12 (Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.))

tigtu.ruСкачано с http://antigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-12Условие задачиНаписать разложение векторапо векторамРешениеимеет вид:Получаем:аносИли в виде системы:anИскомое разложение вектора::СкачК третьей строке прибавим первую умноженную наК третьей строке прибавим вторую умноженную на:tigtu.ruanаносИскомое разложение:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 2-12Условие задачии, построенные по векторамачКоллинеарны ли векторыи?РешениеСкВекторы коллинеарны если существует такое число такое, чтоколлинеарны если их координаты пропорциональны.Находим:Получаем:. Т.е. векторы- не коллинеарны.tigtu.ruиЗначит векторыЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-12Условие задачиНайти косинус угла между векторамииРешениеи:между векторамии:аносНаходим косинус углаanНайдем.ачТ.е.

косинус угла:Ски следовательно уголЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 4-12Условие задачиВычислить площадь параллелограмма, построенного на векторахи.tigtu.ruРешениеПлощадь параллелограмма, построенного на векторахпроизведения:, численно равна модулю их векторного, используя его свойства векторного произведения:anВычисляемианосВычисляем площадь:Т.е. площадь параллелограмма, построенного на векторахиравна.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-12Условие задачи,и?ачКомпланарны ли векторыРешениеСкДля того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельныхплоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведениенулю.было равно, то векторы,tigtu.ruТак какине компланарны.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-12Условие задачиРешениепроведем векторы:аносИз вершиныи его высоту, опущенную изanВычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахвершинына грань.В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем:СкачВычислим смешанное произведение:Получаем:tigtu.ruТак какСогласно геометрическому смыслу векторного произведения:anВычислим векторное произведение:аносПолучаем:Тогда:Объем тетраэдра: 11Высота:ачЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 7-12Условие задачидо плоскости, проходящей через три точки.СкНайти расстояние от точкиРешениеНаходим уравнение плоскости, проходящей через три точки:от точкиНаходим:tigtu.ruдо плоскостианосРасстояниеanПроведем преобразования::Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-12Условие задачиперпендикулярно вектору.ачНаписать уравнение плоскости, проходящей через точкуСкРешениеНайдем вектор:перпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве вектораТак как векторнормали.

Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:tigtu.ruУпростим:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-12Условие задачиНайти угол между плоскостями:anРешениеУголаносДвугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

Нормальныевекторы заданных плоскостей:между плоскостями определяется формулой:ачЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 10-12Условие задачи, равноудаленной от точекСкНайти координаты точкиРешениеНайдем расстояниеи:и.tigtu.ruТак как по условию задачи, тоТаким образомan.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-12Условие задачиРешениеаносПусть - коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат.

Верно ли, что точкапринадлежит образу плоскости ?При преобразовании подобия с центром в начале координат плоскостьи коэффициентомпереходит в плоскостьач. Находим образ плоскостиСкПодставим координаты точкиТак как, то точкав уравнение:принадлежит образу плоскости.:Условие задачиНаписать канонические уравнения прямой.РешениеКанонические уравнения прямой:an,tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 12-12анос- координаты какой-либо точки прямой, а- ее направляющийгдевектор.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий векторортогонален нормальным векторам обеих плоскостей.

Нормальные вектора плоскостей:Найдем направляющий вектор:СкачНайдем какую-либо точку прямой. Пусть, тогдаtigtu.ruСледовательно, точкапринадлежит прямой.Получаем канонические уравнения прямой:Условие задачиanЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 13-12РешениеаносНайти точку пересечения прямой и плоскости.ачЗапишем параметрические уравнения прямой.СкПодставляем в уравнение плоскости:Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:tigtu.ruПолучаем:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 14-12Условие задачиНайти точкусимметричную точкеРешениеотносительно прямой.anНаходим уравнение плоскости, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через точкуТак плоскость перпендикулярна заданной прямой, то в качестве ее вектора нормали можно взятьнаправляющий вектор прямой:аносТогда уравнение искомой плоскости:ачНайдем точкупересечения прямой и плоскости.Запишем параметрические уравнения прямой.СкПодставляем в уравнение плоскости:Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:.является серединой отрезка, тоanТак какtigtu.ruПолучаем:СкачаносПолучаем:.