Задачи от А.С. Мищенко

Задачи ккурсу "Дифференциальная геометрия итопология(математики, 3-й курс, лектор - А.С.Мищенко)Осенний семестр 2004/05 уч. года19 октября 2004 г.Лекция 1 (7 сентября 2004 г.)1. Тензоры, валентность тензоров, сумма, свертка.2. Альтернирование и симметрирование тензоров.3. Классические примеры тензоров, градиент функции, функционал, скалярное произведение, линенйный оператор.4. Тезорный характер операций векторного и смешанного произведенийвекторов в R3 .5. Тензорное произведение, тензорная интерпретация следа и детерминанта матрицы.6. Теорема о представлении тензора в виде суммы тензорных произведений простейших тензоров.Задачи:1. Определить валентность тензоров, компоненты которых выражаютсяследующим образом:(a) Ti =(b) Tij =∂f∂xi ;∂2f∂xi ∂xjв точках, где градиент функции f равен нулю;(c) Tji — компоненты матрицы линейного оператора векторного пространства;(d) Tij — компоненты матрицы билинейной формы на векторном пространстве.12.

Пустьδji=01если i 6= j,если i = j.(1)Показать, что компоненты {δji } образуют тензор валентности (1,1).3. Пусть ξ = {ξ ij } — тензор валентости (2,0), а числа {ηij } удовлетворяют условиямξ ij ηjk = δji(2)для произвольных значений индексов i, j. Доказать, что компоненты{ηij } образуют тензор валентности (0,2).4. Пусть тензор валентности (0,2) задается в некоторой системе координат (x1 , ..., xn ) матрицей g = {gij (x)}. Допустим, что матрица g(a) симметрична,(b) невырождена и(c) неотрицательно определена.Доказать, что свойства (4a), (4b), (4c) сохраняются при любой регулярной заменене координат.5. Привести пример, показывающий, что опреация перестановки верхнего индекса с нижним индексом не является тензорной операцией.i ,...,i6.

Пусть T = {Tj11,...,jqp (x)} — тензорное поле. Показать, что операцияi ,...,ii ,...,iTj11,...,jqp⇒ Sj11 ,...,jpq+1 :i ,...,i=(3)Sj11 ,...,jpq+1∂∂xjq+1i ,...,iTj11,...,jqpявляется тензорной операцией только при p = 0 и q = 0.Через Vnm будем обозначать пространство всех тензоров валентности (m,n).7. Определить размерность тензорного пространства Vnm .8. Пусть f : Vnm → Vqp —линейное отображение тензорных пространств.Показать, что коэффициенты (относительно компонент тензоров впространствах Vnm и Vqp ) линейного отображения f образуют тензор.Определить его валентность.9.

Найти тип тензора, компоненты которого суть коэффициенты(a) векторного произведения,(b) смешанного произведениявекторов в R3 . Показать, что эти тензоры получаются друг из другапутем подымания или опускания индексов.2Лекция 2 (14 сентября 2004 г.)1. Линейное пространство тензоров.2. Тензорные операции над линейными пространствами. Симметрические и внешние степени линейного пространства.

Вычисление размерностей пространств тензоров.3. Канонические базисы в тензорных степенях.4. Полилинейные функции и их линейное тензорное продолжение.5. Тензорный вид коэффициентов линейной зависимости между тензорами.Задачи:10. Показать, что любой тензор валентности (2,0) однозначно разлагается в сумму симметрического и кососимметрического слагаемых. Показать, чта для тензоров валентности (3,0) аналогичное утверждениене верно.11. Доказать, что операторы альтернирования и симметрирования являются проекторами в пространстве тензоров.12.

