6

Лекция 6. Термодинамика идеальных газов.«Варкалось. Хливкие шорькиПырялись по наве,И хрюкотали зелюки,Как мюмзики в мове.»Льюис Кэрролл«Бармаглот»1. Температура вырождения. 2. Высокотемпературный предел. Химический потенциал. 3. Высокотемпературный предел, квантовыепоправки к уравнению состояния и теплоёмкости. 4. Низкотемпературная термодинамика ферми-газа. Энергия Ферми. 5. Теплоёмкость вырожденного ферми-газа. Низкотемпературные поправки.6.Низкотемпературные свойства бозе-газа. Температура бозеконденсации.

Размерные свойства. 7. Идеальный газ фотонов. Квазичастицы. 8. Идеальный газ фононов. 9. Энергия нулевых колебаний.1. Температура вырождения.Теперь у нас всё готово для того, чтобы вычислитьтермические (уравнение состояния) и калорические (теплоёмкость) свойства идеальных газов. Сделаем это сначала ввысокотемпературном пределе, когда газ становится больцмановским. Как мы отмечали выше, это происходит тогда,когда числа заполнения становятся меньше единицы np  1и квантовые эффекты (различие бозе- и ферми-частиц) перестают играть роль. Температуру вырождения, при которойэто происходит, легко оценить, сравнив «тепловую» длинуволны де Бройля частицы ~ 2 / 2mT со средним расстоянием между частицами ~ V / N  . Таким образом, для13температуры вырождения получаем3N  m V 2Tвыр23(6.1)Для ферми-частиц её принято называть энергией Ферми, адля бозе-частиц – температурой бозе-конденсации.2.Высокотемпературный предел. Химический потенциал.Итак, рассмотрим сначала высокотемпературный предел T  Tвыр .

Вычислим для начала химический потенциал,который всегда определяется условием на полное число частиц. С учетом «правила суммирования»g ( )d N   np  p 0eT(6.2)Воспользовавшись выражением для плотности числа состояний, получаем:(2s  1)m3 2g ( )  BV  , B 2 2 3N 0(6.3)BV  d  eT(6.4)При высоких температурах числа заполнения малы, ивеличиной   1 в знаменателе (6.4) можно пренебречь.Тогда интеграл легко берётся:N  BVe  TT32  x1 2e x dx(6.5)0С учётом того, чтоxe x dx  (1/ 2)!   / 204(6.6)и вводя уточненное значение температуры вырождения газаTвыр  (2 N / BV  ) , так что e  (Tвыр / T )3 2 , получаем23  T lnT2N T ln T BVT 3 2(6.7)Примечательный результат: химический потенциал идеального больцмановского газа – большое по абсолютной величине отрицательное число. Это значит, что сосуд с больцмановским газом весьма охотно, с выделением энергии, всасывает еще одну N  1 частицу.

Вспомним это, когда будемобсуждать качественную картинку  (T ) .3. Высокотемпературный предел. Квантовые поправкик уравнению состояния и теплоёмкости.Сначала установим важное соотношение между энергией и  -потенциалом. Запишем выражения для    PVи E:PV   TBV   ln(1   e1 T)  d(6.8)0  d0eE  BV   T(6.9)Оба этих соотношения получаются из полученных ранее выражений   T  ln(1   e1  pT)(6.10)pE    p npp(6.11)Видно, что если первый интеграл взять по частям, то получится второй интеграл5PV 2E3(6.12)Эта формула имеет универсальный характер и годится длялюбых температур. Численный множитель в ней зависит отзакона дисперсии частиц  p  p d и размерности пространства D (объём сферического слоя  p D 1dp ), так что в общем случае получимPV dED(6.13)Например, для ультрарелятивистского идеального газа (любой статистики) получаем PV  E / 3 .Теперь всё готово для того, чтобы вычислить высокотемпературные поправки.

Для больцмановского газаe T  Tвыр / T 32 1(6.14)так что, из (6.9) получаем3Px 3 2 dx2 BT 5 2 0 x  Te x  dx  x3 2  e T (1   e Tx ...) (6.15)03  T5 2Te (1    2  e  ...)4Подставляя сюда выражение (6.7) для «активности» e T ,полученное выше, получаем окончательно322E  Tвыр  PV  NT 1  2/5  ... 2  T 3(6.16)Отсюда видно, что квантовая поправка к теплоёмкости и закону Менделеева–Клапейрона по порядку величины6~ (Tвыр / T )3 2 , а её знак зависит от статистики частиц. Хотя«силовое» взаимодействие между частицами идеального газаотсутствует, правила заполнения одночастичных состояний,диктуемые симметрией волновых функций частиц, приводятк эффективному «отталкиванию» фермионов (увеличениядавления, уменьшение теплоёмкости) и «притяжению» бозонов (наоборот). Это своеобразное квантовомеханическое«обменное взаимодействие» может успешно конкурировать споправками на неидеальность.4. Низкотемпературная термодинамика ферми-газа.Энергия Ферми.Вырожденные ферми- и бозе-газы ( T  Tвыр ) ведутсебя очень по-разному, поэтому удобно рассматривать ихнизкотемпературную термодинамику отдельно.

Рассмотримсначала ферми-газ. Запишем, как и ранее, выражения дляполного числа частиц и энергии:N  BV  0E  BV  0 d 1   de e(6.17)TT1(6.18)Низкотемпературные свойства фермионов определяются тем, что при T  0 сфера Ферми заполнена, а при увеличении температуры заполненность состояний изменяютсяв узком слое ширины ~ T около поверхности Ферми. Какотмечалось выше, при T  Tвыр функция распределенияФерми – Дирака имеет вид резко выраженной «ступеньки»,так что, полагая в (6.17), (6.18)    (0) , получаем72BV  3 2 (0)32E  BV  5 2 (0)54PV  BV  5 2 (0)15N(6.19)(6.20)(6.21)Химический потенциал фермионов при T  0 принятоназывать энергией Ферми  (0)   F .

