Е.А. Головко - Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка
Описание файла
PDF-файл из архива "Е.А. Головко - Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Федеральное агентство по образованиюГОУ ВПОИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИнститут математики, экономики и информатикиКафедра дифференциальных и интегральных уравненийЕ.А.ГоловкоПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГОПОРЯДКАМетодические указанияИркутск 2008ОглавлениеВедение……………………………………………………………………3§1 Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными …………………………………………………………………………41.1.
Необходимый теоретический материал………………………..41.2. Пример выполнения задачи1 (приведение к6каноническому виду уравнений гиперболического типа) ...1.3. Пример выполнения задачи 2 (приведение к7каноническому виду уравнений параболического типа)1.4. Пример выполнения задачи 3 (приведение к9каноническому виду уравнений эллиптического типа) ..1.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….….11§2 Упрощение группы младших производных13для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами2.1. Необходимый теоретический материал …………………..132.2.
Пример выполнения задачи 4142.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..172ВВЕДЕНИЕВ настоящих методических указаниях изложен теоретический материал и наконкретных примерах разобрано приведение к каноническому виду линейныхуравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными для уравнений гиперболического, эллиптического и параболическоготипов.Методические указания предназначены для студентов математических специальностей очной и заочной формы обучения.3§1. Приведение к каноническому виду линейных уравнений счастными производными 2-го порядка с двумя независимымипеременными.Задача.
Определить тип уравненияA( x, y )U xx 2B ( x, y )U xy C ( x, y )U yy a( x, y )U x b( x, y )U y c ( x, y )U f ( x, y )(1)и привести его к каноническому виду.1.1. Необходимый теоретический материал.I. Тип уравнения (1) определяется знаком выражения B 2 AC : если B 2 AC 0 в некоторой точке, то уравнение (1) называетсяуравнением гиперболического типа в этой точке; если B 2 AC 0 в некоторой точке, то уравнение (1) называетсяуравнением эллиптического типа в этой точке; если B 2 AC 0 в некоторой точке, то уравнение (1) называетсяуравнением параболического типа в этой точке.Уравнение (1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического,параболического типа в области D, если оно гиперболично, эллиптично, параболично в каждой точке этой области.Уравнение (1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) вдругую.
Например, уравнение yU xx U yy 0 является уравнением эллиптическоготипа в точках ( x, y ), y 0 ; параболического типа в точках (x,0) ; и гиперболического типа в точках ( x, y ), y 0 .II. Чтобы привести уравнение к канонического виду, необходимо:1. Определить коэффициенты A( x, y ), B( x, y ), C ( x, y ) ;2. Вычислить выражение B 2 AC ;3.
Сделать вывод о типе уравнения (1) (в зависимости от знака выраженияB 2 AC );4. Записать уравнение характеристик:A( x, y )dy 2 2 B( x, y )dxdy C ( x, y )dx 2 0 ;(2)5. Решить уравнение (2). Для этого:а) разрешить уравнение (2) как квадратное уравнение относительно dy:B( x, y ) B 2 ACdy dx ;(3)A( x, y )б) найти общие интегралы уравнений (3) (характеристики уравнения(1)):41 ( x, y ) C1 , 1 ( x, y ) C 2,(4)в случае уравнения гиперболического типа; 2 ( x, y ) C ,(5)в случае уравнения параболического типа; 3 ( x, y ) i 3 ( x, y ) C ,(6)в случае уравнения эллиптического типа.6.
Ввести новые (характеристические) переменные и : в случае уравнения гиперболического типа в качестве и берутобщие интегралы (4) уравнений (3), т.е. 1 ( x, y ), 1 ( x, y ); в случае уравнения параболического типа в качестве берут общий интеграл (5) уравнения (3), т.е. 2 ( x, y ) , в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию 2 , невыражающуюся через 2 ( x, y ) , т.е. 2 ( x, y ) ; в случае уравнения эллиптического типа в качестве и берутвещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (6)уравнений (3): Re3 ( x, y ) i 3 ( x, y ) 3 ( x, y ), Im3 ( x, y ) i 3 ( x, y ) 3 ( x, y ).7. Пересчитать все производные, входящие в уравнение (1), используяправило дифференцирования сложной функции:U x, y ; x, y U x U x U x ,U y U y U y ,22U xx U x 2U x x U x U xx U xx ,(7)U yy U y 2U y y U y U yy U yy ,22U xy U x y U x y y x U x y U xy U xy .8.
