Условия дз2 (ДЗ №1 и ДЗ №2 - Условия)

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №2 «СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ»ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФАКУЛЬТЕТА ФН3 КУРСА 6 СЕМЕСТРА«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАИ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ»ЗАДАЧА 1Пусть t - одномерный пуассоновский процесс с интенсивностью  .1) Найти функцию распределения случайной величины  , равной моменту первогопопадания процесса t во множество G . Построить ее график.

Вычислить математическоеожидание  1 .2) Смоделировать 100 траекторий пуассоновского процесса и по ним построить оценки для и для функции распределения  . Привести графики.НомерG  {(t, t ) : (t, t )  A}, A :варианта11/3[0,2] [1.5, 3.5]  [2, 3] [1.5,2.5]  [3, 4] [2.5, 3.5]21.631.940.55262.872/381.2591.5102.3113121/3131.6142.5150.8161.2171180.4191.9200.5[0,1] [1.5,2.5]  [1,2] [2.5, 3.5]  [2, 3] [1.5,2.5][1, 3] [2.5, 3.5]  [3, 4] [1.5,2.5][0, 3] [1.5,2.5]  [3, 4] [2.5, 3.5][1,2] [0,1.5]  [2, 4] [1.5,2.5][0,2] [1.5,2.5]  [2, 3] [2.5, 3.5]  [3, 4] [1.5, 3.5][0,2] [2.5, 3.5]  [2, 4] [1.5,2.5][1,2] [1.5,2.5]  [2, 4] [0,1.5][0,1] [2.5, 3.5]  [1,2] [1.5,2.5]  [2, 3] [0.5,1.5][0,1] [3.5, 4.5]  [1,2] [1.5,2.5]  [2, 3] [2.5, 3.5][0,2] [1.5,2.5]  [3, 4] [2.5, 3.5][0,2] [3.5, 4.5]  [2, 4] [1.5,2.5][0,2] [2.5, 3.5]  [2, 3] [0.5,1.5][1,2] [1.5, 3.5]  [3, 4] [1.5, 3.5][0,1] [1.5,2.5]  [2, 4] [2.5, 4.5][1, 3] [0.5,1.5]  [3, 4] [1.5, 3.5][0,1] [1.5,2.5]  [1,2] [2.5, 3.5]  [2, 3] [0.5,1.5][0,2] [1.5,2.5]  [2, 3] [2.5, 3.5]  [3, 4] [0.5,1.5][0,1] [1.5,2.5]  [1,2] [2.5, 3.5]  [2, 3] [3.5, 4.5][1, 3] [2.5, 3.5]  [3, 4] [3.5, 4.5]ЗАДАЧА 2Вариант 1,5,9,13,17В двух ящиках поровну разложено 2n шаров, из которых m белых.

На каждом шаге изкаждого ящика берут r шаров и меняют местами. Состояние системы в момент t - числобелых шаров в первом ящике.1) Найти матрицу вероятностей перехода; вероятности состояний системы за первые 10шагов, считая в начальный момент времени система находилась в любом возможномсостоянии с равными вероятностями.2) Для стационарного режима найти распределение вероятностей, математическоеожидание, дисперсию и ковариационную функцию для t .3) Оценить скорость сходимости точного распределения к стационарному.Вариант n m r5 3114 3255 4193 42134 4217Вариант 2,6,10,14,18На столе лежит n -угольная пирамида.

