Определение коэффициента фильтрации пористой среды

Механико-математический факультет МГУПрактикум по гидромеханикеОпределение коэффициента фильтрациипористой средыЦель работыЦелью работы является ознакомление с явлением фильтрации в пористой среде и его математическим описанием в рамках механикисплошной среды, а также экспериментальное определение коэффициента фильтрации.Элементы теорииОписание фильтрации в рамках МСС. При изучении многихфизических явлений приходится иметь дело с движением жидкостей в пористых средах — фильтрацией 1 ).

В таких фильтрационных процессах, примерами которых могут служить просачивание воды через почву, движение нефти в подземных пластах и т.п.,жидкость движется по разветвленной системе сообщающихся между собой пор. У встречающихся на практике проницаемых сред (песка, глины, почвы, торфа и др.) поровое пространство имеет оченьсложную и нерегулярную структуру, которая, к тому же, обычно небывает известна с достаточной точностью, поэтому ясно, что прямое описание движения жидкости во всех деталях встретило бызначительные сложности. Однако в большинстве случаев характерные линейные размеры рассматриваемых задач много больше характерного размера пор (в случае зернистой среды типа песка —много больше характерного размера зерен), поэтому для описаниякрупномасштабных явлений пористый материал можно рассматривать как сплошную среду, характеристики которой (плотность,давление жидкости в порах и др.) в каждой точке получаются врезультате осреднения по некоторой окрестности, содержащей достаточно большое число пор.Пористость.

Одной из характеристик пористой среды является пористость m, равная относительной объемной доле пор в материале.Пористость определяет количество жидкости, которое может содержаться в некотором объеме пористой среды. Для образца однородного пористого материала объемом Vm=1)Vп, 0 < m < 1,VЭто слово происходит от средневекового латинского названия войлока(filtrum), который использовался в качестве фильтра.4где Vп — объем пор в рассматриваемом образце.

Отметим, что обычно при определении пористости учитывают только связанные между собой поры, которые могут быть заполнены жидкостью извне,и не учитывают объем изолированных пор, не участвующих в перемещении жидкости внутри пористой среды. Для неоднородныхпористых сред, свойства которых могут меняться от точки к точке,пористость m будет известной функцией пространственных координат. Если пористая среда может деформироваться (это происходит,например, при утрамбовке грунта), то величина пористости можетменяться и со временем.Скорость фильтрации. В простейшем случае, когда жидкостьдвижется вдоль тонкой трубки, заполненной пористым материалом, скорость фильтрации есть вектор u, направленный в сторонудвижения жидкости, величина которого равна объемному расходужидкости (объему жидкости, протекающей в единицу времени) врасчете на единицу площади полного поперечного сечения трубки(включающего как поры, так и пористую среду).Здесь важно подчеркнуть, что скорость фильтрации не равнаскорости движения отдельных частиц жидкости.

В самом деле, еслиS — площадь поперечного сечения трубки, Sп — часть площадиэтого сечения, приходящаяся на поры, то постоянство объемногорасхода однородной несжимаемой жидкости можно записать в видеQ = |u|S = vSп = const,где Q — объемный расход жидкости через трубку, v — среднее значение проекции скорости частиц жидкости на ось трубки, вычисленное по площади сечения, занимаемой порами. Отсюда получаемv=Sп|u|, n=< 1,nSт.е. средняя скорость частиц жидкости в 1/n раз больше скоростифильтрации. Введенная величина n называется просветностью; длямногих пористых сред n ≈ m.В общем случае неодномерного движения жидкости в пористойсреде скорость фильтрации определяется как вектор u, проекциякоторого на некоторое направление равна объемному расходу жид-5кости через единичную площадку, перпендикулярную данному направлению.Уравнение неразрывности.

Изменение массы жидкости в произвольном объеме V внутри неподвижной пористой среды происходитза счет притока жидкости через границу объема Σ:ZZdρ m dV + ρu · n dσ = 0,dtΣVгде ρ — плотность жидкости, n — внешняя нормаль к поверхности Σ. Если плотность жидкости постоянна, а пористая среда недеформируется (т.е.

пористость зависит только от координат), топервое слагаемое обращается в ноль и закон сохранения массы приобретает видZu · n dσ = 0.ΣВ том случае, когда скорость фильтрации u является гладкой функцией координат, отсюда получается уравнение неразрывностиdiv u = 0.(1)Закон Дарси. Многочисленные эксперименты показали, что примедленном стационарном движении несжимаемой жидкости в неподвижной изотропной пористой среде скорость фильтрации линейнозависит от градиента давления.

Для движения жидкости в поле силы тяжести эта зависимость, называемая законом Дарси 1 ), можетбыть записана в видеku = − (grad p − ρg),µ(2)где p — давление в жидкости, g — ускорение свободного падения,µ — коэффициент вязкости жидкости, k — коэффициент пропорциональности, называемый проницаемостью пористой среды. Знакминус перед выражением в правой части (2) учитывает тот факт,1)В честь французского гидравлика Анри Дарси, экспериментально установившего этот закон около 1856 г.6что в отсутствие силы тяжести жидкость движется в пористой средеиз областей с бо́льшим давлением в области с меньшим давлением.Если жидкость в порах покоится (u = 0), то закон Дарси превращается в обычное уравнение равновесия жидкости. Коэффициентпроницаемости k зависит только от свойств пористой среды (но неот свойств жидкости), и определяется, в основном, геометрией порового пространства.

