С.Б. Гусейн-Заде - Курс лекций по дифференциальной геометрии и топологии

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций по дифференциальнойгеометрии и топологииЛектор — Сабир Меджидович Гусейн-ЗадеIII курс, 5 семестр, поток математиковМосква, 2006 г.Оглавление1.2.Гладкие многообразия1.1.

Многообразия в Rn . . . . . . . . . . . . . .1.2. Общее определение гладкого многообразия1.2.1. Координаты . . . . . . . . . . . . . .1.2.2. Топологические пространства . . . .1.2.3. Абстрактные гладкие многообразия1.2.4. Отображения гладких многообразий................................................................................................................................................................................................4466789Тензоры2.1. Определение тензора .

. . . . . . . . . . .2.2. Операции с тензорами . . . . . . . . . . .2.3. Кососимметрические тензоры типа (0, k) .2.4. Свойства внешнего дифференциала . . .................................................................................................................................1010111415....3.Дифференциальные формы максимального ранга и интегрирование по подмногообразиям3.1. Ориентируемые многообразия . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Многообразия с краем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Разбиение единицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .3.4. Интеграл формы по многообразию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5. Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.6. Когомологии де Рама . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.7. Гомотопическая эквивалентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.8. Гомотопическая инвариантность когомологий де Рама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1616171920212324254.Ковариантное дифференцирование4.1. Ковариантное дифференцирование . . . .

. . . . . . . . . .4.2. Метрический тензор и ковариантное дифференцирование4.3. Тензор кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4. Свойства тензора кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . .27273033332............................................................................................ПредисловиеОт редакцииЭтот документ представляет собой полный скомпилированный заново курс лекций по дифференциальнойгеометрии.

Очень странно, что в документе было очень большое количество дословно совпадающих фрагментов.Они исключены из текста, однако при этом не гарантируется, что порядок изложения правильный.Сразу скажем, что исходное качество TEXнического текста довольно низкое и не соответствует никакимнормам типографского набора. Однако у нас нет времени полировать этот документ — это большая работа. Если кто-либо возьмётся за это благородное дело, мы готовы всячески способствовать этому, в частности,предоставить исходный текст последней версии.Порядок изложения материала наиболее соответствует курсу 2003 г.Последняя компиляция: 9 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.От лектораЛекции будут сопровождаться некоторыми задачами.

Помимо этого в течение семестра будет сформировани предложен (по частям) некоторый список задач, решение которых включается в экзамен (наряду с теоретическими вопросами). Многие задачи из списка будут помечены звездочками внизу или вверху. Задачи, помеченныезвездочкой вверху, предназначены (и обязательны) для тех, кто хочет получить «отлично». Задачи, помеченныезвездочкой внизу, абсолютно обязательны для всех, и неумение решать хотя бы одну из них может служитьповодом для неудовлетворительной оценки.

Неумение решать задачу с двумя звездочками внизу автоматически влечет неудовлетворительную оценку. То же самое относится к некоторым утверждениям, включаемым влекции без доказательств.31. Гладкие многообразия1.1. Многообразия в RnВ прошлом году в курсе классической дифференциальной геометрии вы в основном изучали кривые и поверхности на плоскости и в (трехмерном) пространстве. Обобщением этих понятий является понятие (гладкого)многообразия, которое вместе с различными структурами на нем будет основным объектом изучения в курсе.Как известно из анализа, порядок гладкости (скажем, функции) может быть различным.

Функция может бытькласса гладкости C 1 , C k с k < ∞, C ∞ , . . . В дифференциальной геометрии обычно принято считать, что всерассматриваемые объекты (многообразия, функции, отображения, тензорные поля, . . . ) имеют столь высокийпорядок гладкости, сколь необходимо. Поэтому в дальнейшем мы, не оговариваясь каждый раз, будем предполагать, что все рассматриваемые объекты достаточно гладкие, например, класса C ∞ .

Чтобы не ограничивать себяв выборе терминов, мы иногда будем использовать разные названия для одних и тех же объектов. Например,термины «область», «открытая область» и «открытое множество» будут синонимами.Понятие многообразия является обобщением (в действительности — не слишком далеким) понятия (гладкого)подмногообразия аффинного пространства. Поэтому опишем это понятие (или напомним его в подходящем длянас виде).Есть два возможных описания подмногообразия аффинного пространства.

