Н.Н. Калиткин - Численные методы

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫН. Н. К а л и т к и нВ книге излагаются основные численные методы решения широкого круга математических задач,возникающих при исследовании физических и технических проблем. Изложенные методы пригодныкак для расчетов на ЭВМ, так и для «ручных» расчетов. Для каждого метода даны практическиерекомендации по применению. Для лучшего понимания алгоритмов приведены примеры численныхрасчетов.Книга предназначена для студентов, аспирантов В преподавателей университетов и техническихинститутов, научных работников и инженеров-исследователей, а также для всех, имеющих дело счисленными расчетами.84ОГЛАВЛЕНИЕГ л а в а IVПредисловие редактораЧисленное интегрированиеПредисловие§ 1.

Полиномиальная аппроксимация85Глава I1. Постановка задачи (85). ФормулаЧто такое численные методы?трапеций (86). 3. Формула Симпсона (88). 4.1. Решение задачи (13). 2. Численные13Формула средних (89). 5. Формула Эйлераметоды (15). 3. История прикладной(91). 6. Процесс Эйткена (92). 7. Формулыматематики (16).Гаусса— Кристоффеля (94). 8.

Формулы§ 2. Приближенный анализ17Маркова (97). 9. Сходимость квадратурных1. Понятие близости (17). 2. Структураформул (98).погрешности (22). 3. Корректность (24).§ 2. Нестандартные формулы100261. Разрывные функции (100). 2. НелинейныеГ л а в а IIформулы (100). 3. Метод Филона (103). 4.Аппроксимация функцийПеременный предел интегрирования (105).27§ 1. Интерполирование5.

Несобственные интегралы (105).1. Приближенные формулы (27). 2.§ 3. Кратные интегралы108Линейная интерполяция (27). 3.1. Метод ячеек (108). 2. ПоследовательноеИнтерполяционный многочлен Ньютонаинтегрирование (111).(29). 4. Погрешность многочлена Ньютона§ 4. Метод статистических испытаний113(31). 5. Применения интерполяции (34). 6.1.

Случайные величины (113). 2.Интерполяционный многочлен Эрмита (36).Разыгрывание случайной величины (114). 3.7. Сходимость интерполяции (39). 8.Вычисление интеграла (117). 4.Нелинейная интерполяция (41).Уменьшение дисперсии (119). 5. КратныеИнтерполяция сплайнами (44). Монотоннаяинтегралы (121). 6. Другие задачи (123).интерполяция (46). 11. МногомернаяЗадачи124интерполяция (47).Глава V§ 2. Среднеквадратичное приближение51Системы уравнений1. Наилучшее приближение (51). 2.§ 1.

Линейные системы126Линейная аппроксимация (53). 3.1. Задачи линейной алгебры (126). 2. МетодСуммирование рядов Фурье (56). Методисключения Гаусса (128). 3. Определитель инаименьших, квадратов (59. Нелинейнаяобратная матрица (130). 4. 0 других прямыхаппроксимация (62).методах (132). 5. Прогонка (132). Метод§ 3. Равномерное приближение66квадратного корня (135).

7. Плохо1. Наилучшие приближения (66). 2.обусловленные системы (137).Нахождение равномерного приближения§ 2. Уравнение с одним неизвестным138(68).1. Исследование уравнения (138). 2.69Дихотомия (139). 3. Удаление корней (140).Г л а в а III4. Метод простых итераций (141). 5. МетодЧисленное дифференцированиеНьютона (143).

6. Процессы высоких1. Полиномиальные формулы (70). 2.порядков (145). Метод секущих (145). 8.Простейшие формулы (72). 3. Метод РунгеМетод парабол (146). 9. Метод— Ромберга (74). 4. Квазиравномерныеквадрирования (148).сетки (78). 5. Быстропеременные функции§ 3. Системы нелинейных уравнений150(80). 6. Регуляризация дифференцирования1. Метод простых итераций (150). 2. Метод(81).Ньютона (152). 3. Метод спуска (153).

4.Итерационные методы решения линейныхсистем (153). ЗадачиГлава VIАлгебраическая проблема собственныхзначений§ 1. Проблема и простейшие методы1. Элементы теории (156). 2. Устойчивость(159). 3. Метод интерполяции (162). 4.Трехдиагональные матрицы (164). 5. Почтитреугольные матрицы (165). 6. Обратныеитерации (166).§ 2. Эрмитовы матрицы1. Метод отражения (170).

