chapter5 (Л.Н. Фадеева - Задачи по теории вероятностей с решениями (PDF))

Часть II. Случайные величины.Глава 5. Дискретные случайные величины§ 1. Случайная величина и ее закон распределения.Случайной величиной  называется любая действительная функция =(),, определенная на пространстве элементарных событий . Если множествозначений такой функции конечно или счетно, то такую случайную величинуназывают дискретной. В результате опыта случайная величина может принять тоили иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.Например.

При двукратном подбрасывании монеты возможны следующиеисходы:  1  РР ,  2  РГ ,  3  ГР ,  4  ГГ , т.е. пространство элементарныхсобытий имеет вид   1, 2 , 3 , 4 , причем каждый элементарный исход имеетвероятность ¼. Пусть () – число выпадений герба при двукратном бросаниимонеты, тогда (1)=0, (2)=1, (3)=1, (4)=2. Зная вероятности дляэлементарных исходов, можно вычислить вероятности для соответствующихзначений случайной величины :P(  0)  P( 1 )  1 / 4.P(  1)  P( 2, 3 )  1/ 4  1/ 4  1/ 2P(  2)  P( 4 )  1 / 4Полученные вероятности можно свести в таблицу(в первой строке перечисленызначения случайной величины, а второй – их вероятности):012P 1/4 ½ ¼Такая таблица уже не содержит информацию о том, на каком вероятностномпространстве определена случайная величина, в ней приведены лишь значенияслучайной величины (в первой строке) и их вероятности (во второй строке).Законом (или рядом) распределения дискретной случайной величины называется таблица, в которой перечислены все возможные значения x1,x2,…, xn этой случайной величины и соответствующие им вероятностиpi  P(  xi ) :x2 … xn x1P p1p2 … pnnЗдесьpi 1.

Если множество значений случайной величины счетно, то этаi 1таблица является бесконечной справа, а суммаpi 1.i 1Задача 1. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключиперебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить законраспределения для случайной величины  – числа перепробованных ключей.Решение.

Число перепробованных ключей может равняться 1, 2, 3. Еслииспытали только один ключ, это означает, что этот первый ключ сразу подошел к1двери, а вероятность такого события равна 1/3. Итак, P(  1)  1 / 3. Далее, еслиперепробованных ключей было 2, т.е. =2, это значит, что первый ключ неподошел, а второй – подошел. Вероятность этого события равна 2/3×1/2=1/3.

Тоесть, P(  2)  1 / 3. Аналогично вычисляется вероятность P(  3)  1 / 3. Врезультате получается следующий закон распределения:P11/321/331/3§ 2. Функция распределенияФункцией распределения случайной величины  называется функция F(x),определенная для любого действительного х и выражающая вероятность того,что случайная величина  примет значение, меньшее х:F(x)=P(<x).Функция распределения обладает следующими свойствами:1. Для любого x  R справедливо неравенство 0F(x)1.2.

Функция распределения является неубывающей функцией, то есть, еслиF(x1) ≤ F(x2), если х2<х1.3. Вероятность того, что случайная величина примет значениеизполуинтервала [x1,x2), равна разности значений функции распределения наконцах интервала, то есть P(x1x2)=F(x2)-F(x1).4. Если возможные значения случайной величины расположены на всейчисловой прямой, то справедливы следующие предельные соотношенияlim F ( x )  0,lim F ( x)  1.x  x 5.

Функция распределения непрерывна слева, то есть lim F(x)=F(a).x a  06. Справедливо равенство: P(x)=1-F(x).Задача 2. Построить функцию распределения F(x) для случайной величины  иззадачи 1.Решение. Случайная величина  имеет три значения 1, 2, 3, которые делят всючисловую ось на четыре интервала: (,1], (1,2], (2,3], (3,) . Если x≤1, тонеравенство <x невозможно (левее x нет значений случайной величины ) изначит, для такого x функция F(x)=0.Если 1<x≤2, то неравенство <x возможно только если =1, а вероятность такогособытия равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения F(x)=1/3.Если 2<x≤3, неравенство <x означает, что или =1, или =2, поэтому в этомслучае вероятность P(<x)=P(=1)+P(=2)=2/3, т.е.

