Конспект лекций - Квантовая механика Часть 1 (Конспект лекций - Квантовая механика Часть 1.pdf)

А.Л. БарабановКВАНТОВАЯ МЕХАНИКА(КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ)Часть 12-я редакция (2015 год)исправлены замеченные опечатки,внесены незначительные измененияМосква 2005В этой книге представлен конспект лекций по курсу квантовой механики, прочитанных мной в весеннем (часть 1) и осеннем (часть 2)семестрах 2004 года студентам факультета физической и квантовойэлектроники Московского физико-технического института. По построению и кругу обсуждаемых вопросов этот курс примерно соответствует годовым курсам квантовой механики, читаемых на других факультетах МФТИ.Идея создания конспекта лекций принадлежит студенту группы 154 А.В. Шелаеву.

Он же, Артем Шелаев, выполнил основнуючасть работы по составлению конспекта (включая набор формул исоздание рисунков в пакете LATEX). Со своей стороны я не только внимательно прочел представленные Артемом тексты, но также исправилих, дополнил (стараясь не выходить за рамки заданного жанра – конспект) и отредактировал. Поэтому я несу полную ответственностьза все формулировки в этой книге и, разумеется, за все возможныеоплошности и опечатки.

Буду признателен всем, кто пришлет мне своизамечания по адресу a_l_barabanov@mail.ru .Я очень благодарен Артему Шелаеву, без инициативы которого этакнига не появилась бы, а также всем, кто ему помогал. Я также оченьпризнателен всем своим коллегам по кафедре теоретической физикиМФТИ за многочисленные обсуждения проблем квантовой механики ивопросов, связанных с ее изложением, в особенности, Б.В.

Гешкенбейну, С.А. Гордюнину, Г.С. Ирошникову, Л.П. Котовой, В.П. Кузнецову,В.И. Манько, Д.Л. Осипову, В.П. Смилге, А.И. Тернову, С.В. Толоконникову, С.В. Фомичеву. Отдельно хотелось бы выразить благодарность С.П. Аллилуеву и Ю.М. Белоусову — не только за поддержкуи вдохновляющие дискуссии, но и за последовательное утверждениена кафедре творческой и доброжелательной атмосферы. Особая признательность — Н.Н.

Пастушковой — за неоценимый вклад в образ истиль жизни кафедры теоретической физики МФТИ.Добавление ко 2-й редакции : Спасибо всем, кто указал на опечатки.Их оказалось сравнительно немного, и поэтому я сомневался, нужноли править старый текст. Не проще ли написать новый, ведь многиеразделы курса я рассказываю теперь иначе? В конце концов я осознал,что одно другому не противоречит. Новый текст готовить нужно, но вэтом старом конспекте есть своя логика, и пусть он будет по возможности точным.А.Л. Барабановc А.Л. Барабанов, 2005, 20152Содержание1 Квантовое описание свободного движения1.1 Волна де Бройля . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Суперпозиция волн де Бройля . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Модельный волновой пакет . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Операторы физических величин2.1 Групповая скорость . . . . . . . . . . . . . .

. .2.2 Свойства волн де Бройля . . . . . . . . . . . . .2.3 Амплитуда C(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4 Вычисление средних значений . . . . . . . . . .2.5 Постановка задачи на собственные функции исобственные значения операторов . . . . . . . .5567....99101111. . . . . .13....................3 Постулаты квантовой механики133.1 Обозначения и определения . . . . . . . . . .

. . . . . . . 133.2 Постулаты и их следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Одновременная измеримость физических величин194.1 Одновременно измеримые величины . . . . . . . . . . . . 194.2 Соотношение неопределенностей . . . . . . . . . . . . . . 205 Квантовая динамика. Связь квантовой механики склассической5.1 Уравнение Шредингера .

. . . . . . . . . . . . . . . . .5.2 Зависимость физических величин от времени . . . . .5.3 Теорема Эренфеста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4 Скобки Пуассона и коммутаторы . . . . . . . . . . . .5.5 Плотность тока вероятности . . . . .

. . . . . . . . . ...........2323252728306 Стационарные и нестационарные состояния.Линейный осциллятор316.1 Стационарные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2 Общее решение уравнения Шредингера . . . . . . . . . . 326.3 Линейный осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

347 Частица в центральном поле377.1 Операторы орбитального момента . . . . . . . . . . . . . 377.2 Сферические гармоники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.3 Радиальное уравнение Шредингера . . . . . . . . . . . . . 4238 Водородоподобный атом448.1 Уравнение для радиальных функций . . . . . . . . . . .