2. Прямой методвращении (175). 3. Итерационный методвращении (177).§ 3. Неэрмитовы матрицы1. Метод элементарных преобразований(181). 2. Итерационные методы (186). 3.Некоторые частные случаи (187).§ 4. Частичная проблема собственныхзначений1. Особенности проблемы (189).

2. Методлинеаризации (189). 3. Степенной метод(190). 4. Обратные итерации со сдвигом(191).ЗадачиГлава VIIПоиск минимума1. Постановка задачи (194). 2. Золотоесечение (196). 3. Метод парабол (198). 4.Стохастические задачи (200).§ 2. Минимум функции многих переменных1. Рельеф функции (201). 2.

Спуск покоординатам (203). 3. Наискорейший спуск(207). 4. Метод оврагов (209). 5.Сопряженные направления (210). 6.Случайный поиск (214).§ 3. Минимум в ограниченной области1. Формулировка задачи (215). 2. Методштрафных функций (216). 3. Линейноепрограммирование (217). 4. Симплекс-метод(220). 5. Регуляризация линейногопрограммирования (221).§ 4. Минимизация функционала1. Задачи на минимум функционала (223). 2.Метод пробных функций (226). 3.

МетодРитца (230). 4. Сеточный метод (240).ЗадачиГлава VIIIОбыкновенные дифференциальныеуравнения§ 1. Задача Коши1. Постановка задачи (237). 2. Методы155156170181189193194201215решения (238). 3. Метод Пикара (240). 4.Метод малого параметра (242). 5.

Методломаных (243). 6. Метод Рунге—Кутта(246). 7. Метод Адамса (250). 8. Неявныесхемы (252). 9. Специальные методы (353).10. Особые точки (257). 11. Сгущение сетки(258).§ 2. Краевые задачи1. Постановки задач (261). 2. Методстрельбы (262). 3. Уравнения высокогопорядка (266). 4.

Разностный метод;линейные задачи (268). 5. Разностныйметод; нелинейные задачи (271). 6. МетодГалеркина (276). 7. Разрывныекоэффициенты (279).§ 3. Задачи на собственные значения1. Постановка задач (280). 2. Методстрельбы (281). 3. Фазовый метод (282). 4.Разностный метод (284). 5.

Методдополненного вектора (286). 6. МетодГалеркина (288).ЗадачиГ л а в а IXУравнения в частных производных1. О постановках задач (290). 2. Точныеметоды решения (292). 3. Автомодельностьи подобие (294); 4. Численные методы (296).§ 2. Аппроксимация1. Сетка и шаблон (299). 2. Явные и неявныесхемы (301). 3. Невязка (302). 4; Методысоставления схем (303). 5.

Аппроксимация иее порядок (307).§ 3. Устойчивость1. Неустойчивость (311). 2. Основныепонятия (312). 3. Принцип максимума (315).4. Метод разделения переменных (318). 5.Метод энергетических неравенств (322). 6.Операторные неравенства (323).§ 4. Сходимость1. Основная теорема (324).

2. Оценкиточности (327). 3. Сравнение схем на тестах(331).261280289290299311324333223236237Глава ХУравнение переноса1. Задачи и решения (334). 2. Схемыбегущего счета (336). 3. Геометрическаяинтерпретация устойчивости (341). 4.Многомерное уравнение (344). 5. Перенос споглощением (346). 6. Монотонность схем(348). 7. Диссипативные схемы (351).§ 2. Квазилинейное уравнение1. Сильные и слабые разрывы (354). 2.Однородные схемы (357). 3. Псевдовязкость(359). 4. Ложная сходимость (362). 5.334354Консервативные схемы (363).Г л а в а XIПараболические уравнения§ 1. Одномерные уравнения1. Постановки задач (368).

2. Семействонеявных схем (369). 3. Асимптотическаяустойчивость неявной схемы (374). 4.Монотонность (376). 5. Явные схемы (378).6. Наилучшая схема (380). 7.Криволинейные координаты (384). 8.Квазилинейное уравнение (386).§ 2. Многомерное уравнение1. Экономичные схемы (389). 2. Продольнопоперечная схема (391). 3. Локальноодномерный метод (394).

