В.В. Рыжиков - Программа экзамена по функциональному анализу (5-6 семестры)

Программа экзамена по функциональному анализуЛектор — В. В. РыжиковV–VI семестр, 2004–2005 г.V семестр1. Полные метрические пространства. Теорема Бэра о вложенных шарах. Теорема о категориях.2. Существование непрерывной функции на отрезке [0, 1], не имеющей конечной производной ни в однойточке отрезка.3. Теорема о пополнении метрического пространства (без доказательства).4. Теорема о неподвижной точке сжимающего отображения.5.

Примеры банаховых пространств. Полнота пространств C[0, 1] и ℓ1 .6. Эквивалентность непрерывности и ограниченности операторов (функционалов) в нормированных пространствах. Понятие базиса Гамеля и доказательство его существования. Доказательство существованиянеограниченных операторов в бесконечномерном банаховом пространстве.7. Теорема Банаха – Штейнгауза о равномерной ограниченности (принцип равномерной ограниченности).8.

Геометрический смысл линейного функционала. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Полнота сопряжённого пространства.9. Общий вид непрерывного линейного функционала в пространстве L1 [0, 1]. Несепарабельность пространства L∗∞ [0, 1].10. Теорема Хана – Банаха о продолжении линейного функционала (вещественный и комплексный вариант) иследствия из неё.11. Ограниченность слабо (∗-слабо) сходящейся последовательности в банаховом пространстве. Изометрическое вложение L в L∗∗ .12. Слабая-∗ компактность единичного шара в пространстве, сопряжённом к сепарабельному пространству.13. Теорема Банаха об ограниченности обратного оператора.

Достаточное условие необратимости оператора:kxi k = 1, kAxi k → 0.14. Устойчивость обратимости ограниченного оператора.15. Свойства спектра ограниченного оператора в банаховом пространстве (ограниченность, замкнутость, непустота).16. Спектр оператора умножения на ограниченную измеримую функцию (в Lp [0, 1]).17. Свойства компактных операторов.18. Компактность интегрального оператора в L1 [0, 1] с непрерывным ядром.19.

Некомпактные операторы. Лемма о почти перпендикуляре.20. Эквивалентность компактности операторов А, А∗ , А∗ А.21. Теорема Фредгольма.22. Ограниченность сопряжённого оператора. Существование оператора, сопряжённого ограниченному, равенство их норм.23. Теорема Гильберта – Шмидта.1VI семестр1. Спектральный радиус. Формула вычисления. Теорема об отображении спектра для полиномов.2. Следствие из теоремы Фредгольма о спектре компактного оператора. Теорема Ломоносова об инвариантном подпространстве для компактного оператора в бесконечномерном пространстве.3.

Унитарные и самосопряжённые операторы. Их спектр.4. Разложение сепарабельного гильбертова пространства в сумму ортогональных циклических пространствдля унитарного оператора.5. Спектральная теорема для унитарного оператора с циклическим вектором. Представление унитарногооператора в виде оператора умножения V f (z) = zf (z) в L2 (T, σ) и V f (z, n) = zf (z, n) в L2 (T × N, σ).6. Преобразование Кэли. Эквивалентность самосопряжённого оператора некоторому оператору умноженияна вещественную функцию.7. Теорема об отображении спектра для аналитической функции (в односвязной области).8. Классическое преобразование Фурье, его свойства.9. Инъективность преобразования Фурье.10. Преобразование Фурье в пространстве Шварца S.

Непрерывность преобразования Фурье в S.11. Преобразование Фурье в L2 (R). Теорема Планшереля.12. Полнота системы Эрмита в L2 (R).13. Теорема Пэли – Винера.14. Формула суммирования Пуассона.15. Пространства DN , D(R), S и непрерывные функционалы над ними.16. Общий вид непрерывного функционала на DN .17.

Решение уравнений Λ′ = 0 и Λ′ = F в D′ (R).18. Общий вид непрерывного функционала, носитель которого есть точка.19. Общий вид непрерывного функционала на S.20. Общий вид непрерывного функционала из D′ (R) с компактным носителем.Замечание. Вопросы 8 и 10 не очень полно освещались в лекциях. В случае недостатка материала лекцийпредлагается использовать книгу Колмогорова – Фомина.Последняя компиляция: 28 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.