PDF-лекции

Ãëàâà 1ÂâåäåíèåÏî ìåðå íàøåãî ïðîäâèæåíèÿ ïî êóðñó òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïåðåä íàìèâîçíèêàþò âñå áîëåå è áîëåå ñëîæíûå ñëó÷àéíûå îáúåêòû. Ñíà÷àëà ýòîñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ, êîòîðûå ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ èõ èíäèêàòîðàìè,ïðèíèìàþùèìè çíà÷åíèÿ 0 è 1. Çàòåì (äåéñòâèòåëüíîçíà÷íûå) ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, êîòîðûå ìîãóò ñâîèìè çíà÷åíèÿìè îõâàòûâàòü âñþ äåéñòâèòåëüíóþ ïðÿìóþ. Ñëåäîì ïîÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíîçíà÷íûå ñëó÷àéíûå ýëåìåíòû, êîíå÷íîìåðíûå ñëó÷àéíûå âåêòîðû. Íàêîíåö, ïðè èçó÷åíèè îñíîâíûõ êîíñòðóêöèé ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, ìû äîõîäèìäî ðàññìîòðåíèÿ ñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâ, ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (âûáîðêè áåñêîíå÷íîãî îáúåìà, êàê ñëó÷àéíûå âåêòîðû).

Åñòåñòâåííî, ÷òî âñå ýòè îáúåêòû âîçíèêàþò â ðåçóëüòàòå êàêèõ-òî ñëó÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Íåòðóäíî ïðåäñòàâèòü ñåáå òàêîéýêñïåðèìåíò, ðåçóëüòàòîì êîòîðîãî áóäåò îïðåäåëåííàÿ êðèâàÿ ëèíèÿèëè ñîáñòâåííî ôóíêöèÿ. Òàê ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ñëó÷àéíûé ýëåìåíò,ïðèíèìàþùèé çíà÷åíèÿ â íåêîòîðîì ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå, èëèñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò î òîì, ÷òî ïåðåä íàìè ñëó÷àéíûé ïðîöåññ. Âñòðå÷àþòñÿ â ëèòåðàòóðå òàêæå íàçâàíèÿ âåðîÿòíîñòíûé ïðîöåññ, ñòîõàñòè÷åñêèé ïðîöåññ, à èíîãäà è ïðîñòî ïðîöåññ, åñëèçàðàíåå ÿñíî, î ÷åì ðå÷ü. Äàäèì òåïåðü îïðåäåëåíèå.Ïóñòü T - íåêîòîðîå ìíîæåñòâî.

A(T ) - ïðîñòðàíñòâî äåéñòâèòåëüíîçíà÷íûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà T . Ðàññìîòðèì òàêæå âåðîÿòíîñòíîåïðîñòðàíñòâî < Ω, F, P >. Îòîáðàæåíèå ξ : T × Ω → A(T ) íàçîâåì ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé åñëè ∀t ∈ T ξ(t) = ξ(t, ·) - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.

Òî÷êàâìåñòî âòîðîãî àðãóìåíòà îçíà÷àåò çäåñü è äàëåå, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåìξ(t) êàê ôóíêöèþ ω ∈ Ω â ýòîì êîíòåêñòå. Åñëè T ⊂ R è ïàðàìåòð t èí12Ãëàâà 1.Ââåäåíèåòåðïðåòèðóåòñÿ êàê âðåìÿ, òî ñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ íàçûâàþò ñëó÷àéíûìïðîöåññîì. Ïðè çàïèñè ôîðìóë, ñâÿçàííûõ ñî ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì, êàêè ïðè çàïèñè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ñëó÷àéíûé àðãóìåíò ω îáû÷íî îïóñêàåòñÿ. Åñëè T ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êëàññ öåëûõ ÷èñåëZ èëè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N, òî ãîâîðÿò î ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.

Îòìåòèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îáúåêò äëÿíàñ îòíîñèòåëüíî çíàêîìûé, ïîýòîìó ìû áóäåì ÷àñòî ïðèâëåêàòü åãî âêà÷åñòâå ïðèìåðà.Åñëè ìû ôèêñèðóåì ω ∈ Ω, òî ïîëó÷åííàÿ íåñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿξ(ω, ·) íàçûâàåòñÿ ðåàëèçàöèåé ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà. Íàðÿäó ñ ýòèì òåðìèíîì óïîòðåáëÿþòñÿ òàêæå íàçâàíèÿ òðàåêòîðèÿ, âûáîðî÷íàÿ ôóíêöèÿ.

ÔóíêöèÿK(t, s) = cov(ξ(t), ξ(s)) = Mξ(t)ξ(s) − Mξ(t) Mξ(s)íàçûâàåòñÿ êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèåé ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ξ .Ëåììà 1 Êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ëþáîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà îáëàäà-åò ñâîéñòâîì íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè:(∀k)(∀ c1 , ..., ck ∈ R) (∀t1 , ..., tk ∈ T )k XkXci cj K(ti , tj ) ≥ 0.(1.1)i=1 j=1Äîêàçàòåëüñòâî . Ïóñòü m(t) = Mξ(t). ÒîãäàPk PkPi=1j=1 ci cj K(ti , tj )=Pk=2j=1 cj M(ξ(tj )i,jci cj M((ξ(ti ) − m(ti ))(ξ(tj ) − m(tj ))) =− m(tj ))2 = DPkj=1 cj ξ(tj )≥ 0.Óñëîâèìñÿ ÷åðåç t̄ = t̄(n) îáîçíà÷àòü êîíå÷íûå ïîäìíîæåñòâà T , íàïðèìåð, t̄ = {t1 , t2 , ..., tn } ⊂ T . Åñëè ïîäìíîæåñòâî t̄(n) çàôèêñèðîâàíî,òî ÷åðåç Rt̄ óñëîâèìñÿ îáîçíà÷àòü n-ìåðíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. Âñåòàêèå ïðîñòðàíñòâà áóäåì ñ÷èòàòü ñîäåðæàùèìèñÿ â RT = {f |f : T →R} è äîãîâîðèìñÿ ïðåäïîëàãàòü Rs̄ ⊂ Rt̄ ïðè s̄ ⊂ t̄. Ââåäåì òàêæå îáîçíà÷åíèå ξt̄ = (ξ(t1 ), ..., ξ(tn )) äëÿ çàäàííîãî t̄ è ïðîèçâîëüíîãî îòîáðàæåíèÿξ : T → R.Ïóñòü ξ(t) - ñëó÷àéíûé ïðîöåññ.

Ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðîâ ξt̄ , êîãäà t̄ïðîáåãàåò âñå êîíå÷íûå ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà T , íàçûâàþò êîíå÷íîìåðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ξ . Êàê âû ïîìíèòå èçêóðñà òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ýòè ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè∀B ∈ B(Rt̄ ) Pt̄ (B) = P(ξt̄ ∈ B).3Ïóñòü t̄ ⊂ s̄, πt̄,s̄ - åñòåñòâåííàÿ ïðîåêöèÿ Rt̄ íà Rs̄ .

Òîãäà âî ââåäåííûõîáîçíà÷åíèÿõ ñïðàâåäëèâî(∀A ∈ B(Rt̄ )) Pt̄ (A) = Pt̄ (πt̄,s̄ (A)).(1.2)Ýòî óñëîâèå íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì ñîãëàñîâàííîñòè ñåìåéñòâà ðàñïðåäåëåíèé Pt̄ , êîãäà t̄ ïðîáåãàåò êëàññ âñåõ êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ T .Òåîðåìà 1 (À.Í.Êîëìîãîðîâ ) Ïóñòü ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé óäî-âëåòâîðÿåò óñëîâèþ ñîãëàñîâàííîñòè (1.2 ). Òîãäà íàéäåòñÿ íåêîòîðîåâåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî < Ω, F, P > è ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(t) íàíåì, òàêîé, ÷òî Pt̄ åñòü ðàñïðåäåëåíèå ξt̄ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êîíå÷íîãît̄ ⊂ T .Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþñîãëàñîâàííîñòè, òî îíî ÿâëÿåòñÿ ñåìåéñòâîì êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé íåêîòîðîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà.Èçëîæèì çäåñü èäåþ äîêàçàòåëüñòâà.

