В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1152752), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ЛИНКННЬП! ПРВОБРАЗОВАНИЯ $3! Теорема 3.4. При ортогональньгх преобразованиях сохраняются расстояния между точками. До ка за тельство. Пусть точки М!(х!, у,) и М2(х„уз) посредством ортогонального преобразования (3.42) переводятся соответственно в точки М!'(х!', у,') и Мз'1ха', уз'), Требуется доказать, что отрезки М,М2 и М,'М,' имеют равные длины. С помощью формул !3.42) и (3.43) получаем ! М !'М2' ( = 1х2' — х !'1 4-1у2' — у !') = = 1ан (Х2- х,)+ а,2(у2- у!)12+ +1а2!1хз-х!)+а221у2-у!)1 = 2 =(а!! 4-а„) (х2 — х!) +1а!2+ а22) (у2 — у!) 4- 2 2 2 2 2 2 + 2 (а на,2+ ат,а22) (х2 — х,) (у2 — у,) = 2 2 2 = !х2 — х,) + (у2 — у,) = ( М,М2 ~ .
Х'= анХ Ч- а!2У+ ацг 4- ам, у ' = аз,х + а22у 4- аззг 4- а24, аз!х ! а32у+ аззг ! а34 !3.44) ') Например. любой треугольник преобразуется в равныи треугольник !равенство по трем сторонам) 2 ) Нги свойства становятся особенно наглядными, если рассматривать ортогоназюное преобразование как движение. Итак, !М!М2! = ~М;Ма'~. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Так как при ортогональных преобразованиях расстояния сохраняются, то любая фигура на плоскости преобразуется в равную ей фигуру ').
Иными словами, ортогональное преобразование на плоскости можно рассматривать как движение этой плоскости. При движении ортогональная система координат переходит в ортогональную систему координат. Этим можно объяснить термин ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования обладают следующими свойствами 2): 1'. Последовательное выполнение двух ортогональньгх преобразований есть ортогональное преобразование. 2'. Тождественное преобразование х'=х, у'=у является ортогональным преобразованием (для этого преобразования соотношения р3.43), очевидно, выполняются). 3'. Преобразование, обратное ортогональному, также является ортогональным.
Линейное преобразование в пространстве 92 прковрлзовлнив дкклртовых прямоугольных координгзт ~гл 3 называется ортогональным, если выполняются соотношения 2 2 2 а|з ч- а2, ж аз, — — 1, аыа,г+ агза22 ч- азза32— - О, 2 2 2 й зг -~- й 22 -~- й 32 = 1, й|га ~ 3 + й22й23 -~- йзгйзз = О, 2 2 2 ам+ ага+ азз — — 1, аща„+ а,заря + азза„=О. (3.45) Ортогональное преобразование является аффинным, Справедливо следующее основное свойство ортогональных преобразований: при таких преобразованиях сохраняются расстояния между точками. Доказательство может быть проведено в полной аналогии с доказательством теоремы 3.4.
Ортогональные преобразования в пространстве обладают следующими свойствами. 1'. Последовательное выполнение ортогональньт преобразований является ортогональным преобразованием. 2'. Тождественное преобразование х' = х, у ' = у, г' = г — ортогональное преобразование. 3'. Преобразование, обратное ортогональному, также ортогональное. ф 4. Проективные преобразования Проективными преобразованиями на плоскости называются преобразования вида апх+а,ау+а|в, аг,х+аму+агз х'=, у'= 3! з тгзгу зз аззх ч иззу и азз (3.46) коэффициенты ау которых удовлетворяют условию ) ап а„а,з аг, агг агз ~ О. аз, а за азз При проективном преобразовании (3.46) плоскости особую роль играет прямая Е, определяемая уравнением аззх+ азау+ азз = О.
) Геометрически зто условие означает, что три прямые апх+а,ау+а,з — — О, онх+аз у+ам — — Оиамх+ а ту+ам — — вне пересекаются волноиточке(скт и. 54 2 ел 3) Для точек этой прямой знаменатели в выражениях для х ' и у ' (см. (3.46)) обращаются в нуль, и поэтому преобразование (3.46) не определено для точек этой прямой. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВА!1ИЯ 3 4! Отметим, что проективное преобразование инвариантно относительно выбора декартовой системы координат, так как формулы перехода от одной декартовой системы координат к другой линейны и поэтому при переходе к новой системе координат вид преобразований (ЗАб) не меняется. Непосредственной проверкой можно убедиться, что последовательное проведение двух проективных преобразований является проективным преобразованием, тождественное преобразование и преобразование, обратное проективному, — также проективные преобразования.
При проективных преобразованиях точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой. Основным инвариантом проективиого преобразования является так называемое сложное (ангармоническое) отношение (АВСР) любых четырех точек А, В, С и Р на прямой, которое определяется как частное двух простых отношении: (АВСР) = (АСВ): (АРВ). Инвариантность сложного отношения (АВСР) четырех точек прямой может быть обоснована так же, как и инвариантность простого отношения при аффинных преобразованиях.
