⎟ + ⎜ 2 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ x2 ⎟ = 2 ⎜ 2 2 0 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = 2 ⋅ ⎜ 2 ⋅ x1 + 2 ⋅ x2 + 0 ⋅ x3 ⎟ =⎜ 3 3 0⎟⎜ x ⎟⎜ 3⋅ x + 3⋅ x + 0 ⋅ x ⎟⎜⎜ 3 2 0 ⎟ ⎜ 0 1 0⎟⎟⎜ x ⎟123 ⎠⎝⎠⎝ 3 ⎠⎝⎠ ⎝⎠⎠⎝ 3 ⎠⎝⎝x2⎛⎞ ⎛ 2 x2 ⎞⎜⎟ ⎜⎟= 2 ⎜ 2 x1 + 2 x2 ⎟ = ⎜ 4 x1 + 4 x2 ⎟⎜ 3x + 3x ⎟ ⎜ 6 x + 6 x ⎟2 ⎠2 ⎠⎝ 1⎝ 1⎛ 0 1 −1⎞ ⎛ 0 1 −1⎞⎜⎟ ⎜⎟(1) A2 = A ⋅ A = ⎜ 1 0 0 ⎟ ⋅ ⎜ 1 0 0 ⎟ =⎜1 0 1 ⎟ ⎜1 0 1 ⎟⎝⎠ ⎝⎠⎛ 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 − 1 ⋅ 0 0 ⋅ ( −1) + 1 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1 ⎞ ⎛ 0 0 −1⎞⎜⎟ ⎜⎟= ⎜ 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 1 ⋅ ( −1) + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1⎟ = ⎜ 0 1 −1⎟⎟⎜⎟ ⎜⎝ 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 1 ⋅ ( −1) + 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 ⎠ ⎝ 1 1 0 ⎠⎛0⎜(2) B 2 = B ⋅ B = ⎜ 0⎜1⎝⎛ 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 + 0 ⋅1⎜= ⎜ 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 + 2 ⋅1⎜ 1⋅ 0 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅1⎝1 0⎞ ⎛0 1 0⎞⎟ ⎜⎟0 2⎟ ⋅ ⎜ 0 0 2⎟ =0 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 0 0 ⎟⎠0 ⋅1 + 1⋅ 0 + 0 ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 1⋅ 2 + 0 ⋅ 0 ⎞ ⎛ 0 0 2 ⎞⎟ ⎜⎟0 ⋅1 + 0 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 2 + 2 ⋅ 0 ⎟ = ⎜ 2 0 0 ⎟1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 0 ⎟⎠10 _ 07 _ 25e1′ = e1 − e2 + e3 , e2′ = −e1 + e2 − 2e3 , e3′ = −e1 + 2e2 + e3⎛2A = ⎜⎜ 0⎜1⎝⎛1T = ⎜⎜ −1⎜1⎝0 1⎞1 −1⎟⎟1 −1⎟⎠−1 −1⎞1 2 ⎟⎟−2 1 ⎟⎠⎛ 1⎜⎜ −21 ⎜ −1⎜−=det T ⎜ −2⎜⎜ −1⎜ 1⎝T−1 1 ⎞⎟1 −2 ⎟T⎛ 5 3 1⎞⎛ 5 3 −1⎞⎟−11 −11 −11⎜⎟⎜⎟−1⎟ =−T3 2 1 ⎟ = ⎜ 3 2 −1⎟⎜11 11 −2 ⎟1⎜⎟⎜1 1 0 ⎟⎝ −1 −1 0 ⎠⎝⎠⎟−11 −1 1 −1 ⎟−−1 2−1 1 ⎟⎠2⎛ 5 3 −1⎞⎛ 2 0 1 ⎞⎛ 1 −1 −1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−1A ' = T ⋅ A ⋅ T = ⎜ 3 2 −1⎟⎜ 0 1 −1⎟⎜ −1 1 2 ⎟ =⎜ 1 1 0 ⎟⎜ 1 1 −1⎟⎜ 1 −2 1 ⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛ 5 ⋅ 2 + 3 ⋅ 0 − 1 ⋅1 5 ⋅ 0 + 3 ⋅1 − 1 ⋅ 1 5 ⋅ 1 + 3 ⋅ ( −1) − 1 ⋅ ( −1) ⎞ ⎛ 1 −1 −1⎞⎜⎟⎜⎟= ⎜ 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 0 − 1 ⋅1 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ ( −1) − 1 ⋅ ( −1) ⎟ ⎜ −1 1 2 ⎟ =⎜ 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 0 + 0 ⋅1 1 ⋅ 0 + 1 ⋅1 + 0 ⋅1 1 ⋅1 + 1 ⋅ ( −1) + 0 ⋅ ( −1) ⎟ ⎜ 1 −2 1 ⎟⎠⎝⎠⎝−1 2−1 121⎛ 9 2 3 ⎞⎛ 1 −1= ⎜⎜ 5 1 2 ⎟⎜⎟⎜ −1 1⎜ 2 1 0 ⎟⎜ 1 −2⎝⎠⎝⎛ 9 ⋅1 + 2 ⋅ ( −1) + 3 ⋅1⎜= ⎜ 5 ⋅1 + 1 ⋅ ( −1) + 2 ⋅1⎜ 2 ⋅1 + 1 ⋅ ( −1) + 0 ⋅1⎝−1⎞2 ⎟⎟ =1 ⎟⎠9 ⋅ ( −1) + 2 ⋅1 + 3 ⋅ ( −2 ) 9 ⋅ ( −1) + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1⎞ ⎛10 −13 −2 ⎞⎟5 ⋅ ( −1) + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ ( −2 ) 5 ⋅ ( −1) + 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 ⎟ = ⎜⎜ 6 −8 −1 ⎟⎟2 ⋅ ( −1) + 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ ( −2 ) 2 ⋅ ( −1) + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅1 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 −1 0 ⎟⎠⎛10 −13 −2 ⎞ответ : ⎜⎜ 6 −8 −1 ⎟⎟⎜ 1 −1 0 ⎟⎝⎠10 _ 08 _ 25поворота в положительном направлении относительно оси Oyна угол π / 2Т .к.