F(x)=2/3.И, наконец, в случае x>3 неравенство <x выполняется для всех значенийслучайной величины , поэтому P(<x)=P(=1)+P(=2)+P(=3)==1, т.е. F(x)=1.Итак, мы получили следующую функцию:20,1 / 3,F ( x)  2 / 3,1,x 11 x  22 x3x3§ 3. Примеры дискретных случайных величинРаспределение Бернулли (или биномиальное распределение) определяется какзакон распределения случайной величины, равной числу успехов в n испытанияхБернулли. Эта случайная величина  может принять любое из значений 0, 1, 2, …,n, а их вероятности определяются формулой Бернулли: если p – вероятностьуспеха, q – вероятность неудачи, тоP (  m)  Pn (m)  Cnm p m q n  m ,m  0,1,..., n.Распределение Пуассона.

Случайная величина, распределенная по законуПуассона, может принять любое из значений 0, 1, 2, … (счетное множествозначений), а их вероятности задаются формулойm  P(  m) e , m  0,1,2,.... , 0.m!Геометрическое распределение имеет случайная величина , равная числуиспытаний Бернулли до первого «успеха» (включительно) с вероятностью«успеха» в одном испытании равном р. Такая случайная величина принимаетзначения =1, 2, 3,…, а их вероятности задаются формулой:P(  m)  pq m 1,m  0,1,2,..., 0  p  1, q  1  p.Гипергеометрическое распределение определяется, например, в задаче овыборке деталей. Пусть имеется N деталей, из которых M – стандартные.Делается выборка из n деталей.

Случайная величина  определяется как числостандартных деталей в такой выборке. Оно может равняться любому числу от 0до n, но, конечно, не больше, чем М, т.е. m=0,1,2,…,min(n,M). Вероятности этихзначений определяются гипергеометрической формулойCMm C Nn mM,m  0,1,2,..., min( n, M ).P(  m) C Nn§ 4. Дискретный случайный вектор.Пусть на одном и том же пространстве элементарных исходов  заданы двеслучайные величины  и , принимающие значения хi (i = 1, 2,...) и уj (j = 1, 2,...),соответственно. Упорядоченная пара (,) называется случайным вектором илидвумерной случайной величиной. Совместный закон распределения вероятностейдискретных величин  и  задается вероятностями pij одновременногоосуществления событий { = хi} и { = уj}:pij  P  xi ,  y j и представляется в виде таблицы3y1p11p12…p1mx1x2…xnПри этомpijy2p21p22…p2 m……………ympn1pn 2…pnm1.i, jВероятность события типа {(, )В} — «случайная точка (,) попадает взаданную область В» — вычисляется по формулеP(( , )  B )   P(  x i ,   y j ) ,( xi , y j )Bт.е.

суммирование идет по всем возможным парам (хi, yj) значений случайныхвеличин ,, для которых соответствующая точка (xi yj) входит в область В.Частным законом распределения случайной величины  называетсявероятность события { = хi}. Если задан совместный закон распределения, точастный закон распределения для  можно получить с помощью формулы:P  xi    P  xi ,  y j    pij .jjАналогично, частным законом распределения  называется вероятность события{ = yi}, которую также можно вычислить с помощью формулы:P  y j    P  xi ,  y j    pij .iiДискретные случайные величины ,  называются независимыми, если ихсовместный закон распределения представляется в виде произведения их частныхзаконов распределения:P  xi ,  y j   P  xi P  y j для всех значений хi и уj,то есть если независимы случайные события { = хi} и { = уj}.Задача 3.

Совместный закон распределения случайных величин  и  задан cпомощью таблицы121/163/16-11/163/1601/83/81Вычислить частные законы распределения составляющих величин  и ,определить, зависимы ли они? Вычислить вероятность P    2.Решение. Частное распределение для  получается суммированием вероятностейв строках:P  1  P  1,  1  P  1,  2  1 / 16  3 / 16  1 / 4 ;P  0  P  0,  1  P  0,  2  1 / 16  3 / 16  1 / 4 ;P  1  P  1,  1  P  1,  2  1 / 8  3 / 8  1 / 2 .4Аналогично получается частное распределение для :P  1  1 / 16  1 / 16  1 / 8  1 / 4 ;P  2  3 / 16  3 / 16  3 / 8  3 / 4 .Полученные распределения можно записать в тусоответствующих значений случайных величин:121/163/16-11/163/1601/83/811/43/4же таблицу напротив¼¼½Теперь ответим на вопрос о независимости случайных величин  и .