164- Высшая математика_Решебник_Зимина и др_2001 (О.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А. Сальникова - Решебник по высшей математике (2001))

РЕШЕБНИКО.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А. СальниковаВЫСШАЯМАТЕМАТИКАИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕМОСКВАФИЗМАТЛИТ2001У Д К 51Б Б К 22.13 62З и м и н а О.В., К и р и л л о в А.И., С а л ь н и к о в а Т. А. Высшая ма­тематика. — 2-е изд., испр. — М.: Физико-математическая литература,2001. - 368 с. (Решебник.) - ISBN 5-9221-0126-9.Книга содержит примеры решения почти всех типовых задач по высшейматематике. Каждой задаче отведен отдельный раздел, содержащий обшуюпостановку задачи, план ее решения с необходимыми теоретическими пояс­нениями и решение конкретного примера.

Кроме того, в раздел включеныдесять задач для самостоятельного решения и ответы к ним.Для студентов и преподавателей технических, экономических и сель­скохозяйственных вузов; может быть использована как при очной, так ипри дистанционной формах обучения.Ил. 6.Первое издание — 2000 г.ISBN 5-9221-0126-9© ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2001(с) О.В. Зимина, А.И. Кириллов,Т.А. Сальникова, 2000, 2001ОГЛАВЛЕНИЕПРЕДИСЛОВИЕ7Г л а в а ! .

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ1.1. Разложение вектора по базису1.2. Коллинеарность векторов1.3. Угол между векторами1.4. Площадь параллелограмма1.5. Компланарность векторов1.6. Объем и высота тетраэдра1.7. Расстояние от точки до плоскости1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором1.9. Угол между плоскостями1.10. Канонические уравнения прямой1.11. Точка пересечения прямой и плоскости1.12. Проекция точки на плоскость или прямую1.13.

Симметрия относительно прямой или плоскостиГ л а в а 2 . ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА2.1. Правило Крамера2.2. Обратная матрица2.3. Понятие линейного пространства2.4. Системы линейных уравнений2.5. Линейные операторы2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора2.7. Действия с операторами и их матрицами2.8.

Преобразование координат вектора2.9. Преобразование матрицы оператора2.10. Собственные значения и собственные векторыГлаваЗ. ПРЕДЕЛЫ3.1.3.2.3.3.3.4.3.5.3.6.3.7.Понятие предела последовательностиВычисление limn-^oo[i\(^)/Qm(n)]Вычисление limn->oo[/(^)/p('^)]Вычисление Итп^оо[и{пУ^'^^]Понятие предела функцииПонятие непрерывности функции в точкеВычисление limx-^a[Pn{x)/Qm{x)]11....1113141517182123242528313336363941445355596265687171737577798284Оглавление3.8.3.9.3.10.3.11.3.12.ВычислениеВычислениеВычислениеВычислениеВычисление\imx-^o[f (х)/д{х)]\imx^a[f{x)/g{x)]\imx-^o[u{xy^''^^\imx-^a[u{xy^''^^limx->.ai^(w(a;)i'(a:) + / ( ж ) )Глава4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ4.1. Понятие производной4.2. Вычисление производных4.3.

Уравнение касательной и нормали4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала . . . .4.5. Логарифмическое дифференцирование4.6. Производная функции, заданной параметрически4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически .4.8. Производные высших порядков4.9. Формула Лейбница4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически . . .Главаб. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ86888992949797991021031041061081101121141175.1. Общая схема построения графика функции5.2.

Наибольшее и наименьшее значения функции5.3. Исследование функции с помощью производных высших по­рядков126Г л а в а б . ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ . . .1296.1.6.2.6.3.6.4.6.5.6.6.6.7.Частные производныеГрадиентПроизводная по направлениюПроизводные сложной функцииПроизводная неявной функцииКасательная плоскость и нормаль к поверхностиЭкстремум функции двух переменныхГ л а в а 7. Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й И Н Т Е Г Р А Л7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала . . .

.7.2. Интегрирование по частям7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещест­венными корнями знаменателя7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещест­венными корнями знаменателя7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комп­лексными корнями знаменателя7.6. Интегрирование выражений Я(8Шж, cos х)7.7.