На основании написано число 0, на остальных гранях- 1 – ( n -1). Грани с номерами из множества A окрашены. Число на нижней грани в моментвремени t обозначим t . Каждую секунду пирамида опрокидывается с на любую грань,соседнюю с нижней, причем вероятность переворота на окрашенную в r раз больше, чемна неокрашенную; вероятности переворота на все окрашенные (неокрашенные) грани,соседние с нижней, одинаковы. Все опрокидывания независимы между собой. Найти1) Найти матрицу вероятностей перехода; вероятности состояний системы за первые 10шагов, считая в начальный момент времени система находилась в любом возможномсостоянии с равными вероятностями.2) Для стационарного режима найти распределение вероятностей, математическоеожидание, дисперсию и ковариационную функцию для t .3) Оценить скорость сходимости точного распределения к стационарному.Вариант n r A4 1 025 2 0,365 3 1,2,3104 2 0,1,2144 2 2,318Вариант 3,7,11,15,19В ящике лежит n шаров, из которых m белых.

На каждом шаге из ящика берут r шаров изаменяют на k белых и r  k черных. Состояние системы в момент t - число белых шаровв ящике.1) Найти матрицу вероятностей перехода; вероятности состояний системы за первые 10шагов, считая в начальный момент времени система находилась в любом возможномсостоянии с равными вероятностями.2) Для стационарного режима найти распределение вероятностей, математическоеожидание, дисперсию и ковариационную функцию для t .3) Оценить скорость сходимости точного распределения к стационарному.Вариант n m r k5 32 134 33 275 22 1114 23 1156 23 219Вариант 4,8,12,16,20Два игрока играют игру на следующих правилах.

Проигравший игрок отдает одну монетусопернику. Если один из игроков разорился, то второй отдает ему r монет, после чего играпродолжается. При ничьей оба игрока сохраняют свой капитал. В начальный моментвремени игроки имели по n монет. Вероятности выигрыша каждой партии для игроковравны p1 и p2 .Пусть t - капитал первого игрока после t партий.1) Найти матрицу вероятностей перехода; вероятности состояний системы за первые 10шагов, считая в начальный момент времени система находилась в любом возможномсостоянии с равными вероятностями.2) Для стационарного режима найти распределение вероятностей, математическоеожидание, дисперсию и ковариационную функцию для t .3) Оценить скорость сходимости точного распределения к стационарному.Вариантnrp1p24812162054435131230.20.50.50.30.50.30.40.50.20.5ЗАДАЧА 3Нечетные вариантыТелефонная линия состоит из n линий и N мест в очереди.

Телефонные вызовы приходятпуассоновским потоком с интенсивностью λ в минуту, а время обслуживания каждоговызова распределено экспоненциально с параметром µ . Если вызов приходит на станцию,когда все места в очереди и все каналы заняты, он покидает систему.Требуется:1) найти функцию и плотность распределения времени работы до первого отклоненноговызова, построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию.2) записать систему дифференциальных уравнений, описывающих вероятности состоянийустройства; в стационарном режиме работы найти среднее число занятых каналов; среднеечисло свободных мест в очереди; вероятность, что заявка, поступившая в систему, покинетее необслуженной; вероятность того, что заявка, пришедшая в систему будет ждать началаобслуживания;Вариант135791113151719n3235243244N2430211324λ3412.512.61.920.91µ11.50.81.51.51.21.71.50.71Четные вариантыУстройство состоит из n работающих и m резервных элементов.

Работающие элементыломаются каждый с интенсивностью λ в час. Устройство обслуживает l рабочих, причемкаждый чинит элементы с интенсивностью µ в час. После отказа ремонт продолжается спрежней интенсивностью. После того, как оказывается n исправных элементов, устройствовозобновляет работу.Требуется:1) найти функцию и плотность распределения времени работы до первой остановки,построить их графики.

Вычислить математическое ожидание и дисперсию.2) записать систему дифференциальных уравнений, описывающих вероятности состоянийустройства; в стационарном режиме работы найти среднее число занятых каналов; среднеечисло свободных мест в очереди; вероятность, что заявка, поступившая в систему, покинетее необслуженной; вероятность того, что заявка, пришедшая в систему будет ждать началаобслуживания;Вариант2468101214161820n1221221222m3324432243l2121122123λ11.50.51.21.10.80.921.40.3µ121.51.30.810.410.60.1.