Показать, что операция перестановки индексов коммутирует с операциями альтернирования и симметрирования.13. Показать, что композиция операций альтернирования и симметрирования является нулевой операцией.Через V ⊗k обозначим k-ю тензорную степень пространства V , через Λk V— k-ю внешнюю степень, а через S k V — k-ю симметрическую степень.Если F : V −→V линейный оператор, то для тензорных, внешних и симметрических степеней определены операторы, которые обозначаются следующим образом:F ⊗k : V ⊗k −→ V ⊗k ,(4)Λk F : Λk V −→ Λk V,S k F : S k V −→ S k V.14. Определить размерности пространств Λk V и S k V .Рангом тензора валентности (p,q) будем называть число p + q.

Тензор называется инвариантным, если его компоненты не меняются ни при какихзаменах координат.15. Описать все инвариантные тензоры ранга 0, 1, 2, 3 и 4.16. Выразить через коэффициенты характеристического многочлена оператора c = {cij } величины det c, cii , cij cji , cij cjk cki и т.д.317. Представить определитель линейного оператора как результат выполнения последовательности элементарных тензорных операций.Лекция 3 (21 сентября 2004 г.)1. Скалярное произведение как тензор второй валентности.2. Поднятие и опускание индексов у тензора.3. Понятие тензорного поля, векторное поле, градиент гладкой функции.Различие между векторным полем и градиентом функции.4. Двойственность между векторным и ковекторным полем.

Производная гладкой функции вдоль векторного поля.5. Канонические базисы в пространстве тензоров, порожденные локальной системой координатЗадачи:Градиентом функции f назывется векторное поле, которое получается в ре∂fзультате опускания индекса у тезроного поля df = { ∂xi }, т.е.grad f = {v i } :v i = g ij∂f∂xj(5)18. Доказать, что градиент grad f функции f перпендикулярен поверхностям уровня функции f .19. Выразить tr Λk F через коэффициенты характеристического многочлена оператора F .20. Выразить tr (F ⊗ F ), tr F ⊗k , det (F ⊗ F ) через коэффициенты характеристического многочлена оператора F .21. Пусть тензор X имеет валентность (1, 0), а тензор W имеет валентность (0, 1). Найти ранг оператора X ⊗ W .22. Пусть ξ ∈ Λ1 V , ξ 6= 0, ω ∈ Λk V .

Доказать, что равенство ξ ∧ ω = 0выполняется тогда и только тогда, когда ω представляется в виде ω =ξ ∧ ψ для некоторого ψ ∈ Λk−1 V .23. Пусть тензор T = {Tijk } симметричен по первым двум индексам икососимметричен по второму и третьему индексам. Доказать, что T =0.24. Пусть a = {aij } — симметрический тензор, а d = {bij } — кососимметрический тензор. Доказать, что aij bij = 0.4i ...i25. Пусть T = {Tj11...jqp (x)} тензорное поле. Доказать, что для любой системы координат имеет место единственное разложениеi ...iT = Tj11...jqp∂∂⊗ .

. . ⊗ ip ⊗ dxj1 ⊗ . . . ⊗ dxjq .i1∂x∂xЛекция 4 (28 сентября 2004 г.)1. Ковариантная производная и ковариантый градиент векторного поля.Линейная связность, коэффициенты линейной связности. Закон изменения коэффициентов линейной связности при замене координат.2. Ковариантный градиент тензорных полей произвольной валентности.3.

Формулы ковариантной производной по направлению и вдоль кривой.4. Операция параллельного перенесения.Задачи:26. Пусть Γ = {Γkij } — линейная связность. Доказать, что Tijk = Γkij − Γkjiобразуют тензор валентности (1,2).e = {Γe k } — две линейные связности. Доказать,27. Пусть Γ = {Γkij } и Γije k образуют тензор валентности (1,2). И обратно, есличто Tijk = Γkij − ΓijT = {Tijk } —тензор валентности (1,2), а Γ = {Γkij } — линейная связe k = Γk + T k образуют коэффициенты некоторой линейнойность, то Γijijijсвязности.k28.