Подставить найденные производные в исходное уравнение (1) и привести подобные слагаемые. В результате уравнение (1) примет один из следующих видов: в случае уравнения гиперболического типа:U F1 U ,U ,U , , 0 ;5 в случае уравнения параболического типа:U F1 U , U ,U , , 0 ; в случае уравнения эллиптического типа:U U F1 U , U , U , , 0 .1.2. Пример выполнения задачи 1.Определить тип уравненияU xx 4U xy 21U yy 2U x 3U y 5U x 2и привести его к каноническому виду.(8)Решение:1. Определим коэффициенты A( x, y ), B( x, y ), C ( x, y ) :А=1, В= -2, С=-21.22.
Вычислим выражение B AC :B 2 AC 4 21 25 .3. B 2 AC 25 0 уравнение гиперболического типа во всей плоскостиXOY.4. Запишем уравнение характеристик:dy 2 4dxdy 21dx 2 0 .(9)5. Решим уравнение (9). Для этого:а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy: 2 25dy dx ;1dy 2 5dx ;dy 7dx, dy 3dx,(10)б) найдём общие интегралы уравнений (10) (характеристики уравнения(9)):y 7 x C1 ,y 3 x C2 ,y 7 x C1 ,y 3 x C2 .6.
Введём характеристические переменные: y 7 x, y 3x.7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.Найдем сначала6 x 7, y 1, xx 0, xy 0, yy 0, x 3, y 1, xx 0, xy 0, yy 0.Используя формулы (7), получим:2 U x 7U 3U , 3 U y U U ,1 U xx 49U 42U 9U ,1 U xy 7U 4U 3U , 21 U yy U 2U U .Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (8) при соответствующихпроизводных.8. Собирая подобные слагаемые, получим:U {49 28 21} U {42 16 42} U {9 12 21} U {14 3} U2 {6 3} 5U .16Или после деления на -100 (коэффициент при U ):U 0,11U 0,09U 0,05U 2.1600Ответ.
Уравнение (8) является уравнением гиперболического типа на всейплоскости XOY. Канонический вид 2U 0,11U 0,09U 0,05U ,1600где y 7 x, y 3 x.1.3. Пример выполнения задачи 2.Определить тип уравнения25U xx 10U xy U yy U y 2U 5 y 2 xи привести его к каноническому виду.(11)Решение:1. Определим коэффициенты A( x, y ), B( x, y ), C ( x, y ) .
В нашем примере онипостоянны:А=25, В= -5, С=1.22. Вычислим выражение B AC :7B 2 AC 25 25 0 .3. B 2 AC 0 уравнение параболического типа во всей плоскости XOY.4. Запишем уравнение характеристик:25dy 2 10dxdy dx 2 0 .(12)5. Решим уравнение (12). Для этого:а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy.
Однако в этом случае левая часть уравнения является полным квадратом:(5dy dx) 2 0 ;5dy dx;(13)б) имеем только одно уравнение характеристик (13). Найдём его общий интеграл (уравнения параболического типа имеют только одно семейство вещественных характеристик):5 y x C,5 y x C.6. Введём характеристические переменные: одну из переменных ( ) вводимкак и ранее 5 y x,а в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, невыражающуюся через , пусть x;7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.Найдем сначала x 1, y 5, xx 0, xy 0, yy 0, x 1, y 0, xx 0, xy 0, yy 0.Используя формулы (7), получим:0 U x U U ,1 U y 5U ,25 U xx U 2U U , 10 U xy 5U 5U ,1 U yy 25U .Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (11) при соответствующихпроизводных.8.
Собирая подобные слагаемые, получим:U {25 50 25} U {50 50} U {25} U {5} 2U .8Функцию, стоящую в правой части уравнения (11) необходимо также выразить через характеристические переменные.После деления на 25 (коэффициент при U ):U 0,2U 0,08U 0,4( ).Ответ. Уравнение (11) является уравнением параболического типа на всейплоскости XOY. Канонический видU 0,2U 0,08U 0,4( ).где 5 y x, x.1.4. Пример выполнения задачи 3.Определить тип уравненияU xx 4U yy U x 3U y U x 2и привести его к каноническому виду.(14)Решение:1.