задача 22

Д.10Дано: P1 = 20 Н; P2 = 30 Н; P3 = 40 Н; P5 = 10 Н; М = 0,6 Н.м; R1 = 0,2 м; r1 = 0,1 м;R2 = 0,3 м; r2 = 0,15 м; ρ1 = 0,1 м; ρ2 = 0,2 м.Найти: a3 – ?Решение:rF3Иδφ2М3300δS3M 2И2ε2δφ1450δS5ε1rP3ra5rF5Иra35M 1И1rP2rP1rP5Применим к решению задачи общее решение динамики:∑A + ∑AaKИK= 0,(1)где ∑ A — сумма работ активных сил; ∑ A — сумма работ сил инерции. Так как система приходит в движение из состояния покоя, направления ускорений тел соответствует направлениям ихдвижения. В данной задаче движение системы таково, что груз 5 движется вертикально вверх.

Исходя из этого, покажем направления ускорений груза 3 и ступенчатых шкивов 1 и 2 (ε1 и ε2). Покажем на рисунке также все силы тяжести. Приложим силы инерции. Сила инерции груза 3, двиrжущегося поступательно с ускорением a3 , выражается вектором:aKИKrPrF3И = − m3a3 = − 3 a3g(2)rСила инерции груза 5, движущегося поступательно с ускорением a5 , выражается вектором:rPrF5И = − m5 a5 = − 5 a5g(3)Сила инерции шкива 1, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловым ускорением ε1, приводится к паре сил, момент которой:PM 1И = J 1ε 1 = m1 ρ 12ε 1 = 1 ρ12ε 1(4)gСила инерции шкива 2, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловым ускорением ε2, приводится к паре сил, момент которой:M 2И = J 2ε 2 = m 2 ρ 22ε 2 =P2 2ρ2ε 2g(5)Сообщим системе возможное перемещение в направлении ее действительного движения.

Составим общее уравнение динамики, подставив ( 2 ) – ( 5 ) в выражение ( 1 ):− P5δS 5 − F5И δS 5 + P3 sin 45 0 δS 3 − F3И δS 3 − Mδϕ 2 − M 2И δϕ 2 − M 1И δϕ1 = 0(6)Выразим все перемещения, входящие в выражение ( 6 ) через δS3:δϕ1 =δS 3,R1δϕ1 =δϕ 2 =δS 3;R1δS 5 δS 3=R2r2δϕ 2 =δS 3,r2откуда δS 5 = δS 3δS 5 = δS 3R2r2R2;r2(7)Подставим найденные значения ( 7 ) в ( 6 ) и вынесем за скобки δS3:− P5δS 3R2RMИMИM− F5И δS 3 2 + P3 sin 45 0 δS 3 − F3И δS 3 − δS 3 − 2 δS 3 − 1 δS 3 = 0r2r2r2r2R1RRM M 2И M 1И  − P5 ⋅ 2 − F5И ⋅ 2 + P3 sin 45 0 − F3И −δS 3 = 0−−rrrRr22221 Так как перемещение δS 3 не может быть равным нулю, то выражение в скобках приравниваем кнулю:RRM M 2И M 1И− P5 ⋅ 2 − F5И ⋅ 2 + P3 sin 45 0 − F3И −−−=0r2r2r2R1r2Подставим в последнее уравнение значение сил инерции согласно выражений ( 2 ) – ( 5 ), получим:P3P1 ρ12R2R2 P5M P2 ρ 220− P5 ⋅− a5 ⋅+ P3 sin 45 − a3 −−ε2 −ε1 = 0gr2g r2g R1r2r2gВыразим все ускорения в последнем уравнении через искомое ускорение a3 :a5 = a 3R2;r2ε1 =a3;R1ε2 =a3, тогда:r22RPR PM P2  ρ 2− P5 ⋅ 2 − 5 a 3 ⋅  2  + P3 sin 45 0 − 3 a 3 −− r2ggr2g  r2 r2 22RR PP ρM P5− P5 ⋅ 2 + P3 sin 45 0 −= a3 ⋅  2  + 3 a3 + 2  2r2r2ggg  r2 r2 RP RM− P5 ⋅ 2 + P3 sin 45 0 −= ( 5 ⋅  2r2r2g  r22PP ρ + 3 + 2  2gg  r22P ρ  a3 − 1  1  a3 = 0g  R1 22P ρ  a3 + 1  1  a3g  R1 22P ρ  + 1  1  )a3g  R1 Подставим числовые значения всех заданных величин и найдём искомое линейное ускорение a3 :2220,30 ,610  0,3 40 30  0 ,2 20  0,1 +− 10 ⋅+ 40 sin 45 0 −=(⋅ )a3 + +0 ,150,159 ,8  0 ,15 9,8 9,8  0,15 9,8  0,2 4,2843 = 14,1156.а3a3 =4,2843= 0,304 м/с214 ,1156Ответ: а3 = 0,304 м/с2..