Так, кривая в (обычном трехмерном) пространстве может быть задана либо двумя уравнениями, либо с помощью параметризации (частныйслучай параметризации — задание кривой в пространстве как графика отображения прямой в плоскость). Вдействительности (при определенных дополнительных условиях) такие описания эквивалентны.

Возьмем за исходное описание подмногообразия как множества, задаваемого уравнениями. Известно, что не всякая системаf = 0, g = 0 из двух уравнений от трех неизвестных x, y и z задает гладкую кривую в пространстве R3 . Длятого, чтобы множество решений такой системы уравнений было гладкой кривой, следует потребовать, чтобыматрица!∂f∂x∂g∂x∂f∂y∂g∂y∂f∂z∂g∂zимела ранг, равный 2 (в точках, принадлежащих множеству решений системы). Потребуем выполнения аналогичного требования в общем случае.Определение. Подмногообразием (размерности k) области U аффинного пространства Rn (с координатами1x , x2 , .

. . , xn ) называется подмножество M ⊂ U , которое в окрестности любой точки a области U являетсямножеством решенийсистемы из (n − k) уравнений f1 (x1 , . . . , xn ) = 0, . . . , fn−k (x1 , . . . , xn ) = 0, для которойранг матрицы∂fi∂xj (a)(i = 1, . . . , n − k, j = 1, . . . , n) равен n − k.Системы уравнений, обладающие описанным свойством, мы будем называть невырожденными (в точке a).Заметим, что в соответствии с определением подмногообразие области U является замкнутым подмножествомв U .

Поэтому, например, на плоскости прямолинейный интервал с концами в точках (1, 0) и (−1, 0) являетсяподмногообразием открытого единичного круга с центром в начале координат, но подмногообразием плоскостине является.Задача 1.1 (∗ ). Верно ли, что любое k–мерное подмногообразие M пространства Rn является множествомрешений системы из (n − k) уравнений f1 (x1 , . . . , xn ) = 0, . . .

, fn−k (x1 , . . . , xn ) = 0, для которой ранг матрицы∂fi∂xj (a)(i = 1, . . . , n − k, j = 1, . . . , n) равен n − k в любой точке a ∈ M ?Как говорилось выше, другой возможный подход к определению подмногообразия в пространстве Rn состоитв том, что (k–мерным) подмногообразием называется образ отображения Ψ пространства Rk или области в немв пространство Rn . Такое отображение играет роль параметризации. Если не требовать от отображения Ψничего, кроме гладкости, его образ может быть устроен таким образом, что его вряд ли можно будет назватьподмногообразием (например, поверхностью в пространстве). В частности, он не будет подмногообразием всмысле приведенного выше определения.

Пусть Ψ — отображение области U пространства Rk в пространствоRn . Такое отображение задается набором из n функций (компонент отображения) ψ1 , . . . , ψn на U : Ψ(x) =(ψ1 (x), . . . , ψn (x)) (x ∈ U ). (Гладкость отображения Ψ эквивалентна гладкости функций ψi , i = 1, . . . , n.)Определение.Отображение Ψ : U −→ Rn (U ⊂ Rk , Ψ = (ψ1 , . . . , ψn )) невырождено в точке x ∈ U , если матiрица ∂ψ∂xj (x) (i = 1, .

. . , n, j = 1, . . . , k) имеет максимально возможный ранг (равный min(k, n)). ОтображениеΨ невырождено, если оно невырождено во всех точках x ∈ U .Синонимом термина «невырожденное» (у нас) будет термин «регулярное».Замечание. Система уравнений f1 = 0, . . . , fn−k = 0 на области U ⊂ Rn может быть задана отображениемF :U −→ Rn−k : F (x) = (f1 (x), . . . , fn−k (x)). (Множество решений системы — это прообраз нуля при отображенииF .) Условие невырожденности системы уравнений f1 = 0, . . .

, fn−k = 0 в точке x ∈ U совпадает с условием4невырожденности отображения F в этой точке. Невырожденные отображения Rk −→ Rn «устроены по-разному»при k > n и при k < n. Случай k = n тоже можно считать отличающимся от этих двух (см. теорему об обратномотображении). Случай k > n (когда матрица частных производных имеет ранг n) играет основную роль призадании подмногообразий уравнениями, а случай k < n (матрица производных имеет ранг k) — при заданииподмногообразий при помощи параметризаций.Условие невырожденности отображения является локальным условием. Если отображение невырождено вкаждой точке, то его образ может не быть подмногообразием в смысле нашего определения, поскольку, например, он может иметь самопересечения.