О.Г. Смолянов - Курс лекций по функциональному анализу

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТимени М.В.ЛОМОНОСОВАМеханико–математический факультетКафедра Теории функций и функционального анализаКурс лекций по функциональномуанализуЛектор — Олег Георгиевич СмоляновЛетописец — Павел Витальевич Бибиков (группа 303)телефон: 137-45-97e-mail: tsdtp4u@proc.ruIII курс, 5 семестр, 1 поток (2007 – 2008 гг.)Лекция 1.1. Метрические пространства.Определение 1.1. Пусть E — произвольное множество. Метрикой (расстоянием) на E называется функция ρ : E × E → R+ , обладающая следующим свойствам:1) ρ(x, z) > 0, ρ(x, z) = 0 ⇔ x = z;2) ρ(x, z) = ρ(z, x);3) ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(y, z).Метрическое пространство — это пара (E, ρ), где ρ — метрика на E.Примеры.1.

E = Rn , ρ(x, y) =snP(xj − yj )2 .j=12. Пусть Ω — произвольное множество. Положим E = B(Ω) — множество всех ограниченных функций на Ω, а также ρ(f, g) = sup |f (ω)−g(ω)|.ω∈Ω3. E = C[a; b], ρ(f, g) = max |f (x) − g(x)|.x∈[a;b]4. E = Q. Определим p-адическую норму следующим образом. Пустьp — фиксированное простое число.

Рациональное число 0 6= r ∈ Q представим в виде r = pγ m, где γ ∈ Z и (m; n) = 1. p-адической нормой назоn1вем величину |r|p = pγ , тогда p-адическая метрика вводится следующимобразом: ρp (r1 , r2 ) = |r1 − r2 |p . Заметим, что в этом случае аксиома 3 выполнена в усиленной форме, а именно, ρ(x, z) 6 max(ρ(x, y); ρ(y, z)). Метрические пространства с такими метриками называются ультраметрическими.Определение 1.2. Пусть (E1 , ρ1 ) и (E2 , ρ2 ) — метрические пространства. Их прямым произведением называется метрическое пространство(E1 × E2 , ρ), где метрика ρ вводится так, чтобы она индуцировала метрики ρ1 и ρ2 на пространствах E1 и E2 соответственно.Замечание. Для прямого произведения нет канонической метрики, т.е.метрику ρ можно задавать разными способами, например, следующими:ρ((x1 ; x2 ); (y1; y2 )) = ρ1 (x1 ; y1) + ρ2 (x2 ; y2 );ρ((x1 ; x2 ); (y1; y2 )) = max{ρ1 (x1 ; y1 ); ρ2 (x2 ; y2 )};qρ((x1 ; x2 ); (y1; y2 )) = ρ21 (x1 ; y1 ) + ρ22 (x2 ; y2).1Определение 1.3.

Пусть (E, ρ) — метрическое пространство и G ⊂ E.Тогда пара (G, ρ |G ) называется подпространством метрического пространства (E, ρ).Определение 1.4. Открытым шаром с центром в точке x ∈ E ирадиусом r > 0 называется множество S(x, r) = {z ∈ E | ρ(x; z) < r}.Замкнутым шаром с центром в точке x ∈ E и радиусом r > 0называется множество F (x, r) = {z ∈ E | ρ(x; z) 6 r}.Определение 1.5.

Множество G ⊂ E называется открытым, если G— объединение семейства открытых шаров, или, что все равно, ∀ x ∈∈ G ∃ r > 0 : S(x, r) ⊂ G. В частности, открытый шар — это открытоемножество.Пусть τρ — множество открытых подмножеств пространства (E, ρ).Это множество обладает следующими свойствами:1) ∅ ∈ τρ ;2) E ∈ τρ ;S3) {Vα } ∈ τρ ⇒ Vα ∈ τρ ;α4) V1 ,. .