Для неоднородных пористых сред коэффициентпроницаемости является функцией пространственных координат.Закон Дарси часто записывают в видеu = −C grad H, H =kρgp+ z, C =,ρgµ(3)где z — вертикальная координата рассматриваемой точки (ось Ozнаправлена вверх, противоположно g), C — коэффициент фильтрации (зависящий, очевидно, как от свойств пористой среды, так и отсвойств жидкости). Для примера укажем, что типичные значения Cпри движении воды в песке имеют порядок (10−5 ÷ 10−2 ) м/с, вглине — (10−8 ÷ 10−7 ) м/с. Введенная в (3) функция H называетсянапором.Некоторые дополнительные сведения о законе Дарси приводятсяв приложении 1.Граничные условия. Рассмотрим типичные условия, выставляемые на границах пористой среды с другими средами.Если пористая среда граничит с непроницаемой для жидкостисредой (например, песок соприкасается с бетонными основаниямигидротехнических сооружений), то поток жидкости через границу,а следовательно, и нормальная компонента скорости фильтрацииравны нулю:u · n = 0.(4)На границе пористой среды с атмосферой заполняющая пористую среду жидкость может выходить на поверхность и, например,стекать вдоль границы.

Примером такой границы, называемой поверхностью высачивания, являются стенки колодца, вырытогов водонасыщенном грунте. На поверхности высачивания давлениежидкости совпадает с атмосферным:p = pатм .(5)7При этом, естественно, подразумевается, что жидкость вытекаетиз пористой среды, т.е. на границе u · n > 0.Во многих задачах встречаются границы пористой среды со свободной жидкостью. Типичный пример такой границы — дно водоема, через которое жидкость (вода) может просачиваться из водоема в грунт или, наоборот, через которое грунтовые воды могутпроникать в водоем. Как правило, скорости движения жидкости вводоемах малы, поэтому можно считать, что давление на дне определяется по гидростатическому закону:p = pатм + ρgl,(6)где l — глубина водоема в рассматриваемой точке границы.Отметим, что в некоторых задачах могут встречаться и другиетипы граничных условий.Нестационарная фильтрация.

Соотношения (1) и (2) образуютполную систему уравнений, описывающих стационарную фильтрацию несжимаемой жидкости. Функции u и p могут быть найдены изэтой системы с использованием соответствующих граничных условий. Опыт показывает, что закон Дарси (2) остается справедливыми для нестационарных фильтрационных процессов (если изменения скорости фильтрации происходят не слишком резко), поэтомусистема уравнений в этом случае не меняется. Граничные условия(4), (5) и (6) в случае медленно меняющихся фильтрационных процессов также сохраняют свой вид, с той лишь разницей, что теперьвходящие в них величины (например, pатм или l) могут зависеть отвремени как от параметра.Задача о нестационарной фильтрациичерез слой пористого материалаРассмотрим вертикальный цилиндрический канал 4, в которомнаходится слой пористого материала 2 толщиной L, выше которого налита несжимаемая жидкость 1 (рис.

1). Под действием силытяжести жидкость просачивается сквозь пористый материал и собирается в находящемся снизу сосуде 5; при этом уровень жидкостинад пористым материалом понижается. Слой пористого материалаудерживается снизу горизонтальной проницаемой перегородкой 3,сопротивлением которой движению жидкости можно пренебречь.8При решении задачи будет предполагаться, что в начальный моментвремени все поровое пространство целиком заполнено жидкостью1 ).Направим ось Oz вертикально вверх, выбравначало координат на уровне нижней границыпроницаемого слоя.

Если коэффициент фильтрации C постоянен, то вектор скорости фильтрации u, очевидно, направлен вертикально вниз, адавление p и проекция u скорости фильтрациина вертикальную ось могут зависеть только отвремени и координаты z. Из уравнения неразрывности∂uРис. 1.=0∂zследует, что скорость фильтрации зависит только от времени, причем u = dhdt < 0, где h(t) — координата свободной поверхности жидкости.Закон Дарси (3) имеет вид∂Hpdh= −C, H=+ z,dt∂zρgоткуда после интегрирования по z получаем соотношениеdhpz+ f (t) = −C+z ,dtρg(7)где f (t) — постоянная интегрирования, зависящая, вообще говоря,от времени.Условие на боковой стенке канала — условие непротекания (4) —в рассматриваемой задаче выполняется автоматически.

Нижняя граница z = 0 пористого материала является поверхностью высачивания, на которой выполнено условие (5), что позволяет найти постоянную интегрирования:f (t) = −1)Cpатм= const.ρgИными словами, мы не рассматриваем процесс заполнения пор в сухой среде (пропитку). Заметим, что математическое описание такого процесса требуетболее сложной модели, учитывающей, в частности, капиллярные силы и неполное заполнение пор.9Наконец, верхняя граница z = L пористого материала являетсяграницей со свободной жидкостью.