Ïîëíîå äîêàçàòåëüñòâî ìîæíîíàéòè â êíèãå Áîðîâêîâà À.À. "Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé", ïðèëîæåíèå 2.Ïîëîæèì Ω = RT , ξ(t, ω) = ω(t). Ìíîæåñòâî B ⊂ RT íàçîâåì öèëèíäðè÷åñêèì, åñëè îíî èìååò âèä {ω|(ω(t1 ), ..., ω(tn )) ∈ A} äëÿ íåêîòîðîãîíàáîðà t1 , ..., tn òî÷åê T è êàêîãî-íèáóäü A ∈ B(Rn ). Ïóñòü C - êëàññ âñåõöèëèíäðè÷åñêèõ ïîäìíîæåñòâ RT , F = σ(C). Äëÿ B ∈ C çàäàäèìP(B) = Pt̄ (A).Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàëîñü ïðîâåðèòü óñëîâèÿ òåîðåìûÊàðàòåîäîðè î ïðîäîëæåíèè âåðîÿòíîñòíîé ìåðû. Òîãäà, ïðîäîëæàÿ ïîñòðîåííóþ âåðîÿòíîñòü íà σ -àëãåáðó áîðåëåâñêèõ ïîäìíîæåñòâ RT , ìûïîëó÷èì, ÷òî íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå < Ω, F, P > ïðîöåññ ξ(t)îáëàäàåò íóæíûì íàì ñåìåéñòâîì êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé.Èíîãäà ïîëåçíûì ÿâëÿåòñÿ âàðèàíò óñëîâèÿ ñîãëàñîâàííîñòè (1.2) âòåðìèíàõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé.

Ïóñòü, êàê è ðàíüøå, t̄ - êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî T . Îïðåäåëèì< λ, x >t̄ =Xλ(tk )x(tk ),λ, x ∈ RT .{k:tk ∈t̄}Òîãäà õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Pt̄ - ýòîϕt̄ (λ) =ZRTexp{i < λ, x >t̄ }dPt̄ .4Ãëàâà 1.ÂâåäåíèåÓñëîâèå ñîãëàñîâàííîñòè ðàñïðåäåëåíèé âî ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèÿõ ýêâèâàëåíòíî ïðè ýòîì(s̄ ⊂ t̄) ⇒ (ϕs̄ (λ) = ϕt̄ (πt̄,s̄ (λ)) .(1.3)Ãëàâà 2Ãàóññîâñêèå ñëó÷àéíûåïðîöåññûÑëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(t) íàçûâàåòñÿ ãàóññîâñêèì , åñëè âñå åãî êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíû.

Òàêèì îáðàçîì, õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿôóíêöèÿ ëþáîãî êîíå÷íîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ãàóññîâñêîãî ïðîöåññàèìååò âèä1ϕ(~λ) = exp{i < ~λ, ~a > − < B~λ, ~λ >},2ãäå ~a - âåêòîð ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé, à B - êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà êîîðäèíàò ñîîòâåòñòâóþùåãî âåêòîðà. Êàê èçâåñòíî èç êóðñà òåîðèèâåðîÿòíîñòåé (è ñëåäóåò èç ïðèâåäåííîé âûøå ôîðìóëû), äëÿ çàäàíèÿíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî çàäàòü~a è ìàòðèöó êîâàðèàöèé B . Îêàçûâàåòñÿ, äëÿ ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõïðîöåññîâ (ñîîòâåòñòâóþùèõ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèÿì â ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ) èìååò ìåñòî àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò.Òåîðåìà 2 Äëÿ ïðîèçâîëüíî çàäàííîé ôóíêöèè a(t) è ëþáîé ôóíêöèèK(t, s), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè èçëåììû 1, ñóùåñòâóåò ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a(t) è êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèåé K(t, s).Äîêàçàòåëüñòâî .

Çàìåòèì, ÷òî äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ïðîöåññ ñ òîæäå-ñòâåííî íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì, à çàòåì ïðèáàâèòü ê íåìóíåñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ a(t). Çàôèêñèðóåì t̄ = {t1 , ..., tn }, è ïóñòü Pt̄- íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå â Rn ñ íóëåâûì ñðåäíèì è êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé B = Bt̄ , ýëåìåíòû êîòîðîé âû÷èñëåíû ïî ïðàâèëó Bi,j =56Ãëàâà 2.Ãàóññîâñêèå ñëó÷àéíûå ïðîöåññûK(ti , tj ). Ïîëó÷èâøàÿñÿ ìàòðèöà áóäåò íåîòðèöàòåëüíà îïðåäåëåíà, ÷òîñëåäóåò èç ëåììû 1. Òàêèì îáðàçîì, îïèñàííîå ïîñòðîåíèå âîçìîæíî.×òîáû çàâåðøèòü äîêàçàòåëüñòâî, äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî1ϕt̄ (~λ) = exp{− < B~λ, ~λ >} −2õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ïîñòðîåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è ïðîâåðèòüóñëîâèÿ ñîãëàñîâàííîñòè ïîëó÷èâøèõñÿ ðàñïðåäåëåíèé (íàïðèìåð, â ôîðìå (1.3)).Î÷åíü âàæíûì ïðèìåðîì äëÿ íàñ ÿâëÿåòñÿ âèíåðîâñêèé ïðîöåññ , êîòîðûé ñëóæèò ìîäåëüþ áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ. Âèíåðîâñêèì ïðîöåññîìw(t, ω) ìû áóäåì íàçûâàòü ãàóññîâñêèé ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè òàêîé, ÷òî w(0) = 0, w(t) − w(s) èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå N (0, t − s) ïðè t > sÂûïèøåì êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà.Äëÿ ýòîãî çàôèêñèðóåì t1 , ..., tn òàê, ÷òî 0 < t1 < ...

< tn è ðàññìîòðèì→âåêòîð −w = (w1 , ...wn ), ãäå wj = w(tj ), j = 1, 2...n. Çàìåòèì, ÷òî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðà X = (w1 , w2 − w1 , ..., wn − wn−1 ) ëåãêî âû÷èñëèòü, ò.ê. åãî êîîðäèíàòû - íåçàâèñèìûå íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûåñëó÷àéíûå âåëè÷èíû:PX (x1 , ..., xn ) =nY([2π(ti − ti−1 )]−1/2 exp{−x2i /2(ti − ti−1) )}),i=1−ãäå t0 = 0. Ïðè ýòîì →w = AX , ãäåA=11...101...100...1............00...1 .Êàê èçâåñòíî, â ýòîì ñëó÷àå−1−1P−→w (X) = | det A| PX (A X).Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî det A = 1,A−1=10 0 ... 0−1 1 0 ... 00 −1 1 ...

0... ... ... ... ...00 0 ... −1000...1,7îòêóäà A−1 X = (x1 , x2 − x1 , ..., xn − xn−1 ), èP−→w (x1 , ..., xn ) =nY([2π(ti − ti−1 )]−1/2 exp{−(xi − xi−1 )2 /2(ti − ti−1 )}),i=1ãäå x0 = 0. Èòàê, êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññàÿâëÿþòñÿ íîðìàëüíûìè (ãàóññîâñêèìè).Âèíåðîâñêèé ïðîöåññ (áðîóíîâñêîå äâèæåíèå) ÿâëÿåòñÿ ãàóññîâñêèìïðîöåññîì, âûõîäÿùèì èç 0.  ïðèëîæåíèÿõ èíîãäà âñòðå÷àåòñÿ òàê íàçûâàåìûé áðîóíîâñêèé ìîñò - ïðîöåññ, çàäàâàåìûé ðàâåíñòâîìw0 (t) = w(t) − tw(t),t ∈ [0, 1].Î÷åâèäíî, ÷òî w0 (0) = w0 (1) = 0 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1. Âû÷èñëèì êîâàðèàöèîííóþ ôóíêöèþ áðîóíîâñêîãî ìîñòà.