. ,Vn ∈ τρ ⇒nTj=1Vj ∈ τρ .Определение 1.6. Множество T называется топологическим пространством, если в нем выделена совокупность τ подмножеств, обладающаясвойствами 1)–4). В этом случае τ называется топологией на T , а ееэлементы — открытыми множествами.Замечание. Любая метрика порождает топологию согласно определению 1.5, но не наоборот. В дальнейшем, если не оговорено противное,мы будем считать, что в метрическом пространстве введена именно такая топология.Упражнение 1. Проверьте условия 1) – 4) для системы открытых подмножеств метрического пространства.Упражнение 2. Привести пример метрического пространства, в котором есть открытый шар, являющийся замкнутым множеством, но не замкнутым шаром, и пример метрического пространства, в котором естьзамкнутый шар, являющийся открытым множеством, но не открытымшаром.Определение 1.7. Множество F ⊂ E называется замкнутым, еслимножество E \ F открыто.

В частности, замкнутый шар — замкнутоемножество.2Окрестностью точки x топологического пространства называетсявсякое множество, содержащее открытое подмножество, которому принадлежит точка x.Определение 1.8. Базой (или фундаментальной системой) окрестностей точки x называется такое множество V окрестностей точки x, что∀ G ∋ x ∃ W ∈ V : W ⊂ G, где G — открытое множество.Рассмотрим примеры фундаментальных систем окрестностей точкиx метрического пространства.Примеры.1.

V = {S(x, r) | r ∈ R+ }.2. V = {S(x, r) | r ∈ Q+ }.3. V = {S(x, 1/n) | r ∈ N}.4. V = {F (x, 1/n) | r ∈ N}.Определение 1.9. Пусть A ⊂ E — произвольное множество. Точка x ∈∈ E называется точкой прикосновения множества A, если для каждойокрестности V (x) точки x имеем: V (x)∩A 6= ∅. Замыканием множестваA называется множество всех его точек прикосновения. Обозначение: Ā.Точка x ∈ E называется предельной точкой множества A, если длякаждой окрестности V (x) точки x пересечение V (x) ∩ A бесконечно.Предложение 1.1.

Множество A замкнуто ⇔ A = Ā.Доказательство. 1. Пусть A замкнуто, тогда E \ A открыто. Значит,E \ A — окрестность точки x для любой точки x ∈ E \ A, кроме того,(E \ A) ∩ A = ∅, а значит, x не точка прикосновения.2. Обратно, пусть A = Ā. Тогда каждая точка x ∈ E \ A — не точкаприкосновения. Поэтому существуетSокрестность V (x) точки x, такая,что V (x)∩A = ∅. Т.к. x ∈ V (x), тоV (x) = E \A.

Значит, множествоx∈E\AE \ A открыто, а множество A замкнуто.Определение 1.10. Последовательность {xn } сходится к x (обозначение: xn → x), если ∀ V (x) ∃ n : ∀ k > n xk ∈ V (x) (где V (x) — окрестностьточки x). В метрическом пространстве это эквивалентно следующемуусловию: ρ(xn ; x) → 0.Определение 1.11. Пусть E — метрическое пространство. Последовательность {xn } ⊂ E называется фундаментальной, если ∀ ε > 0 ∃ n :∀ k1 , k2 > n ρ(xk1 ; xk2 ) < ε. В произвольном топологическом пространстве понятие фундаментальной последовательности не имеет смысла.3Замечание.

Любая сходящаяся последовательность фундаментальна.Однако обратное неверно: например, это неверно в метрическом пространстве (Q, ρp ).Определение 1.12. Метрическое пространство называется полным, если любая его фундаментальная последовательность сходится.Например, пространство B(E) полно.Определение 1.13. Пополнением метрического пространства (E, ρ)называется полное метрическое пространство (Ē, ρ̄), содержащее (E, ρ)в качестве подпространства и всюду плотного подмножества (т.е. замыкание E в Ē совпадает с Ē).Определение 1.14.

