chapter6 (Л.Н. Фадеева - Задачи по теории вероятностей с решениями (PDF))
Описание файла
Файл "chapter6" внутри архива находится в папке "Л.Н. Фадеева - Задачи по теории вероятностей с решениями (PDF)". PDF-файл из архива "Л.Н. Фадеева - Задачи по теории вероятностей с решениями (PDF)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Глава 6. Непрерывные случайные величины.§ 1. Плотность и функция распределения непрерывной случайнойвеличиныМножество значений непрерывной случайной величины несчетно иобычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный.Случайная величина (),заданная в вероятностном пространстве{,S,P}, называется непрерывной (абсолютно непрерывной) , если существуетнеотрицательная функция такая, что при любых х функцию распределенияF(x) можно представить в виде интегралаxF ( x ) P ( x ) p (t )dt .Функция p (x ) называется функциейплотности распределениявероятностей.Из определения вытекают свойства функции плотности распределенияp (x ) :1.
Плотность распределения неотрицательна: p ( x ) 0 .2. Интеграл по всей числовой прямой от плотности распределениявероятностей равен единице: p ( x )dx 1.3. В точках непрерывности плотность распределения равна производнойфункции распределения: p ( x) F ( x ) .4. Плотность распределения определяет закон распределения случайнойвеличины, т.к. определяет вероятность попадания случайной величины наинтервал [a, b) :bP [a, b) Pa b F (b) F (a ) p (t )dt .a5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина приметконкретное значение a равна нулю: P( a ) 0 . Поэтому справедливыследующие равенства:Pa b Pa b Pa b Pa b F (b) F (a ) .График функции плотности распределения называется кривойраспределения, и площадь, ограниченная кривой распределения и осьюабсцисс, равна единице.
Тогда геометрически значение функции распределенияF(x) в точке х0 есть площадь, ограниченная кривой распределения и осьюабсцисс и лежащая левее точки х0.Рис.6.1.1Задача 1. Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид:x [0,2] 0,p ( x ) 2Cx , x [0,2]Определить константу C, построить функцию распределения F(x) и вычислитьвероятность P 1 1.Решение. Константа C находится из условия p ( x)dx 1.
Имеем:122x3 2 p ( x)dx Cx dx C 3008C, откуда C=3/8.3Чтобы построить функцию распределения F(x), отметим, что интервал[0,2] делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части:(,0),[0,2], (2, ). Рассмотрим каждый из этих интервалов. В первом случае(когда x<0) вероятность события {<x} вычисляется так:xF ( x) P( x ) x p (t )dt 0dt 0,так как плотность на полуоси (,0) равна нулю. Во втором случаеF ( x) x0 p (t )dt p (t )dt p (t )dt 0 xx03 2x3tdt.8 08Наконец, в последнем случае, когда x>2,F ( x) x0 p (t )dt p (t )dt p (t )dt p (t )dt 0 x20223 2t dt 0 1 0 1,8 0таккак плотность p (x) обращается в нуль на полуоси (2, ) . Итак, полученафункция распределенияx00,3 xF ( x) , 0 x 28x21,ВероятностьP 1 1вычислимпоформулеPa b F (b) F (a ) . Таким образом, P 1 1 F (1) F (1) 1 / 8 0.§ 2.
Числовые характеристики непрерывной случайной величиныМатематическое ожидание для непрерывно распределенных случайныхвеличин определяется по формуле M x p ( x)dx.При этом интеграл,стоящий справа, должен абсолютно сходиться. Пусть имеет плотность р(х) и(х) - некоторая функция. Математическое ожидание величины () можновычислить по формулеM ( ) ( x ) p ( x ) dx ,если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится.2Дисперсия может быть вычислена по формуле D ( x M )2p( x )dx , атакже, как и в дискретном случае, по формуле D M 2 (M ) 2 , гдеM 2 x2p ( x)dx .Все свойства математического ожидания и дисперсии, приведенные вглаве 5 для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывныхслучайных величин.Задача 2.
Для случайной величины из задачи 1 вычислить математическоеожидание и дисперсию.Решение.02233 x43M x p ( x)dx x 0dx x x 2dx x 0dx .808 4 0 22Далее,223 2 23 x512M x p ( x )dx x x dx , и значит,808 5 0 522D M 2 (M )2 12 3 0,9.5 2§ 3. Примеры непрерывных случайных величинРавномерное распределение. Непрерывная случайная величина имеетравномерное распределение на отрезке [a,b], если плотность распределенияр(x) сохраняет постоянное значение на этом промежутке: 1,x [ a, b]p ( x) b a0,x [a, b].График плотности равномерного распределения см. на рис.
.Рис.6.2. Функция распределения и плотность распределения. равномерногозаконаФункция распределения F(x) равномерно распределенной случайной величиныравна3x a,0, x aF(x)= ,a x b,b ax b.1,Математическое ожидание и дисперсия М (b a ) 2ab; D .212Показательное (экспоненециальное) распределение.
