С.С. Марченков - Избранные главы дискретной математики
Описание файла
PDF-файл из архива "С.С. Марченков - Избранные главы дискретной математики", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дополнительные главы дискретной математики" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒèìåíè Ì. Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀÔàêóëüòåò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêèÑ. Ñ. Ìàð÷åíêîâÈÇÁÐÀÍÍÛÅ ÃËÀÂÛ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈÓ÷åáíîå ïîñîáèåÌîñêâà 2015ÓÄÊ 519.71(075.8)ÁÁÊÏå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòàôàêóëüòåòà Âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêèÌÃÓ èìåíè Ì.Â.
ËîìîíîñîâàÐåöåíçåíòû:, ä.ô.-ì.í., ïðîôåññîð;, ê.ô.-ì.í., äîöåíòÂ.À. ÇàõàðîâÄ.Ñ. ÐîìàíîâÌàð÷åíêîâ Ñ.Ñ.Ó÷åáíîå ïîñîáèå. Ì.: Èçäàòåëüñêèé îòäåë ôàêóëüòåòà ÂÌèÊ ÌÃÓ èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà(ëèöåíçèÿ ÈÄ 05899 îò 24.09.2001); ÌÀÊÑ Ïðåññ, 2015. 134 ñ.ISBNISBNÈçáðàííûå ãëàâû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè:Ïîñîáèå íàïèñàíî íà îñíîâå ïîòîêîâîãî êóðñà ¾Äîïîëíèòåëüíûå ãëàâû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè¿, êîòîðûé àâòîð íà ïðîòÿæåíèè ðÿäà ëåò ÷èòàåò íà ôàêóëüòåòå âû÷èñëèòåëüíîéìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè ÌÃÓ. Ïîñîáèå ñîñòîèò èõ ÷åòûðåõ ãëàâ.  ãëàâå 1 ¾Ôóíêöèèìíîãîçíà÷íîé ëîãèêè¿ äàþòñÿ ïåðâîíà÷àëüíûå ñâåäåíèÿ ïî ôóíêöèÿì ìíîãîçíà÷íîé ëîãèêè.
×àñòü èç íèõ èñïîëüçóåòñÿ â ãëàâàõ 2 è 3. Ãëàâà 2 ¾Êîíå÷íûå àâòîìàòû-ðàñïîçíàâàòåëè¿ïîñâÿùåíà îïèñàíèþ êîíå÷íî-àâòîìàòíûõ ìíîæåñòâ â òåðìèíàõ êîíå÷íûõ àâòîìàòîâ, ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðàâîèíâàðèàíòíîãî îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè è íà îñíîâå ðåãóëÿðíûõ âûðàæåíèé.  ãëàâå 3 ¾Êîíå÷íûå àâòîìàòû-ïðåîáðàçîâàòåëè¿ ðàññìàòðèâàåòñÿ êëàññ êîíå÷íîàâòîìàòíûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ. Äîêàçûâàåòñÿêîíå÷íàÿ ïîðîæäàåìîñòü ýòîãî êëàññà îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñóïåðïîçèöèè è îáðàòíîé ñâÿçè è íåâîçìîæíîñòü îáîéòèñü òîëüêî îïåðàöèåé ñóïåðïîçèöèè.  ãëàâå 4 ¾Ìàøèíû Òüþðèíãà è âû÷èñëèìûå ôóíêöèè¿ îïðåäåëÿþòñÿ ìàøèíû Òüþðèíãà è ôóíêöèè, âû÷èñëèìûå íàìàøèíàõ Òüþðèíãà.
Äîêàçûâàåòñÿ ñîâïàäåíèå äàííîãî êëàññà ôóíêöèé ñ êëàññîì ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé. Ââîäÿòñÿ ïîíÿòèÿ P-ñâîäèìîñòè è NP-ïîëíîòû. Óñòàíàâëèâàåòñÿñóùåñòâàíèå NP-ïîëíûõ ïðîáëåì. Êàæäûé ïàðàãðàô ñíàáæåí çàäà÷àìè è óïðàæíåíèÿìè.Äëÿ ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ è íàó÷íûõ ñîòðóäíèêîâ, ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ â îáëàñòè äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè.ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅÏðåäèñëîâèå .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.......................... 7Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Ñòàíäàðòíûå ïîëíûå ñèñòåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 11Àëãîðèòì ðàñïîçíàâàíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé ïîëíîòû . . . . . . . . . 16Òåîðåìà Êóçíåöîâà î ôóíêöèîíàëüíîé ïîëíîòå . . . . . . . . . . . . . .19Çàìêíóòûå êëàññû, íå èìåþùèå êîíå÷íûõ áàçèñîâ . . . . . . . . . . 22Ãëàâà 1. Ôóíêöèè ìíîãîçíà÷íîé ëîãèêè1.2.3.4.5.Ãëàâà 2. Êîíå÷íûå àâòîìàòû-ðàñïîçíàâàòåëè . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 25 1. Êîíå÷íûé àâòîìàò áåç âûõîäà. Êîíå÷íî-àâòîìàòíûåìíîæåñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 2. Ïðàâîèíâàðèàíòíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü. Òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè íàä êîíå÷íî-àâòîìàòíûìè ìíîæåñòâàìè . . . . . .29 3. Íåäåòåðìèíèðîâàííûå àâòîìàòû . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4. Îïåðàöèè ïðîèçâåäåíèÿ è èòåðàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5. Ðåãóëÿðíûå ìíîæåñòâà. Òåîðåìà Êëèíè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Ãëàâà 3. Êîíå÷íûå àâòîìàòû-ïðåîáðàçîâàòåëè . . . . . . . . . . . . . . . . . .441.2.3.4.5.Êîíå÷íûé àâòîìàò ñ âûõîäîì. Òåîðåìà Ìóðà . . . . . . . . .
