условия дз1 (ДЗ №1 и ДЗ №2 - Условия)

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №1 «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФАКУЛЬТЕТА ФН3 КУРСА 6 СЕМЕСТРА«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАИ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ»Задача 1. Теоретическая часть работы1. Для указанного в задании закона распределения наблюдаемой случайнойвеличины  найти функцию распределения, математическое ожидание идисперсию. Плотности распределения приведены в конце задания.2.

Найти оценки неизвестного параметра распределения  методом моментов иметодом максимального правдоподобия. Исследовать полученные оценки нанесмещенность и состоятельность. Если найденные оценки смещенные,предложить, исходя из полученных оценок, несмещенные оценки ̂1 и ̂2 .Вычислить их дисперсии.3. Если в рассматриваемой модели существует оптимальная оценка неизвестногопараметра, найти эту оценку.4.

Для неизвестного параметра  построить γ-доверительный интервал длянепрерывных моделей или асимптотический γ-доверительный интервал длядискретных моделей. Значение доверительной вероятности γ дано в задании.5. Построить критерий Неймана-Пирсона уровня значимости  для проверки двухпараметрических гипотез H 0 :   0 и H 1 :   1 . Значение  указано в задании.Найти вероятность ошибки второго рода.Задача 2. Работа на компьютере1.

Смоделировать выборку объема 500 из заданного закона распределения приуказанном значении параметра  . Построить реализацию вариационного рядавыборки, гистограмму и эмпирическую функцию распределения.2. По смоделированной выборке вычислить значения выборочных характеристик,которые будут использованы для нахождения оценок, а также при построении γдоверительного интервала для параметра  .3. Найти численные значения предложенных оценок.4. Указать полученный по выборке γ-доверительный интервал для  .5. Проверить гипотезу о том, что построенная выборка получена из заданного законараспределения, применив критерий Колмогорова и критерий хи-квадрат Пирсона.Уровень значимости критерия  указан в индивидуальном задании.6.

Смоделировать 10 выборок объема 200 каждая из указанного в задании законараспределения. Для одной из выборок построить гистограмму и эмпирическуюфункцию распределения.7. Для каждой из построенных выборок вычислить значения выборочныххарактеристик, которые будут использованы для нахождения оценок, а также припостроении γ-доверительного интервала для  .8. Для каждой выборки найти численные значения предложенных оценок и привеститаблицу полученных γ-доверительных интервалов для параметра  .9. По выборке из результатов 10 экспериментов вычислить выборочные средние идисперсии каждой из оценок, полученных в п.8.№ вар.12Закон распределения случайной величины ξR[2  1,1]f (x ; a, )   1e (x a )/e e345678( x a )/ , a   2,   1 / 2N (,( / 2)2 )c cf (x , c, ) , x  , c  5 / 4x c 1|x a |1 f (x ; a;b)  e b , a   , b  22bx2x  2f (x ; a )  2 e 2a , x  0, a  af (x , )  2e 2(x 3 ), x  31f (x , ) ex/  , x  0θ-2γ0.70.0520.850.061.50.80.0730.70.081.10.850.0940.80.05-20.70.061.50.850.07α9N (,  2 )20.80.0810Bi(3, )0.70.70.091112Bi(4, 1/2 )R[2  1,  ]0.410.850.80.050.0613120.70.0720.850.0830.80.0940.70.051.50.850.0620.80.072.50.70.081.50.850.0920.80.0510.70.0614f (x ; a, ) x 21/2( )212223x, 0  x  2.8 3f (x ) f x ;b; c  c x c1f x ; c;b   x c  b 1, x  0, c  , b   22bR   4; 3  2c1920, a  1,   2221  b, a  2, b  e2bN ( 2 ,2)1618(ln x a )2|x a |f (x ; a;b) 1517exc 1ceexbb (c), x  0, c  1 / 2, b   1/2N ( 2 , 4)1Exp  ,1Биномиальный закон Bi(1, p) задается набором вероятностей видаpk  C nk p k (1  p)n k , k  0,1, , n.Пуассоновский закон () задается набором вероятностей видаpk Равномерноевероятностейраспределениеk e , k  0,1, .k!задаетсяR[a, b ]плотностьюраспределения1, x  [a, b ].b af (x ; a, b) Распределение Лапласа с параметрами a и b задается плотностью распределениявероятностейf x ; a;b  1 e2bx a,bРаспределение Релея с параметромвероятностейa   x  .задается плотностью распределенияx2x − 2 a2f ( x; β )e=, x > 0.a2Распределение Парето с параметрами c и  задается плотностью распределениявероятностейf x ; c  Распределение Вейбуллараспределения вероятностейсf x ;b; c  c cx c 1, x  .параметрамиc x c1bce x c  b cиbзадаетсяплотностью, x  0. Экспоненциальное распределение Exp ;  задается плотностью распределениявероятностей=f ( x; λ ; β ) λ e − λ ( x − β ) , x ≥ β .Гамма-распределение с параметрами c и b задается плотностью распределениявероятностейf x ; c;b  x c1 exbbc  c , x  0.Логнормальное распределение с параметрами a и  задается плотностьюраспределения вероятностейf (x ; a, ) 1 x 2e(ln x a )222.Распределение экстремальных значений с параметрами aплотностью распределения вероятностейf (x ; a, )   1e (x a )/e e( x a )/ .и  задается.