Проектиеньзми преобразованиями в пространстве называются преобразования вида анх + а„У 4- амг М аы х' = а41х 1 а42У 1 а433 1 а44 а„х+аз У+а зг+а 4 у амх+ а42у+ аззг+ а44 31 4 32У Ззг 34 г' = а41Х 1 а42У а432 4 а44 для которых четыре плоскости а„х+ а„у+ ашг+ аы — — О, а21Х + иззу -~- аззг -~- а24 — О, аз1Х+ иззу+ а313г+ азз= () азгх+ а42У+ аззг+ а44 — О не пересекаются в одной точке. Отметим, что проективное преобразование в пространстве не определено для точек плоскости, определяемой уравнением аз,х + а42У+ аз;за + а44 — — О.
94 ПРЕОВРЛЗОВЛНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ~ГЛ 3 Непосредственной проверкой можно убедиться, что последовательное проведение двух проективных преобразований, тождественное преобразование и преобразование, обратное проективному, — также проективные преобразования. При проективных преобразованиях точки, лежащие в одной плоскости, переходят в точки, также лежащие в одной плоскости, а точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой. Основным инвариантом проективного преобразования в пространстве является сложное отношение (АВСР) = (АСВ): ГАРВ) любых четырех точек А, В, С и Р на прямой.
ГЛАВА 4 УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ В этой главе рассматривается один из важнейших вопросов аналитическая' геометрии — вопрос об аналитическом представлении линии на плоскости и поверхности и линии в п)зостранстве при помощи уравнений, связывающих их координаты ). Обсуждаются простейшие задачи, связанные с таким аналитическим представлением, и приводится классификация плоских линий и поверхностей.
Доказывается, что порядок алгебраической линии (и соответственно поверхности) не зависит от выбора декартовой прямоугольной системы. ф 1. Уравнение линии на плоскости 1. Понятие об уравнении линии. Предположим, что на плоскости и нам заданы: 1) декартова прямоугольная система координат Оху и 2) некоторая линия т'.. Рассмотрим некоторое уравнение, связывающее две переменные величины х и у ) Ф(х, у) = О. (4.1) Определение. Уравнение(4.1) называется ура в н ен и ем л ин и и г'. (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежа- и(ей на линии ь, и не удовлетворяют координаты х и у ни одной точки, не лежащей на линии 1.. С точки зрения этого определения сама линия й представляет собой (в заданной системе координат) геометрическое место точек, координаты которых удав.гетворяют уравнению (4.1) Если (в заданной системе координат) рассматриваемое уравнение вида (4.1) является уравнением линии 1., то мы будем говорить, что это уравнение определяет линию ь.
) По поводу самого понятия линии (или соответственно поверхности) отсылаем читателя к гл, 11 вып, 1 настоящего курса ) Равенство Ф(х, д) = О, где Ф(х, у) — заданная функния двух переменных х и у, называется уравнением, если зто равенство справедливо не для всех пар вещественных чисел х, у. Равенство Ф(х, у) = О, справелливое для всех пар вещественных чисел х, у, называется тождеством. уРдвнш1ия новеРхности и линии 1гл 4 3 а м е ч а н и е.
Нетрудно указать такое уравнение вида (4.1), которое либо определяет геометрический образ, отличный от того, что мы привыкли понимать под термином «линия», либо вообще не определяет никакого геометрического образа. Так, уравнение хз+ у = 0 определяет на плоскости Оху лишь одну точку (0,0), а уравнение хз+ уз+ 1 = 0 вообще не определяет никакого геометрического образа.
Для того чтобы уравнение вида (4.1) определяло геометрический образ, отвечающий нашему привычному представлению о линии, следует, вообще говоря, подчинить функцию Ф(х, у) некоторым ограничениям (например требованию однозначной разрешимости функционального уравнения (4.1) относительно одной из переменных). Эти ограничения выясняются в курсе математического анализа (см. вып.
1, гл. 15, Э 2, п. 3). П р и м е р. Убедимся в том, что уравнение (х — а) +(у — Ь) =г (4.2) является уравнением окружности радиуса г > 0 с центром в точке Мо(а, Ь). В самом деле, точка М(х, у) лежит на указанной окружности тогда и только тогда, когда расстояние между точками М (х, у) и Мо(а, Ь) равно г, т.е.
тогда и только тогда, когда квадрат расстояния между указанными точками (х — а) + (у — Ь) равен г . Таким образом, координа- 2 2 2 ты любой точки М(х, у), лежащей на указанной окружности, удовлетворяют уравнению (4.2), а координаты любой точки, не лежащей на указанной окружности, не удовлетворяют уравнению (4.2). Уравнение окружности радиуса г > 0 с центром в начале координат имеет более простой вид, а именно х2+у2= .2 2.
Параметрическое представление линии. Для аналитического представления линии ь часто бывает удобно выражать переменные координаты х и у точек этой линии при помощи третьей вспомогательной переменной (или параметра) (: (4.4) х=ср(О, у=т)г(1), где функции тр(Г) и т)г(() предполагаются непрерывными по параметру ( (в некоторой области (() изменения этого параметра).
Исключение из двух уравнений (4.4) параметра ( приводит к рассмотренному выше уравнению вида (4.1) '). Параметрическое представление линии на плоскости естественно возникает, если эту линию рассматривать как путь, пройденный материальной точкой, непрерывно движущейся по определенному закону. В самом деле, если переменная ( представляет собой время, отсчитывае) Такое искяючение заведомо возможно. если котя бы одна из функции з = фа) изи у = дг(1) имеет обратную 1достато ~ныс условия ддя этого см в и 4 Г) 2 гз 15 выи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