. . . . . . 44Îñòàòî÷íûå ôóíêöèè. Âåñ ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Êîíå÷íûå àâòîìàòû íà ñâåðõñëîâàõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51Îïåðàöèè ñóïåðïîçèöèè è ââåäåíèÿ îáðàòíîé ñâÿçè . . . . .
. . . . 56Êîíå÷íàÿ ïîðîæäàåìîñòü êëàññà êîíå÷íî-àâòîìàòíûõôóíêöèé. Íåñâîäèìîñòü îïåðàöèè ââåäåíèÿ îáðàòíîé ñâÿçèê îïåðàöèè ñóïåðïîçèöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60. . . . . . . . . 65Ìàøèíà Òüþðèíãà . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Êîìïîçèöèÿ è èòåðàöèÿ ìàøèí Òüþðèíãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Ìîäåëèðîâàíèå ìàøèí Òüþðèíãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Îïåðàöèè ñóïåðïîçèöèè, ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèèè ìèíèìèçàöèè . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Óíèâåðñàëüíàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Êëàññû P è NP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.89Ãëàâà 4. Ìàøèíû Òüþðèíãà è âû÷èñëèìûå ôóíêöèè1.2.3.4. 5. 6.7. NP-ïîëíîòà. Òåîðåìà Êóêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948. Ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029. Êëàññ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10810. ×àñòè÷íàÿ ðåêóðñèâíîñòü âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé.Ôîðìóëà Êëèíè . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Îòâåòû, ðåøåíèÿ, óêàçàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Ñïèñîê ëèòåðàòóðû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1324ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ êóðñàõ äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè, ÷èòàåìûõ â ðîññèéñêèõ óíèâåðñèòåòàõ (à òàêæå â çíà÷èòåëüíîì ÷àñòè òåõíè÷åñêèõ âóçîâ), ñëîæèëñÿ îïðåäåëåííûé êðóã îáÿçàòåëüíûõ ðàçäåëîâ, áåç êîòîðûõ èçëîæåíèå äèñêðåòíîéìàòåìàòèêè íå ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ïîëíîöåííûì. Ê òàêèì ðàçäåëàì ñëåäóåò â ïåðâóþ î÷åðåäü îòíåñòè ðàçäåëû, ïîñâÿùåííûå áóëåâûì ôóíêöèÿìè èõ îáîáùåíèÿì ôóíêöèÿì ìíîãîçíà÷íîé ëîãèêè, êîíå÷íûì àâòîìàòàì, ìàøèíàì Òüþðèíãà è âû÷èñëèìûì ôóíêöèÿì.
 ðàçëè÷íûõ êóðñàõ äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè äàííûå ðàçäåëû ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíûïî-ðàçíîìó: ýòî êàñàåòñÿ íå òîëüêî îáúåìà ìàòåðèàëà, âêëþ÷åííîãî âðàçäåëû, íî è ñòåïåíè ïîäðîáíîñòè è ïðîðàáîòêè âõîäÿùèõ â íèõ òåì. Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå îáÿçàòåëüíûé êóðñ äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè âïåðâûå áûë ïðî÷èòàí Ñ.Â.
ßáëîíñêèì íà ôàêóëüòåòå âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè â 1971 ãîäó.  1979 ã. ïîÿâèëîñü ïåðâîå èçäàíèå ó÷åáíèêà Ñ.Â. ßáëîíñêîãî ¾Ââåäåíèå â äèñêðåòíóþ ìàòåìàòèêó¿ [?], à äâóìÿ ãîäàìè ðàíåå ïåðâîå èçäàíèå ñáîðíèêà¾Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïî äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå¿ [?] Ã.Ï. Ãàâðèëîâà èÀ.À. Ñàïîæåíêî. Âïîñëåäñòâèè ýòè êíèãè íåñêîëüêî ðàç ïåðåèçäàâàëèñüè ïåðåâîäèëèñü íà äðóãèå ÿçûêè. Íå áóäåò ïðåóâåëè÷åíèåì ñêàçàòü, ÷òîîíè âíåñëè çíà÷èòåëüíûé âêëàä â ñòàíîâëåíèå è ðàçâèòèå äèñêðåòíîéìàòåìàòèêè â íàøåé ñòðàíå.Íà ôàêóëüòåòå âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè ÌÃÓ êóðñäèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè ðàçáèò íà äâå ÷àñòè: ïåðâàÿ áàçîâàÿ ÷èòàåòñÿ âñåì ïîòîêàì ïåðâîãî êóðñà; âòîðàÿ ¾Äîïîëíèòåëüíûå ãëàâûäèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè¿ â ïÿòîì ñåìåñòðå íà âòîðîì ïîòîêå. È åñëè áàçîâàÿ ÷àñòü íå ïðåòåðïåëà ñóùåñòâåííûõ èçìåíåíèé ïî ñðàâíåíèþñ êóðñîì (è ó÷åáíèêîì) Ñ.Â.
