Задачи для подготовки к к.р. по курсу Прикладная алгебра

Задачи для подготовки к контрольной работе по курсу«прикладная алгебра»1. Записать таблицу сложения и умножения для(a) поля F23 = F3 [x]/(x2 − x + 2);(b) кольца F2 [x]/(x3 +x2 +x+1); по построенным таблицам убедиться, что данное кольцо не являетсяполем.2. Для всех ненулевых элементов поля построить таблицу соответствий между полиномиальным представлением и степенным представлением для некоторого примитивного элемента α:(a) Рассмотреть поле F42 = F2 [x]/(x4 +x3 +1).

С помощью построенной таблицы вычислить значениеполинома w(x) = αx10 + (α11 + α13 )x6 + α2 ∈ F42 [x] в точке α;(b) Рассмотреть поле F25 = F5 [x]/(x2 − 2x + 3). С помощью построенной таблицы вычислитьα32 +α12.α2 +α53. Найти порядок элемента x3 + x в поле F2 [x]/(x4 + x + 1) без перебора по всем степеням элемента.4. В фактор-кольце F2 [x]/(x4 + 1) найти все элементы главного идеала:(a) идеал (x + 1);(b) идеал (x2 + x + 1).5. Найти общее число неприводимых многочленов степени n над Fp для случаев:(a) n = 11, p = 5;(b) n = 12, p = 3.6. Найти все неприводимые многочлены степени 2 над F5 .7.

В поле F55 = F5 [x]/(x5 + 3x4 + 2x3 + 2) с помощью расширенного алгоритма Евклида найти обратныйэлемент для x3 + 4x2 + 3.8. С помощью расширенного алгоритма Евклида решить сравнение(x4 + x3 + x2 + 1)f (x) ≡ x2 + x mod x3 + 19. В поле F35 = F5 [x]/(x3 + x2 + 1) решить следующую СЛАУ (найти a(x), b(x) ∈ F35 ):(x2 + x)a(x) + b(x) = 4x2 + 1,(2x2 + x + 1)a(x) + (3x2 + 1)b(x) = x + 1.10. В поле F32 = F2 [x]/(x3 + x + 1) найти общее решение для СЛАУ(x2 + 1)a(x) + (x + 1)b(x) + (x2 + x)c(x) = x2 ,(x + 1)a(x) + b(x) + (x2 + x + 1)c(x) = x.Записать три частных решений данной СЛАУ.111. Разложить на неприводимые множители следующие многочлены:(a) f (x) = x5 + x4 + 1 над F2 ;(b) f (x) = x5 + 3x3 + 2x2 + 1 над F5 ;(c) f (x) = x26 − 1 над F3 .12.

Построить изоморфизм между полями F1 = F2 [x]/(x3 + x + 1) и F2 = F2 [x]/(x3 + x2 + 1). С помощьюнайденного изоформизма найти образы для x2 + x + 1 ∈ F1 в F2 и x2 + 1 ∈ F2 в F1 .13. Найти минимальное поле характеристики p, в котором многочлен разлагается на линейные множители:(a) p = 3, f (x) = x2 + 2x + 2;(b) p = 2, f (x) = x21 + 1;(c) p = 2, f (x) = x5 + x4 + 1.14. Найти минимальное поле характеристики 3, в котором многочлен x3 + x + 2 ∈ F3 [x] раскладываетсяна линейные множители.

В данном поле найти все корни этого многочлена.15. Линейный код задан своей проверочной матрицей0 0 1 1 1 1H = 0 1 0 1 1 0 .1 1 1 0 1 0Требуется найти минимальное расстояние кода d, построить порождающую матрицу кода G длясистематического кодирования, а также осуществить систематическое кодирование для векторовu1 = [1 1 0]T , u2 = [1 0 1]T .16. Доказать, что линейный (9, 3)-код, заданный порождающим многочленом g(x) = x6 +x3 +1, являетсяциклическим.

С помощью данного кода осуществить систематическое кодирование для полиномовu1 (x) = x2 + 1 и u2 (x) = x + 1.17. Рассмотрим код Хэмминга с параметрами n = 7, k = 4 с порождающим многочленом g(x) = x3 +x2 + 1. Требуется декодировать принятый полином w(x) = x6 + x3 + x2 :(a) с помощью алгоритма декодирования для кодов Хэмминга;(b) с помощью общего алгоритма декодирования БЧХ кода..