. 448.2 Явный вид радиальных функций . . . . . . . . . . . . . . 458.3 Спектр водородоподобного атома . . . . . . . . . . . . . . 489 Теория представлений. Формализм Дирака499.1 Волновая функция в f -представлении . . . . . . . . . . . 499.2 Постулаты квантовой механики в формализме Дирака . 509.3 Собственные векторы и собственные значения операторакоординаты . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . 5210 Матричные представления. Еще раз о линейномосцилляторе10.1 Операторы-матрицы и векторы-столбцы . . . . . .10.2 Унитарные преобразования . . . . . . . . . . . . .10.3 Одновременная измеримость величин . . . . . . .10.4 Линейный осциллятор . . . .

. . . . . . . . . . . .................535354585911 Квантование свободного электромагнитного поля6311.1 Свободное электромагнитное поле . . . . . . . . . . . . . 6311.2 Переход от классических величин к операторам . . . . . 6612 Симметрии и законы сохранения6912.1 Общие замечания . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6912.2 Представления Шредингера и Гейзенберга . . . . . . . . 7012.3 Однородность пространства и сохранение импульса . . . 7112.4 Изотропия пространства и сохранение углового момента 7413 Угловой момент. Спин7613.1 Свойства операторов углового момента . . . . . . .

. . . 7613.2 Спиновый момент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8014 Квазиклассическое приближение14.1 Описание движения в классической механике14.2 Описание движения в квантовой механике .14.3 Описание движения в квантовой механике вквазиклассическом приближении .

. . . . . .14.4 Точки поворота . . . . . . . . . . . . . . . . .14.5 Энергии дискретных уровней . . . . . . . . .14.6 Проницаемость барьера . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . .. . . . . . .828282....83868990........................Лекция 11.1Квантовое описаниесвободного движенияВолна де БройляПопытки применить классическую механику к описанию движениямикрочастиц, как правило, не приводят к успеху. Опыты по дифракции электронов указывают на необходимость отказа от траекторий.Следовательно мы не можем в любой момент t приписать частицеопределенное положение r.

Вместо этого мы вводим волновую функцию Ψ(r, t). По определению |Ψ(r, t)|2 d3 r – это вероятность того, чтов момент t частица находится в объеме d3 r вблизи r.Функция |Ψ|2 тогда – плотность вероятности. Функция Ψ – амплитуда плотности вероятности или, просто, амплитуда вероятности.Условие нормировки волновой функции имеет видZ|Ψ(r, t)|2 d3 r = 1.R3Гипотеза де Бройля состоит в том, что свободной частице соответствует волновая функция (волна де Бройля)Ψ(r, t) = Ψ0 eipr−Et~.Но при таком описании свободной частицы возникают две трудности.1) ИнтегралZZ2 32|Ψ(r, t)| d r = |Ψ0 |d3 rR3R3не сходится.2) Пусть v – классическая скорость частицы.

Тогда фазовая скорость волны де Бройля (а никакой другой скорости у волны де Бройлянет)Eωvф = =kpне совпадает с v. Действительно, в нерелятивистском случаеp2pv⇒ vф == ,2m2m2тогда как в релятивистском случаеspEm2 c42224E = p c +m c⇒ vф == c2 + 2 > c.ppE=5Поэтому, не отказываясь от волны де Бройля, наметим иной (болееглубокий) подход к описанию свободной частицы.1.2Суперпозиция волн де БройляПусть частица летит вдоль оси Ox, т.е. p k Ox.

Тогда одномернаяволна де Бройля имеет видΨ(x, t) = Ψ0 eipx−Et~,где p – импульс, E – энергия. Предположим, что уравнение для волновой функции является линейным. Тогда суперпозиция волн де Бройлятакже является волновой функцией. Складывая (интегрируя) волныде Бройля с весами C(p), получим волновую функциюΨ(x, t) =+∞Zpx−EtiC(p)Ψ0 e ~ dp.−∞Такую волновую функцию называют волновым пакетом.Исследуем интеграл от квадрата модуля волнового пакета:+∞Z|Ψ(x, t)|2 dx =−∞ +∞  +∞+∞ ZZZp 0 x−E 0 tpx−Et−ii~=C ∗ (p 0 )Ψ∗0 edp 0  C(p)Ψ0 e ~ dp dx =−∞= |Ψ0 |2−∞+∞Z−∞+∞+∞Z(p−p 0 )x(E 0 −E)t Zii0∗0~~dpdp C (p )C(p) eedx =−∞−∞−∞+∞Z(p−p 0 )xi~= т.