Она и является температурой вырождения.23для232 3 N  электронов 2N(6.22)F    32m V  2B V 32 NE0   F N , P0   F(6.23)55 VПри комнатной температуре T  300K электронный газ ме-таллов уже сильно вырожден. Для типичного металлаn ~ 5 1022 см-3 энергия Ферми  F ~ 5эВ ~ 50000K , а давление P0 ~ 105 атм .5.

Теплоёмкость вырожденного ферми-газа. Низкотемпературные поправки.Чтобы вычислить теплоёмкость вырожденного фермигаза, нужно «поймать» отличие функции распределенияфункции распределения Ферми – Дирака от «ступеньки». Этоотличие мало в меру малости T /  F , то есть наши интегралынужно разложить по этому малому параметру.Отличие от «ступеньки» приводит для любой функцииf ( ) к разложению:80f ( )d  eT1  f ( )d  026T 2 f (  )  ...(6.24)Происхождение поправочного члена легко понять,изобразив графически разность функции распределенияФерми – Дирака и ступеньки. Действительно1  f ( ) d f()d0T  0 T e 10f (   Tx )dx ex  1 T0(6.25)f (   Tx )dxex  1поскольку мы ищем разложение при малых T   , товерхний предел интегрирования можно заменить на  , аподынтегральную функцию разложить в ряд.

Это и даст намискомую поправку.Для вычисления коэффициента нам понадобился интеxdx, который можно вычислить, воспользовавшисьx10контуром (, 0, 2 i, 2 i  )гралexdxz 2 dz  20 e x  1 C e z  1  12(6.26)Если этот способ вычисления интеграла кажется «некомфортным», то можно поступить проще, разложив подинтегральное выражение «в лоб»:xdxxx2 x3 x0 e x  1  0 xe dx 1  e  e  e  ...     xdx  ek 1 0 kx(1)k 1(1) k 1   e  d  2kk 1091 1 1 1 1     ...22 32 42 52 62222 2  2  2 2462 1 1 1  1  2   1  2  2  2  ...

 2  2 3 4 1(6.27)А как найти сумму обратных квадратов? Мы знаем корнифункцииsin x; это x   , 2 ,... . Значит,xx2 x4sin x1   ... 3! 5!xx2  x2  x2   1  2   1  2 2   1  2   ...   2   3  (6.28)Из сличения коэффициентов левой и правой частей (6.28)видно, что:1 12...22 3261 141  4  4  ... 2 3901(6.29)(6.30)Слагаемое ~ x 2 получается из суммы слагаемых, взятых из каждой скобки левой части. А слагаемое ~ x 4 естьсумма попарных произведений этих же слагаемых.

Фактически, мы применили здесь теорему Виета «в действии», воспользовавшись не готовым рецептом, а прямо получив его.Подставляя разложение (6.24) в (6.17), (6.18), для числачастиц и энергии получаем выражения  2  T 2232N  BV  1 ... 38 10(6.31) 5 2  T 2252E  BV  1    ...58 (6.32)обращая которые методом итераций, получаем температурные зависимости химического потенциала и теплоёмкости:  2  T 2 (T )   F 1     ... 12   F 2TCV (T )  N   ...2F(6.33)(6.34)Здесь учтено, что23BV  5 2 (0)  N  F55(6.35)Последний результат имеет ясный физический смысл.При нулевой температуре сфера Ферми полностью заполнена. При нагревании газа до температуры T происходит изменение чисел электронов только в узком слое ~ T вблизиповерхности Ферми.

Относительная доля электронов, переместившихся в возбужденные состояния ~ T /  F , а изменение энергии каждого ~ T , так что теплоёмкость газа получается CV ~ NT /  F , в полном соответствии с (6.34).6. Низкотемпературные свойства бозе-газа. Температура бозе-конденсации. Размерные свойства.Низкотемпературная термодинамика бозе-газа определяется способностью бозонов скапливаться в низколежащиходночастичных состояниях в больших количествах. Это приводит к явлению бозе-конденсации. Рассмотрим этот вопросподробнее.Из распределения Бозе видно, что  (0)  0 , иначе науровне   0 число частиц станет отрицательным. По той же11причине ясно, что  (T )  0 .

Кроме того, дифференцируяуравнение, неявно задающее зависимость химического потенциала от температурыN  BV  d(6.36) e T 1  по температуре, получаем, что   0 . Всё это наводит на T подозрение, что кривая  (T ) подходя «снизу» к оси темпе0ратур, может «уткнуться» в неё не в нуле, а при конечнойтемпературе TB . Проверим, так ли это. Полагая в (6.36)  0 и T  TB , получаемN  BVT 3 2 0xdxe 1(6.37)xС учётом того, что численно безразмерный интегралравен 2.315 , для температуры, которую ввиду дальнейшегобудем называть температурой бозе-конденсации, получаемTB  (2.315  B)2 3N V 23N~ 2m  V 223(6.38)Видно также, что именно температура бозеконденсации является температурой вырождения идеальногобозе-газа.

А что будет при дальнейшем понижении температуры T  TB ? В силу сказанного выше, химический потенциал должен остаться нулём  (T )  0 . Казалось бы, можноповторить наши рассуждения ещё раз, в них ничего не поменяется, и мы получим N  N  (T / TB )3 2 . Как же это моглополучиться, куда девалась часть частиц, которых уже не хватает в нашем интеграле для того, чтобы удовлетворить ра12венству (6.36)? Всё дело в том, как мы заменяем сумму поодночастичным состояниям на интеграл ...