Интегрирование выражений sin^*^ ж cos^'^ ж117124129131133135138140142146146148150153157161165Оглавление7.8.Интегрирование выражений Д(ж, f/^f^,f/~^,...)...1677.9. Интегрирование выражений R{x, yjo? db ж^) и Я(ж, \/х2 — а^) 1697.10. Интегрирование дифференциального бинома172Г л а в а 8. О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й И Н Т Е Г Р А Л1758.1.8.2.8.3.8.4.Подведение под знак дифференциалаИнтегрирование по частямИнтегрирование выражений il(sin ж, cos ж)Интегрирование выражений sin^"^ X, cos^" ж1751771791838.5.Интегрирование выражений К{х, \1 ^ ^ ,%.Q.8.7.8.8.8.9.8.10.8.11.8.12.Интегрирование выражений R{x, Va?T^)и R{x, Vx^ - а2) 188Вычисление площадей в декартовых координатах190Вычисление длин дуг у = f{x)192Вычисление длин дуг х = х{1), у = y{t)194Вычисление длин дуг Q = д{(р)196Вычисление объемов по площадям поперечных сечений .

. . 197Вычисление объемов тел вращения199l/^^'Г л а в а 9. К Р И В О Л И Н Е Й Н Ы Е И Н Т Е Г Р А Л Ы9.1.9.2.Криволинейные интегралы первого родаКриволинейные интегралы второго родаГ л а в а 10. Р Я Д Ы10.1.10.2.10.3.10.4.10.5.10.6.10.7.10.8.10.9.10.10.10.11.10.12.10.13.10.14.202202207211Понятие суммы ряда211Первая теорема сравнения214Вторая теорема сравнения217Признак Даламбера•219Признак Коши.222Интегральный признак Коши225Признак Лейбница227Приближенное вычисление суммы ряда229Область сходимости функционального ряда231Область сходимости степенного ряда234Вычисление суммы ряда почленным интегрированием .

. . . 237Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием . 241Ряд Тейлора245Приближенные вычисления с помощью рядов247Г л а в а 11. Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я11.1.11.2.11.3.11.4.. . . ) . . . 185Понятие решенияУравнения с разделяющимися переменнымиОднородные уравненияЛинейные уравнения 1-го порядка251251252255257Оглавление11.5.11.6.11.7.11.8.11.9.11.10.11.11.Уравнение БернуллиУравнения в полных дифференциалахУравнения вида F(x,y(^\2/(''+^)) = ОУравнения вида F(у,у',2/") = ОЛинейные уравнения с постоянными коэффициентами .

. . .Принцип суперпозицииМетод ЛагранжаГ л а в а 12. К Р А Т Н Ы Е И Н Т Е Г Р А Л Ы12.1. Изменение порядка интегрирования12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах12.3. Двойной интеграл в полярных координатах12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах12.7. Вычисление площадей в полярных координатах:12.8. Вычисление массы плоской пластины12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах12.11. Тройной интеграл в сферических координатах12.12.

Вычисление объемов с помощью тройного интеграла12.13. Вычисление массы тела262265269271274278281285285289292297. . . . 301304307310315318321. . . . 325328Г л а в а 13. П О В Е Р Х Н О С Т Н Ы Е И Н Т Е Г Р А Л Ы33313.1. Поверхностный интеграл первого рода13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности13.3. Интеграл по сферической поверхности333336339Глава14. ТЕОРИЯ ПОЛЯ14.1.14.2.14.3.14.4.14.5.14.6.14.7.14.8.Векторные линииПоток векторного поляПоток векторного поля через часть цилиндраПоток векторного поля через часть сферыВычисление потока по формуле ОстроградскогоРабота силыЦиркуляция векторного поляВычисление циркуляции по формуле Стокса342342344348351355357359361ПРЕДИСЛОВИЕВ толковом словаре русского языка под редакцией профессораД.Н.

Уп1акова сказано, что решебник — это учебное пособие, содер­жащее подробные решения задач, помещенных в каком-нибудь задач­нике, ключ к задачнику. РЕШЕБНИК "Высшая математика" — ключсразу к нескольким основным задачникам, используемым при изуче­ния математики, среди которых в первую очередь следует упомянутьизданный в сотнях тысяч экземпляров "Сборник заданий по высшейматематике (типовые расчеты)" Л.