Ïóñòü t ≥ s.K(t, s) = M(w(t) − tw(1))(w(s) − sw(1)) = Mw(t)w(s) −− tMw(1)w(s) − sMw(1)w(t) + stMw2 (1).Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî a Mw2 (a) = a, à ïðè h > uMw(h)w(u) = M(w(h) − w(u))w(u) + Mw2 (u) = u,îòêóäàK(t, s) = s − ts − st + st = s(1 − t), t ≥ s.8Ãëàâà 2.Ãàóññîâñêèå ñëó÷àéíûå ïðîöåññûÃëàâà 3Ïðîöåññû ñ íåçàâèñèìûìèïðèðàùåíèÿìèÏóñòü T = [a, b]. Ïðîöåññ ξ(t), t ∈ T íàçûâàåòñÿ ïðîöåññîì ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè, åñëè äëÿ ëþáîãî k è ëþáûõ t1 , ..., tk ∈ T ) ïðèðàùåíèÿ ξ(t1 ) − ξ(a), ξ(t2 ) − ξ(t1 ), ..., ξ(b) − ξ(tk ) ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìèñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè.Îáîçíà÷èì Pa ðàñïðåäåëåíèå ξ(a), ÷åðåç Ps,t ðàñïðåäåëåíèå ξ(t) −ξ(s), t > s.

Çíàÿ óêàçàííûå ðàñïðåäåëåíèÿ, ìû ìîæåì âîññòàíîâèòü âñåêîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà:ξ(tj ) =jX(ξ(ti ) − ξ(ti−1 )),(t0 = a),i=1à çíà÷èò, ðàñïðåäåëåíèå ξt̄ - ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ0 + ξ1 , ξ2 + ξ1 + ξ0 , ..., ξj + ... + ξ0 , ãäå ξ0 = ξ(a), ξi = ξ(ti ) − ξ(ti−1 ) ïðèi ≥ 1. Íî îêàçûâàåòñÿ, ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ äëÿ çàäàíèÿ êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðîöåññà ñ íåçàâèñèìûìèïðèðàùåíèÿìè äîñòàòî÷íî çíàòü ãîðàçäî ìåíüøåå êîëè÷åñòâî ðàñïðåäåëåíèé.Ãîâîðÿò, ÷òî ξ(t) - ñòàöèîíàðíûé ïðîöåññ , åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíûõs, t, h ðàñïðåäåëåíèÿ ξ(t)−ξ(s) è ξ(t+h)−ξ(s+h) ñîâïàäàþò.

Ïðîöåññ ξ(t)íàçûâàåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêè íåïðåðûâíûì , åñëè ïðè s → t ñïðàâåäëèâîPξ(s) −→ ξ(t).Òåîðåìà 3 Ïóñòü ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(t) ñòîõàñòè÷åñêè íåïðåðûâåí,ñòàöèîíàðåí è èìååò íåçàâèñèìûå ïðèðàùåíèÿ. Òîãäà äëÿ çàäàíèÿ åãî910Ãëàâà 3.Ïðîöåññû ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìèêîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé äîñòàòî÷íî, êðîìå Pa , çàäàòü òîëüêîîäíî ðàñïðåäåëåíèå. Ýòèì ðàñïðåäåëåíèåì ìîæåò áûòü ëþáîå èç ðàñïðåäåëåíèé Pt,s .Äîêàçàòåëüñòâî . Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó ñòàöèîíàðíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü,÷òî a = 0.