к.edx = 2π~ δ(p − p 0 ) =−∞+∞+∞ZZ(E 0 −E)ti20∗0~δ(p − p 0 ) == 2π~ |Ψ0 |dpdp C (p )C(p) e−∞+∞Z= 2π~ |Ψ0 |2−∞|C(p)|2 dp.−∞6Пусть Ψ0 = √1, тогда условие нормировки выглядит так:2π~+∞+∞ZZ2|Ψ(x, t)| dx =|C(p)|2 dp = 1.−∞−∞Итак, пусть волна де Бройля – этоΨp (x, t) = √px−Eti1e ~ .2π~Тогда волновой пакет имеет вид+∞ZΨ(x, t) =C(p)Ψp (x, t)dp.−∞Мы доказали, что при любой весовой функции C(p) такой, что+∞R|C(p)|2 dp = 1, волновой пакет нормирован на единицу. Естествен−∞но предположить, что C(p) – это амплитуда вероятности того, чточастица, волновая функция которой задана волновым пакетом, обладает импульсом p. Тогда |C(p)|2 dp – это вероятность того, что приизмерении импульса частицы будет получено значение от p до p + dp.1.3Модельный волновой пакетИсследуем теперь скорость движения волнового пакета. Для этоговоспользуемся следующей моделью.

Пусть функция C(p) такова, что(C(p) =C0 ,0,p ∈ (p0 − ∆p , p0 + ∆p),Sp ∈ (−∞ , p0 − ∆p) (p0 + ∆p , +∞).И пусть ∆p p0 (неопределенность импульса мала). Тогда в окрестности p0 справедливоE(p) ≈ E0 + (p − p0 )7dEdp.0Запишем Ψ-функцию, отвечающую такой C(p):p0Z+∆pΨ(x, t) = C0C0=√2π~√px−Eti1e ~ dp =2π~p0 −∆pp0Z+∆p px−E t−(p−p ) dE t00 ( dp )0i~edp =p0 −∆pp0Z+∆pp x−E0 ti 0~eC0=√2π~p−p ξ= ~0= dp = ~ dξei(p−p0 ) x−( dEdp ) t0dp =~p0 −∆p∆p/~Z0tdEC0 ~ i p0 x−E~eei ξ(x−( dp )0 t) dξ == √2π~ −∆p/~0tC0 ~ i p0 x−EdE~t),=√ef (x −dp 02π~где∆p/~Zf (x̃) =−∆p/~∆p/~2 sin ∆p~ x̃1ei ξx̃ dξ ==.eiξx̃ ix̃x̃−∆p/~f (x̃) 6 2∆p~- 3π~∆p- 2π~∆pπ~- ∆pπ~∆p02π~∆p3π~∆px̃График функции f (x̃) представлен на рисунке.

Найдем отношениевысот двух первых максимумов |f (x̃)|: 2 sin 3π ~3π~4∆p~212f /f (0) = =·=≈ . (3π~)/(2∆p) 2∆p2 ∆p 3π~ 2∆p3π58Лекция 22.1Операторы физическихвеличинГрупповая скоростьНа прошлой лекции было показано, что модельный волновой пакетможет быть записан в следующей форме: 0tC0 ~ i p0 x−EdE~Ψ(x, t) = √f (x −t).edp 02π~График функции Re (Ψ(x, 0)) представлен на рисунке. Для длины волны имеем2π~2π~λ=≡ ∆x, т.к. ∆p p0 .p0∆p6Re (Ψ(x, 0))- ∆x2∆x2xλВ произвольный момент t частица локализована там, где величина|Ψ(x, t)|2 hсущественно отличнаi от нуля, т.е. преимущественно в обла-∆xсти x ∈ x0 − ∆xшириной ∆x =2 , x0 + 2 dEx0 = dpt. Таким образом, справедливо2π~∆pс центром в точке0∆x∆p ' 2π~.Групповая скорость волны (скорость движения области локализации частицы) естьdE.vгр =dp 0Групповая скорость волны совпадает со скоростью частицы v как внерелятивистском случае,E=p22m⇒vгр =9p= v,mтак и в релятивистском случае,E=pp2 c2 + m2 c4⇒c2 pc2 pvгр = p== v.Ep2 c2 + m2 c4Замечание.