7 (Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.))

tigtu.ruСкачано с http://antigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-7Условие задачиНаписать разложение векторапо векторамРешениеимеет вид:Получаем:аносИли в виде системы:anИскомое разложение вектора:СкачИз третьей строки вычтем вторую:Ко первой строке прибавим третью умноженную на 2:tigtu.ruИскомое разложение:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 2-7и, построенные по вектораманосКоллинеарны ли векторыanУсловие задачиРешениеи?Векторы коллинеарны если существует такое число такое, чтоколлинеарны если их координаты пропорциональны.Нетрудно заметить, чтоТ.е., а значит векторыдля любых- коллинеарны.иЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-7ачУсловие задачиНайти косинус угла между векторамии.СкРешениеНайдеми:Находим косинус угламежду векторамии:.

Т.е. векторыи.anи следовательно уголtigtu.ruТ.е. косинус угла:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 4-7Условие задачиРешениеаносВычислить площадь параллелограмма, построенного на векторахачПлощадь параллелограмма, построенного на векторахпроизведения:Вычисляем площадь:., численно равна модулю их векторного, используя его свойства векторного произведения:СкВычисляемиииравна.tigtu.ruТ.е. площадь параллелограмма, построенного на векторахЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-7Условие задачиКомпланарны ли векторы,и?РешениеДля того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельныхбыло равноаносanплоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведениенулю.Так как, то векторы,ине компланарны.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-7Условие задачиСкачВычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахвершинына грань.РешениеИз вершиныпроведем векторы:и его высоту, опущенную изВычислим смешанное произведение:anПолучаем:tigtu.ruВ соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем:аносТак какСогласно геометрическому смыслу векторного произведения:ачВычислим векторное произведение:СкПолучаем:Тогда:Высота:tigtu.ruОбъем тетраэдра:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 7-7Условие задачиНайти расстояние от точкидо плоскости, проходящей через три точкиanРешение:аносНаходим уравнение плоскости, проходящей через три точки.ачПроведем преобразования:от точкиСкРасстояниеНаходим:до плоскости:Условие задачиtigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-7Написать уравнение плоскости, проходящей через точкуРешениеНайдем вектор.an:перпендикулярно векторуаносТак как векторперпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве векторанормали.

Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-7Условие задачиНайти угол между плоскостями:РешениеСкачДвугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормальныевекторы заданных плоскостей:Уголмежду плоскостями определяется формулой:tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 10-7Условие задачиНайти координаты точки, равноудаленной от точекРешениеи:Так как по условию задачи, тоаносТаким образом.anНайдем расстояниеи.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-7Условие задачиСкачПусть - коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат.

Верно ли, что точкапринадлежит образу плоскости ?РешениеПри преобразовании подобия с центром в начале координат плоскостьи коэффициентомпереходит в плоскость. Находим образ плоскости:Так как, то точкав уравнение:tigtu.ruПодставим координаты точкине принадлежит образу плоскости.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 12-7Условие задачиРешениеКанонические уравнения прямой:anНаписать канонические уравнения прямой.анос,где- координаты какой-либо точки прямой, а- ее направляющийвектор.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий векторортогонален нормальным векторам обеих плоскостей. Нормальные вектора плоскостей::СкачНайдем направляющий векторНайдем какую-либо точку прямой.

Пусть, тогдаtigtu.ruanаносСледовательно, точкапринадлежит прямой.Получаем канонические уравнения прямой:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 13-7Условие задачиНайти точку пересечения прямой и плоскости.РешениеСкачЗапишем параметрические уравнения прямой.Подставляем в уравнение плоскости:tigtu.ruНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:Получаем:Найти точкусимметричную точкеРешениеаносУсловие задачиanЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 14-7относительно прямой.Находим уравнение плоскости, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через точкуТак плоскость перпендикулярна заданной прямой, то в качестве ее вектора нормали можно взятьнаправляющий вектор прямой:ачТогда уравнение искомой плоскости:СкНайдем точкупересечения прямой и плоскости.Запишем параметрические уравнения прямой.Подставляем в уравнение плоскости:.tigtu.ruПолучаем:является серединой отрезкаСкачПолучаем:, тоаносТак какanНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:.