20 (Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.))
Описание файла
PDF-файл из архива "Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "кузнецов (высшая математика)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
tigtu.ruСкачано с http://antigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-20Условие задачиНаписать разложение векторапо векторамРешениеимеет вид:Получаем:аносИли в виде системы:anИскомое разложение вектора::СкачК первой строке прибавим вторую умноженную наК первой строке прибавим третью умноженную на:tigtu.ruanаносИскомое разложение:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 2-20Условие задачии, построенные по векторамСкачКоллинеарны ли векторыи?РешениеВекторы коллинеарны если существует такое число такое, чтоколлинеарны если их координаты пропорциональны.Нетрудно заметить, чтоТ.е., а значит векторыидля любых- коллинеарны..
Т.е. векторыи.Условие задачиНайти косинус угла между векторамииРешениеи:между векторамии:аносНаходим косинус угла.anНайдемtigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-20Т.е. косинус угла:ачи следовательно уголЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 4-20СкУсловие задачиВычислить площадь параллелограмма, построенного на векторахи.tigtu.ruРешениеПлощадь параллелограмма, построенного на векторахвекторного произведения:Вычисляеми, численно равна модулю их, используя его свойства векторного произведения:anВычисляем площадь:иравна.аносТ.е.
площадь параллелограмма, построенного на векторахЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-20Условие задачиКомпланарны ли векторыРешение,и?ачДля того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельныхСкплоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведениенулю.Так как, то векторы,икомпланарны.было равноУсловие задачиtigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-20Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахвершинына грань.Решениепроведем векторы:anИз вершиныи его высоту, опущенную изаносВ соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем:ачВычислим смешанное произведение:СкПолучаем:Так какСогласно геометрическому смыслу векторного произведения:anПолучаем:tigtu.ruВычислим векторное произведение:Объем тетраэдра:Высота:аносТогда:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 7-20Условие задачидо плоскости, проходящей через три точкиачНайти расстояние от точки.РешениеСкНаходим уравнение плоскости, проходящей через три точкиПроведем преобразования::tigtu.ruот точкидо плоскости:anРасстояниеаносНаходим:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-20Условие задачиНаписать уравнение плоскости, проходящей через точкуачРешениеНайдем векторперпендикулярно вектору.:СкТак как векторперпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве векторанормали.
Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-20Условие задачиНайти угол между плоскостями:Решениемежду плоскостями определяется формулой:аносУголanДвугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами.
Нормальныевекторы заданных плоскостей:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 10-20Условие задачи, равноудаленной от точекачНайти координаты точкиРешениеиСкНайдем расстояниеТак как по условию задачи:, тои.tigtu.ruТаким образом.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-20Условие задачи- коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, чтопринадлежит образу плоскости ?anПустьточкааносРешениеПри преобразовании подобия с центром в начале координат плоскостьи коэффициентомпереходит в плоскость. Находим образ плоскостиТак какв уравнениеачПодставим координаты точки, то точка:не принадлежит образу плоскостиЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 12-20СкУсловие задачиНаписать канонические уравнения прямой..:Канонические уравнения прямой:,tigtu.ruРешение:аносНайдем направляющий векторanгде- координаты какой-либо точки прямой, а- ее направляющийвектор.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий векторортогонален нормальным векторам обеих плоскостей.
Нормальные вектора плоскостей:СкачНайдем какую-либо точку прямой. Пусть, тогдаtigtu.ruСледовательно, точкапринадлежит прямой.Получаем канонические уравнения прямой:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 13-20Условие задачиanНайти точку пересечения прямой и плоскости.РешениеаносЗапишем параметрические уравнения прямой.Подставляем в уравнение плоскости:СкачНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:Получаем:Условие задачиНайти точкусимметричную точкеРешениеtigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 14-20относительно плоскости.Тогда уравнение искомой прямой:anНайдем уравнение прямой, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку.
Так как прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве ее направляющеговектора можно взять вектор нормали плоскости:аноспересечения прямой и плоскости.Найдем точкуЗапишем параметрические уравнения прямой.ачПодставляем в уравнение плоскости:СкНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:Получаем:является серединой отрезка, тоСкачаносanПолучаем:tigtu.ruТак как.