Пространства (E, ρE ) и (G, ρG ) называются изоморфными, если ∃ f : E → G, где f — биекция, сохраняющая расстояния,т.е. ρG (f (x), f (z)) = ρE (x, z).Лекция 2.Теорема 1.1. Всякое метрическое пространство E обладает пополнением, единственным с точностью до изоморфизма, тождественногона E.Доказательство. Докажем сначала, что если E полно и A ⊂ E замкнуто, то пространство (A, ρ |A ) тоже полно1 .Пусть {xn } ⊂ A — фундаментальная последовательность. Тогда этапоследовательность фундаментальна и в E, поэтому ∃ x ∈ E : xn → x.Т.к. A = Ā, то x ∈ A, поэтому A полно.Возьмем теперь пространство B(E) всех ограниченных функций на Eс метрикой ρ(f ; g) = sup |f (x) − g(x)|. Докажем, что оно полно. В самомx∈Eделе, пусть {fn } — фундаментальная последовательность в B(E), тогдапри всех z ∈ E последовательность {fn (z)} тоже фундаментальна, т.к.для всех z имеем: ∀ ε > 0 ∃ n : ∀ k, r > nε > ρ(fk ; fr ) = sup |fk (x) − fr (x)| > |fk (z) − fr (z)|.x∈EОтсюда следует, что ∀ z ∈ E ∃ f (z) = lim fn (z), поэтому, переходя вn→∞предыдущем неравенстве к пределу при r → ∞, при всех z имеем: |fk (z)−− f (z)| 6 ε.

Значит, ρ(fk ; f ) = sup |fk (z) − f (z)| 6 ε, и пространство B(E)z∈Eполно.1Если (A, ρ |A ) полно, то A замкнуто в E, даже если E не является полным.4Вложим E в B(E). А именно, пусть x0 ∈ E, тогда E ∋ x1 7→ fx1 ∈∈ B(E), где fx1 (x) = ρ(x; x1 ) − ρ(x; x0 ). Понятно, что fx1 ∈ B(E), т.к.

понеравенству треугольника |fx1 (x)| 6 ρ(x0 ; x1 ).Проверим, что ρE (x1 ; x2 ) = ρB(E) (fx1 ; fx2 ). В самом деле,ρB(E) (fx1 ; fx2 ) = sup |ρ(x; x1 ) − ρ(x; x2 )| 6 ρ(x1 ; x2 ).x∈EКроме того, равенство достигается (например, при x = x1 ).Таким образом, можно считать, что (E, ρE ) — это подпространство в(B(E), ρB(E) ). Рассмотрим Ē, тогда E ⊂ Ē и Ē полно.

Понятно, что Ē —это искомое пополнение. Докажем, что оно единственно (с точностью доизоморфизма, тождественного на E).Пусть G — другое пополнение E. Докажем, что ∃ F : Ē → G, причемF (x) = x при всех x ∈ E. Для каждой точки z ∈ Ē найдется такаяпоследовательность {xn } ⊂ E, что xn → z. Тогда {xn } фундаментальнав Ē и в E, а значит, и в G.

Поэтому ∃ lim F (xn ) = F (z).n→∞Упражнение 3. Докажите корректность определения функции F , т.е.тот факт, что она не зависит от выбора последовательности, сходящейсяк z.Если z1 , z2 ∈ Ē, то ρG (F (z1 ); F (z2 )) = lim ρE (x1n ; x2n ) = ρE (z1 ; z2 ) (поn→∞скольку расстояние непрерывно по совокупности аргументов в силу неравенства треугольника). Таким образом, F — изометрия и отображение«на» (т.к. G тоже полно и E плотно в G).Определение 1.15. Диаметром множества F называется величинаdiam F = sup ρ(x; y).x,y∈FТеорема 1.2 (Теорема о вложенных шарах).