Непрерывнаяслучайная величина , принимающая неотрицательные значения, имеетпоказательное распределение с параметром >0, если плотность распределениявероятностей случайной величины равнаe x ,x 0,р(x)= x 0.0,Рис. 6.3. Функция распределения и плотность распределения показательногозакона.Функция распределения показательного распределения имеет вид1 å õ ,x 0,F(x)= x 0,0,11а математическое ожидание и дисперсия равны М= , D= 2 .Нормальное распределение (распределение Гаусса). Непрерывнаяслучайная величина называется распределенной по нормальному закону спараметрами a и 2 , если ее плотность распределения равна( xa) 212ð ( x) e 2 . 22Через N (a , ) обозначается множество всех случайных величин,распределенных по нормальному закону с параметрами параметрами a и 2 .Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна1F ( x) 2xe(t a ) 22 2dt .Рис.
6.4. Функция распределения и плотность распределения нормальногозакона4Параметры нормального распределения суть математическое ожиданиеM a и дисперсия D 2 .В частном случае, когда a 0 и 2 1 нормальное распределениеназывается стандартным, и класс таких распределений обозначается N (0,1) .В этом случае плотность стандартного распределения равнаx21 2ð ( x) e ,2а функция распределенияxt21F ( x) e 2 dt2 Такой интеграл не вычислим аналитически (не берется в «квадратурах»), ипотому для функции F (x) составлены таблицы. Функция F (x) связана свведенной в главе 4 функцией Лапласаõt21 ( x) e 2 dt ,2 01следующим соотношением F ( x ) 2 ( x ) . В случае же произвольныхзначений параметров a и 2 функция распределения F (x) случайнойвеличины N (a, 2 ) связана с функцией Лапласа с помощью соотношения:1хаF ( x ) .2 Поэтому вероятность попадания нормально распределенной случайнойвеличины N (a, 2 ) на интервал (c1 , c2 ) можно вычислять по формулеc àc àPc1 c2 2 1. Неотрицательная случайная величина называется логарифмическинормально распределенной, если ее логарифм =ln подчинен нормальномузакону.
Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормально222распределенной случайной величины равны М= ае и D= a 2 e (e 1) .Задача 3. Пусть задана случайная величина N (1,4) . Вычислить вероятностьP0 3.Решение. Здесь a 1 и 2 . Согласно указанной выше формуле 3 1 0 1P0 3 (1) (0,5) (1) (0,5) 0,34 0,19 0,53. 2 2 Распределение Лапласа задается функциейf(x)= -xe,2-х.(двусторонняя показательная плотность).5Функция плотности распределения симметрична относительно нуля иМ=Хmed=Xmod=0 и асимметрия -=0. Дисперсия в два раза большедисперсии случайной величины, распределенной по показательному законуD= =2и эксцесс равен =3.2Рис.6.5.
Функция плотности распределения Лапласа.Случайная величина распределена по закону Вейбулла, если она имеетфункцию плотности распределения, равнуюx 1e x ,f ( x) 0,x 0,x 0.Функция распределения в этом случае определяется следующимвыражением :1 e x ,F ( x ) 0,x 0,x 0.Распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многихтехнических устройств.
В задачах данного профиля важной характеристикойявляется интенсивность отказа (коэффициент смертности) (t) исследуемыхэлементов возраста t, определяемый соотношением (t)=f (t )1 F (t ). Если =1, тораспределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, аесли =2 - в так называемое распределение Рэлея.Математическое ожидание распределения Вейбулла:2дисперсия - D 0 [ Г (1 - М 1Г (1 1) и21) Г 2 (1 )] , где Г(а) -функция Эйлера. .В различных задачах прикладной статистики часто встречаются такназываемые«усеченные»распределения.Например,налоговыеорганыинтересуются распределением доходов тех лиц, годовой доход которых6превосходит некоторый порог с0, установленный законами о налогообложении.Этираспределенияоказываютсяприближенносовпадающимисраспределением Парето. Распределение Парето задается функциямиF(x)=P(<x)=1–(с0 ) ;хf ( x ) c0 1( ) ,c0 xгде 0, а хс0.
Основные числовые характеристики этого распределениясуществуют не всегда, а лишь при соблюдении определенных требований кзначению параметра : математическое ожидание - М=дисперсия - D=с 0 1при 1,с02существует при 2;( 1) 2 ( 2)§ 4. Функции от случайных величинПусть задана плотность р ( x ) случайной величины и монотоннаядифференцируемая функция y (x) . Тогда плотность распределенияслучайной величины ( ) равнар ( y ) р ( 1 ( y ))d 1 ( y ).dyЗдесь 1 ( y ) – функция, обратная к функции y (x) .Задача 4. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [0,2].
Найтиплотность случайной величины 1 .Решение. Из условия задачи следует, что0, x [0,2]p ( x) 1 2 , x [0,2]Далее, функция y x 1 является монотонной и дифференцируемойфункцией на отрезке [0,2] и имеет обратную функцию x 1 ( y ) y 2 1 ,производная которой равнаd 1 ( y ) 2 y. Следовательно,dy0,d 1 ( y )ð ( y ) ð ( ( y )) ð ( 1 ( y )) 2 | y | 2 | y | 1dy 2 ,1y 2 1 [ 0, 2]y 2 1 [ 0, 2].Значит,0,ð ( y ) y ,y [ 3 ,1]y [ 3 ,1]7§ 5.