4. Метод МонтеКарло (399).ЗадачиГлава XIIЭллиптические уравнения§ 1. Счет на установление1. Стационарные решения эволюционныхзадач (401). 2. Оптимальный шаг (404). 3.Чебышевский набор шагов (409).§ 2. Вариационные и вариационноразностные методы1. Метод Ритца (413). 2. Стационарныеразностные схемы (414). 3. Прямые методырешения (415). 4. Итерационные методы(420).ЗадачиГлава XIIIГиперболические уравнения§ 1. Волновое уравнение1. Схема «крест» (424).

2. Неявная схема366368389399401413423424(427). 3. Двуслойная акустическая схема.(429). 4. Инварианты (434). 5. Явнаямногомерная схема (435). 6.Факторизованные схемы (436).§ 2. Одномерные уравнения газодинамики1. Лагранжева форма записи (439). 2.Псевдовязкость (442). 3. Схема «крест»(444).

4. Неявная консервативная схема(447). 5. 0 других схемах (450).ЗадачиГлава XIVИнтегральные уравнения§ 1. Корректно поставленные задачи1. Постановки задач (452). 2. Разностныйметод (455). 3. Метод последовательныхприближений (458). 4. Замена ядравырожденным (460). 5. Метод Галеркина(461).§ 2.

Некорректные задачи1. Регуляризация (462). 2. Вариационныйметод регуляризации (465). 3. УравнениеЭйлера (469). 4. Некоторые приложения(473). 5. Разностные схемы (476).ЗадачиГ л а в а XVСтатистическая обработка эксперимента1. Ошибки эксперимента (480). 2. Величинаи доверительный интервал (482). 3.Сравнение величин (490). 4. Нахождениестохастической зависимости (494).ЗадачиПриложение Ортогональные многочленыЛитератураПредметный указатель439451452462478500501505509ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬАвтомодельные решения 294Вольтерра уравнение второго рода 454— первого рода 462Адамса метод 250Выбор веса 60, 486, 497Анализ регрессии 495, 496Выравнивающая замена переменных 42Анизотропная теплопроводность 394, 395Вырожденное ядро 460Аппроксимационная вязкость 351Аппроксимация 308Вычисление корней многочлена 147, 148— кратных интегралов методом Монте-Карло— абсолютная 310121— безусловная 310— дробно-линейная 63— — — — последовательного интегрирования111— краевых условий 385, 393, 427— — — — ячеек 108— локальная 309— несобственных интегралов 105— условная 310— обратной матрицы 131Асимметрия 487Бегущая температурная волна 295— определителя 130Галеркина метод 276, 288, 461Бегущий счет 337, 344, 379Гарвика прием 146Бесселя формулы 62Большие задачи 388Геометрическая интерпретация устойчивости341, 379Включение точки 388Гивенса метод вращении 175Гильбертово пространство 20Двухкруговые итерации 449Дервюдье метод 189Дирихле задача 401Дисбаланс 365Дисперсионный анализ 495Диссипативные схемы 353Дифференцирование быстропеременныхфункций 80— интерполяционного многочлена Ньютона70— — — —, погрешность 71— на квазиравномерных сетках 80— на равномерной сетке 73Дихотомия 139, 263Доверительная вероятность 483Доверительный интервал 483Допустимое решение 356Жорданов набор шагов 411Жорданова подматрица 157— форма матрицы 157Замораживание коэффициентов 320Зейделя метод 155Инварианты акустические 434Интегрирование осциллирующих функций 103— разрывных функций 100Интегро-интерполяционный метод 304Интерполяционный многочлен Ньютона 30— — —, погрешность 32— — —, —, апостериорная оценка 33— — Эрмита 36— — —, погрешность 37Интерполяция квазилинейная 43— лагранжева 28— линейная 28— многомерная 47— — на произвольной сетке 50— — последовательная 49— — треугольная 49Интерполяция монотонная 47— нелинейная 41— обратная 35— сплайнами 44—, сходимость 39— эрмитова 36Квадратурные формулы, априорные оценкиточности 99— —, веса 86— — Гаусса — Кристоффеля 94— — Маркова 97— — нелинейные 100— —, погрешность 86— — Симпсона 88— — средних 89— —, сходимость 98— — трапеций 86— — —, погрешность 87— —, узлы 86— — Эйлера — Маклорена 91Комплексная организация расчета 274, 287, 409Конечные разности 31Консервативные схемы 365.