А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)

А. Ф. Филиппов СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Научно-издательский центр лрегулярная и хаотическая динамика» 2000 УДК 517.0 ББК 517.2 «Р 56 Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: НИЦ «Регулярная н хаотическая динамика>, 2000, 176 стр. Сборник содержит материалы для упражнений по курсу дифференциальных уравнений для университетов и технических вузов с повьппенной математической программой. В настоящее издание добавлены задачи, предлагавшиеся на письменных экзаменах на механико-математическом факультете МГУ. 16ВХ 5-93972-008-0 ББК 517.2 © НИВ «Регулярная и хаотическая динамиках, 2000 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 25 29 49 87 97 104 109 П9 122 129 з 1. э 2.

~ 3. 34. э 5. э 6. э 7. э 8. э 10. з 11. э 12. ~ 13. з 14. ~ 15. э 16. 3 17. з 18. э 20. э 21. Изоклины. Составление дифференциального уравнения семейства кривых . Уравнения с разделяющимися переменными Геометрические и физические задачи Однородные уравнении............... Линейные уравнения первого порядка Уравнения в полных дифференциалах.

Интегриру ющий множитель Существование и единственность решения Уравнения, не разрешенные относительно произ водной Разные уравнения первого порядка ........ Уравнения, допускающие понижение порядка .. Линейные уравнения с постоянными коэффициен тами . Линейные уравнения с переменными коэффициен тами . Краевые задачи Линейные системы с постоянными коэффициентами Устойчивость Особые точки Фазовая плоскость Зависимость решения от начальных условий и па- раметров. Приближенное решение дифференциаль- ных уравнений Нелинейные системы .. Уравнения в частных производных первого порядка Существование и единственность решения 10 12 17 20 34 39 44 62 71 Содержание Ответы 152 171 Ответы к добавлению Таблицы показательной функции и логарифмов .....

175 322. Общая теория линейных уравнений и систем ~ 23. Линейные уравнения и системы с постоянными зффициентами . 3 24. Устойчивость 3 25. Фазовая плоскость 3 26. Дифференцирование решения по параметру и начальным условиям 327. Уравнения с частными производными первого рядка ...

133 ко- 137 142 144 по 148 по- 149 ПРЕДИСЛОВИЕ Сборник содержит задачи по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений в соответствии с программой, принятой на механико-математическом факультете МГУ. Часть задач взята из известных задачников Н. М. Гюнтера и Р. О. Кузьмина, Г. Н. Бермана, М. Л. Краснова и Г. И. Макаренко, учебников В.

В. Степанова, Г. Филипса; большинство задач составлено заново. Более трудные задачи отмечены звездочкой. В начале каждого параграфа изложены основные методы, необходимые для решения задач этого параграфа, или даны ссылки на учебники. В ряде случаев приведены подробные решения типовых задач. В это издание включено «Добавление» (Я 21-27), содержащее задачи, предлагавшиесн на письменных экзаменах и коллоквиумах на механико-математическом факультете МГУ в 1992 — 1996 годах. Задачи составлены преподавателями МГУ Ю.

С. Ильяшенко, В. А. Кондратьевым, В. М. Миллионщиковым, Н. Х. Розовым, И. Н. Сергеевым, А. Ф. Филипповым. В книге приняты условные обозначения учебников: [1) В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. [2[ И.Г. Петровский. Лекции ао теории обыкновенных дифференциальных уравнений, [3[ Л.

С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. [4[ Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. [5[ Б. П. Демидович. Лекции по математической теории устойчивости. ~ 1. ИЗОКЛИНЬЬ СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЬГХ ~р(х, у, См ...,. С ) = О, надо продифференцировать равенство (1) я раз, считая у функцией от х, а затем из полученных уравнений и уравнения (1) исключить произвольные постоянные См ..., С„.

П р и м е р. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых С~х -~- (у — Ст) = О. (2) Так как уравнение семейства содержит два параметра, дифференцируем его два раза, считая у = у(х): Сг + 2(у — Ст)у = О, 2у' + 2(у — Ст)уо = О. (3) (4) 1. Решение уравнения у' = Г" (х, у), проходящее через точку (х, у), должно иметь в этой точке производную у', равную Г(х, у), т.е. оно должно касаться примой, наклоненной под углом а = агстй Г(х, у) к оси Ох. Геометрическое место точек плоскости (х., у), в которых наклон касательных к решениям уравнении у' = = 1(х, у) один и тот же, называется изоклиной. Следовательно, уравнение изоклины имеет вид 1(х, у) = л, где а — постоянная.