ßáëîíñêîãî (ñîâðåìåííîå èçëîæåíèå ýòîé÷àñòè èìååòñÿ â êíèãå [?] Â.Á. Àëåêñååâà), òî âî âòîðîé ÷àñòè ïðîèçîøëè çíà÷èòåëüíûå èçìåíåíèÿ. Ïîÿâèëàñü ïîòðåáíîñòü â èçëîæåíèè ýòîé÷àñòè â âèäå îòäåëüíîãî ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ. íàñòîÿùåì ó÷åáíîì ïîñîáèè ïðåäñòàâëåíû òðè ðàçäåëà äèñêðåòíîéìàòåìàòèêè: ôóíêöèè ìíîãîçíà÷íîé ëîãèêè, êîíå÷íûå àâòîìàòû, ìàøèíû Òüþðèíãà è âû÷èñëèìûå ôóíêöèè.
Ïîñëåäíèå äâà ðàçäåëà ñîñòàâëÿþò êóðñ ¾Äîïîëíèòåëüíûå ãëàâû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè¿, êîòîðûéàâòîð íà ïðîòÿæåíèè ðÿäà ëåò ÷èòàåò íà ôàêóëüòåòå âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè. Ðàçäåë ¾Ôóíêöèè ìíîãîçíà÷íîé ëîãèêè¿ âêëþ÷åí â ïîñîáèå, ÷òîáû îáåñïå÷èòü ïîëíîòó è íåçàâèñèìîñòü äîêàçàòåëüñòâ5íåêîòîðûõ óòâåðæäåíèé äëÿ êîíå÷íûõ àâòîìàòîâ.  ïîñîáèå íå âêëþ÷åíà ãëàâà ïî áóëåâûì ôóíêöèÿì, ïîñêîëüêó â íàñòîÿùåå âðåìÿ èìååòñÿíåñêîëüêî äîñòóïíûõ êíèã (ñì., íàïðèìåð, [?, ?, ?]), â êîòîðûõ ýòà òåìàèçëîæåíà äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî.Ðàçäåë ¾Êîíå÷íûå àâòîìàòû¿ â ïîñîáèè ðàçáèò íà äâå ãëàâû: ¾Êîíå÷íûå àâòîìàòû-ðàñïîçíàâàòåëè¿ è ¾Êîíå÷íûå àâòîìàòû-ïðåîáðàçîâàòåëè¿. ïåðâîé èç ýòèõ ãëàâ ñîäåðæèòñÿ ìàòåðèàë, êîòîðûé ñðàâíèòåëüíî ðåäêî âñòðå÷àåòñÿ â ó÷åáíèêàõ ïî äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå.
Çäåñü ñîáðàíûðåçóëüòàòû, êàñàþùèåñÿ ðàçëè÷íûõ îïðåäåëåíèé êîíå÷íî-àâòîìàòíûõìíîæåñòâ: ñîáñòâåííî ÷åðåç êîíå÷íûå àâòîìàòû, ñ ïîìîùüþ ïðàâîèíâàðèàíòíîãî îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè è ÷åðåç ðåãóëÿðíûå âûðàæåíèÿÊëèíè. Ïðèâåäåíû òåîðåìû, ïîêàçûâàþùèå ýêâèâàëåíòíîñòü âñåõ îïðåäåëåíèé.Äðóãàÿ ãëàâà, ïîñâÿùåííàÿ êîíå÷íûì àâòîìàòàì, ñîäåðæèò áîëåå òðàäèöèîííûé ìàòåðèàë, êîòîðûé íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò âõîäèò â óíèâåðñèòåòñêèå êóðñû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè. Åäèíñòâåííàÿ îñîáåííîñòüçäåñü ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ïîñîáèè äîâîëüíî ïîäðîáíî ðàññìîòðåíà ñâÿçüìåæäó êîíå÷íî-àâòîìàòíûìè ôóíêöèÿìè, îïðåäåëåííûìè íàä êîíå÷íûìè ñëîâà è íàä áåñêîíå÷íûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè (ñâåðõñëîâàìè).Áîëüøàÿ ÷àñòü ãëàâû ¾Ìàøèíû Òüþðèíãà è âû÷èñëèìûå ôóíêöèè¿ñîñòàâëåíà èç ðåçóëüòàòîâ, ïîñòîÿííî âõîäÿùèõ â ïîäîáíûå êóðñû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè.