8 (Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.))

tigtu.ruСкачано с http://antigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-8Условие задачиНаписать разложение векторапо векторамРешениеимеет вид:Получаем:аносИли в виде системы:anИскомое разложение вектора:СкачК третьей строке прибавим первую умноженную на:tigtu.ruИскомое разложение:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 2-8и, построенные по вектораманосКоллинеарны ли векторыanУсловие задачиРешениеи?Векторы коллинеарны если существует такое число такое, чтоколлинеарны если их координаты пропорциональны.Нетрудно заметить, чтоТ.е., а значит векторыдля любых- коллинеарны.иЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-8ачУсловие задачиНайти косинус угла между векторамии.СкРешениеНайдеми:Находим косинус угламежду векторамии:.

Т.е. векторыи.anи следовательно уголtigtu.ruТ.е. косинус угла:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 4-8Условие задачиРешениеаносВычислить площадь параллелограмма, построенного на векторахачПлощадь параллелограмма, построенного на векторахпроизведения:Вычисляем площадь:., численно равна модулю их векторного, используя его свойства векторного произведения:СкВычисляемиииравна.tigtu.ruТ.е. площадь параллелограмма, построенного на векторахЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-8Условие задачиКомпланарны ли векторы,и?РешениеДля того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельныханосanплоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведениенулю.Так как, то векторы,ибыло равнокомпланарны.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-8Условие задачиСкачВычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахвершинына грань.РешениеИз вершиныпроведем векторы:и его высоту, опущенную изtigtu.ruВ соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем:anВычислим смешанное произведение:Получаем:аносТак какСогласно геометрическому смыслу векторного произведения:ачВычислим векторное произведение:СкПолучаем:Тогда:Высота:tigtu.ruОбъем тетраэдра:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 7-8Условие задачидо плоскости, проходящей через три точки.anНайти расстояние от точкиРешение:аносНаходим уравнение плоскости, проходящей через три точкиСкачПроведем преобразования:РасстояниеНаходим:от точкидо плоскости:tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-8Условие задачиРешениеНайдем вектор:перпендикулярно вектору.anНаписать уравнение плоскости, проходящей через точкуаносперпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве вектораТак как векторнормали.

Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-8Условие задачиачНайти угол между плоскостями:РешениеСкДвугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормальныевекторы заданных плоскостей:Уголмежду плоскостями определяется формулой:tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 10-8Условие задачиНайти координаты точки, равноудаленной от точеки:аносНайдем расстояниеТак как по условию задачиТаким образом.anРешениеи, то.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-8ачУсловие задачиСкПусть - коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, что точкапринадлежит образу плоскости ?tigtu.ruРешениеПри преобразовании подобия с центром в начале координат плоскостьи коэффициентомпереходит в плоскость. Находим образ плоскостиПодставим координаты точки:не принадлежит образу плоскости.an, то точкаТак какв уравнение:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 12-8Условие задачиРешениеаносНаписать канонические уравнения прямой.Канонические уравнения прямой:,ачгде- координаты какой-либо точки прямой, а- ее направляющийвектор.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий векторортогонален нормальным векторам обеих плоскостей.

Нормальные вектора плоскостей:СкНайдем направляющий вектор:tigtu.ru. Пусть, тогдааносanНайдем какую-либо точку прямойСледовательно, точкапринадлежит прямой.Получаем канонические уравнения прямой:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 13-8ачУсловие задачиСкНайти точку пересечения прямой и плоскости.РешениеЗапишем параметрические уравнения прямой.tigtu.ruПодставляем в уравнение плоскости:anНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:аносПолучаем:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 14-8Условие задачиНайти точкуРешениесимметричную точкеотносительно прямой.СкачНаходим уравнение плоскости, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через точкуТак плоскость перпендикулярна заданной прямой, то в качестве ее вектора нормали можно взятьнаправляющий вектор прямой:Тогда уравнение искомой плоскости:Найдем точкупересечения прямой и плоскости.Запишем параметрические уравнения прямой..tigtu.ruПодставляем в уравнение плоскости:anНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:Так каканосПолучаем:является серединой отрезкаСкачПолучаем:, то.