А. Кузнецова. В дополнение кэтой книге распространяется пакет программ РЕШЕБНИК.ВМ, ко­торый помогает решать задачи, выполняя по указанию учащихся все­возможные математические действия.Чтобы приобрести устойчивый навык решения задач одного типа,нужно решить три-пять таких задач.

Однако, решение объективнонеобходимого количества задач не предусмотрено действующимиучебными планами по двум причинам.Во-первых, даже без повторений стандартный объем обязатель­ных домашних заданий превосходит все разумные пределы.Во-вторых, в имеющихся задачниках собраны разнообразные за­дачи, среди которых редко встречается несколько задач в точностиодного и того же типа.Выходит, что студенты должны все понять решив одну-две за­дачи. При этом их внимание отвлекается от сути дела на второсте­пенные или уже пройденные вопросы, а также на выполнение различ­ных преобразований и расчетов.Более того, чтобы научиться решать задачи, нужно самостоя­тельно выполнять все действия, все "потрогать руками". Но сту­денты не могут сами выполнить все действия, поскольку на выполне­ние всех действий вручную требуется слишком много времени. Сту­денты не могут все "потрогать руками", поскольку чтобы познако­миться со всеми математическими действиями и ситуациями, нужнорешить столько задач, на решение которых у студентов нет времени.По этим причинам студенты, как правило, не решают задачи пол­ностью и, следовательно, не до конца уясняют себе их суть.

Напри-8Предисловиемер, у студентов часто нет времени на графическое представлениеответов задач и их анализ, а также на анализ и проверку промежу­точных результатов. Некоторые важные и интересные задачи имеютстоль громоздкие решения, что преподаватели не могут предложитьих студентам.В результате у студентов остаются более или менее обширныепробелы в знани^ях.Комплекс РЕШЕБНИК "Высшая математика" предназначен длятого, чтобы устранить эти проблемы современного математическогообразования. Он — первый опыт создания учебного пособия новоготипа, с которым возможно разнообразное обш,ение: от пассивногочтения до внесения в него изменений и получения ответов на вопросы.Такое пособие в процессе работы адаптируется к потребностям учапцегося и помогает ему применять на практике полученные из пособиязнания.Комплекс РЕШЕБНИК "Высшая математика" поможет студен­там учиться по-новому, т.е.

без ленужных трудностей и потерь вре­мени, оптимальным образом организуя взаимодействие человека икомпьютера, при котором дело человека — правильно ставить за­дачи, а дело компьютера — быстро и правильно их решать.Комплекс РЕШЕБНИК "Высшая математика" состоит из книгиРЕШЕБНИК "Высшая математика" и пакета компьютерных про­грамм РЕШЕБНИК.ВМ.Книга РЕШЕБНИК "Высшая математика" содержит примеры ре­шения почти всех типовых задач из таких разделов высшей матема­тики, как аналитическая геометрия, линейная алгебра, пределы, диф­ференцирование, графики, функции нескольких переменных, неопре­деленные, определенные и криволинейные интегралы, ряды, обыкно­венные дифференциальные уравнения, кратные и поверхностные ин­тегралы, векторный анализ.Каждой задаче отведен отдельный раздел книги, содержащий обш;ую постановку задачи, план ее решения с необходимыми теорети­ческими пояснениями и решение конкретного примера.

Кроме того,в раздел включены задачи того же типа и ответы к ним. Препода­ватели могут предложить часть из них на аудиторных практическихзанятиях, другие — в виде домашних заданий, остальные использо­вать в контрольных работах, на коллоквиумах, зачетах и экзаменах.Чтобы научиться решать задачи того или иного типа, рекоменду­ется сначала изучить план решения (алгоритм) в обш;ем виде, затемПредисловие9рассмотреть пример реализации плана в конкретном случае и затемпо аналогии с ним решить несколько задач из числа предлагаемыхдля самостоятельного решения.Пакет РЕШЕБНИК.ВМ состоит из документов MS Word и специ­альных компьютерных программ.Документы MS Word в основном идентичны тем, которые вклю­чены в книгу.Программы пакета обеспечивают связь (интерфейс) MS Word ссистемой символьной математики DERIVE фирмы Soft WarehouseInc.