Пусть Γ = {Γkij } и γ = {γij} — две линейные связности, α и β — двегладкие функции, причем α(x) + β(x) ≡ 1. Показать, что компонентыk{αΓkij +βγij} служат коеффициентами некоторой линейной связности.29. Доказать, что тензорное поле δji символов Кронекера параллельновдоль любой кривой для любой линейной связности.30.

Показать, что ковариантная производная тензорного поля вдоль кривой зависит от значения коэффициентов связности и компонент полятолько на этой кривой. Иными словами, если тензорное поле заданотолько в точках кривой, то, тем не менее, можно вычислить ковариантную производную этого тензорного поля вдоль вектора скоростикривой.31. Доказать, что при одновременном параллельном перенесении нескольких тензоров вдоль данной кривой параллельно переносятся и тензоры, полученные из исходных при помощи тензорных операций. Инымисловами результат параллельного перенесения вдоль кривой коммутирует с тензорными операциями.532.

Показать, что если две гиперповерхности евклидова пространства соприкасаются вдоль некоторой кривой, то результат параллельного перенесения касательного вектора вдоль этой криой не зависит от выбора подмногообразия.33. На римановом многообразии симметрическая риманова связность удовлетворяет условию: операция параллельного перенесения коммутирует с операциями опускания и поднятия индексов. Доказать.34.

Пусть векторное поле имет постоянную длину относительно римановой метрики. Доказать, что ковариантная производная относительносимметрической римановой связности в любом направлении ортогональна к исходному векторному полю.Лекция 5 (5 октября 2004 г.)1. Геометрическая интерпретация ковариатной производной.2. Связность на поврехности в евклидовом пространстве.3.

Симметрическая связность, ассоциированная с римановой метрикой.4. Сохранение длины угла между векторами при параллельном перенесении.Задачи:35. Вычислить символы Кристоффеля евклидовой метрики плоскости вполярных координатах.36. Вычислить символы Кристоффеля метрикиds2 = λ(u, v)(du2 + dv 2 ).(6)37. Вычислить символы Кристоффеля в R3 в сферической системе координат.38. Вычислить символы Кристоффеля на сфере в сферической системекоординат.39. Вычислить угол, на какой повернется касательный вектор на прямом круговом цилиндре в R3 при параллельном перенесении вдользамкнутой кривой.

Зависит ли результат от вида кривой?40. Вычислить угол, на какой повернется касательный вектор на прямомкруговом конусе в R3 при параллельном перенесении вдоль замкнутойкривой. Установить зависимость от вида кривой.641. Выписать в явном виде и решить уравнения параллельного переносана сфере с метрикой ds2 = dθ2 + sin2 θdϕ2 :а) вдоль кривой θ = θ0 = const , т.е. вдоль параллели;б) вдоль кривой ϕ = ϕ0 = const , т.е. вдоль меридиана.42.

На какой угол повернется касаткльный вектор на сфере в результатепараллельного перенесения вдоль параллели.43. Доказать, что касательный вектор на сфере можно перевести в любойдругой касетельный вектор той же длины при помощи параллельногоперенесения вдоль некоторой кривой.Лекция 6 (12 октября 2004 г.)1. Понятие n-мерного многообразия, карты, атлаc карт.2. Гладкие многообразия. Гладкие функции и отображения.3. Теорема о cущеcтвовании разбиения единицы.4.

Гладкие отображения многообазий. Дифференциал отображения, якобиан. Погружения и вложения. Подмногообразия.Задачи:44. Доказать, что n–мерная сфера S n , задаваемая в Rn уравнением x20 +x21 + · · · + x2n = 1, является гладким многообразием.а) Построить атлас карт.б) Построить атлас карт из минимального числа карт.в) Построить атлас из минимального карт при условии, что каждаякарта гомеоморфна диску.г) Построить атлас из n + 1 карты, при условии, что все карты ивсевозможные непустые пересечения карт гомеоморфны дискам.45.