Чтобы приближенно построить решении уравнения у' Г(х, у), можно начертить достаточное число изоклин, а затем провести решения, т.е. кривые, которые в точках пересечения с изоклинами 1(х, у) = ам Г(х, у) = ам ... имеют касательные с угловыми коэффициентами соответственно ам йх, ... Пример применения этого метода см. [1], гл. 1, 3 1, и. 3, или [4), гл. 1, 3 1. 2. Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства г 1. Изонлинн Исключаем Сы Из уравнения (3) имеем Сг = — 2(й — Сг)у'; под- ставлян это в (2), получим — 2хр (у — Сг) -~- (у — Сг) = О.

(5) Исключаем Сг. Из уравнения (4) имеем р — Сг = — у'~/у"; подставляя это в (5), получим после упрощений дифференциальное уравнение у'+ 2хун = О. 3. Линии, пересекающие все кривые данного семейства под одним и тем же углом сг, называются изогональными траекториями.

Углы 11 и о наклона траектории и кривой к оси Ох свнзаны соотношением )г = о х сг. Пусть и'=й* р) дифференциальное уравнение данного семейства кривых, а у =Ях,й) (6) (7) — уравнение семейства изогональных траекторий. Тогда 18 о = ((х, й), 18Д = 7г(х, й). Следовательно, если уравнение (6) написано и угол;о известен, то легко найти 18)3 и затем написать дифференциальное уравнение траекторий (7). Если уравнение данного семейства кривых написано в виде И(х, у, у ) = О, (8) В задачах 1 — 14 с помощью изоклнн начертить (приближенно) решения данных уравнений.

1. у' = у — хг. 2. 2(у + д') = х + 3. 4. (р~ + 1)у' = р — х. 6. хр' = 2у. г г 3. д' = -' тк- — 1. г 5. уу' + х = О. то при составлении уравнении изогональных траекторий можно обойтись без разрешения уравнения (8) относительно у'. В этом случае в (8) надо заменить у' на 18о = 18(И т гг), где Сдд = У'— угловой коэффициент касательной к траектории. Если же уравнение семейства кривых дано в виде 1с(х, й, С) = = О, то сначала нужно составить дифференциальное уравнение этого семейства и только после этого дифференциальное уравнение траекторий.

З 1. Изоклииы 8 у~+у (х дз)з 10. у(у'+ х) = 1. 7. ху' + у = О. 9. д' = т — е". Л-зл д: з-зз ' 13. хз + уз у' — 1 12. д' = ф-. 14. (хз + дз)д' = 4х. 15. Написать уравнение геометрического места точек (х, у), являющихся точками максимума или минимума решений уравнении у' = Г(х, у). Как отличить точки максимума от точек минимума7 16. Написать уравнение геометрического места точек перегиба графиков решений уравнений а) у'=у — хз; в) хи + узу' = 1; б) у'=х — е"; г) у' = 1(х, у). В задачах 17 29 составить дифференциальные уравнения данных семейств линий.

еСз 18. д = (х — С)з. 19. у=си' 21. хз + Сдз = 2у. 20. у = з1п(х + С). дз + Сх = хз 23. у = С(х — С) . 25. у = ахз + без. 24. Су = зшСх. 26. (х — а)'+ бу' =-1. д = ахз + 5хз л сх 27. 1пу = ах+ Ьу. 29. х = ауз+ Ьу+ с. 30. Составить дифференциальное уравнение окружностей радиуса 1, центры которых лежат на прямой д = 2х. 31. Составить дифференциальное уравнение парабол с осью, параллельной Оу, и касакзщихся одновременно прямых у = 0 и д = х.

32. Составить дифференциальное уравнение окружностей, касающихся одновременно прямых у = 0 и х = О и расположенных в первой и третьей четвертях, 33. Составить дифференциальное уравнение всех парабол с осью, параллельной Оу, и проходящих через начало координат.

б 1. Йзокликы 34. Составить дифференциальное уравнение всех окружностей, касающихся оси абсцисс. 35. ах+ г = Ь уз+ хг Ьг 36. хг+ уз = дг — 2Ьг, у = ах+ Ь. В задачах 37 — 50 составить дифференциальные уравнениях траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом у: 3Т. у = Схл р = 90'. 38. уз=хфС, нз=90'. 39. хг = у + Сх, р = 90'. 40 г г г 41.

у=йх, 42. Зхг+ уз = С, 43. уг = 2рх, ~р = 45'. р=60. у = 30 . ~р = 60'. 44. т = а + соа д, ~р = 90'. 45. г' = а сонг д, р = 90'. 46. т = аз1пд, ф = 45'. 4Т. у = х1пх -~- Сх, ~р = агсга2. 48. дг + уг = 2ах, ~р = 45'. 49. хг + Сг = 2Су, р = 90'. 50.