Е.С. Соболева, Г.М. Фатеева - Задачи и упражнения по уравнениям математической физики

Ф Реггомеидовано УМО по классическому уггиверситетскому ггбрааоваггггго и качестве учебного гныобии по уггавнеггиггм математической гриигпог для студегггов высших учебных ааведеггггй, обучагощихса по естественно-иаучиым сиециальностим МОСКВА ФИЗМЛЧЛИТ© 20'г2 П))к 517,95 1)1))к 22 161 6 С 55 ииучнии Фийяиотекз ввг у ИИИ$1$11 3761 6204 Π—. и( г. ц), и: — к')х, ц). 'г, ФИЗМАТ)!1)1;, ФМЕ фт 1 С. Г ВСГКОКГИК.).И кцкокк.

Лня 1; )ЦУ) Н)'йтй-9221-105гц2 Соболева Е.С. Фктескк Г,М. Зклкчн и уиркжкккизкн ко урккивнннм матемзтикеской физики. - Й ФИЗМЛТЛИТ, 2012 'к) с 1ЬВМ Нтк-б Я221-П)5Д 2 1)зеков~нее нздкпги сом'ржкт около 2)К) ккк к сикбгкенгикк ртмин,о, Л.м кклз к отнк ккнык зксзло ~к~ й, к)гкксккно )ккк:.

ккя, рекгнеикпккио цмО ек клкссккиыккк) яггкерсситетсмгнт ооп . кккгко в кккек гее ккегзгиго гюсоякк по урккнсги.кн кгзтечлткккеккгг)1 фг кк: ~ злк сгуле пик оы кнгк уиоиик ккколгкк)). сттккг мкся по егтскпееиои ккзккые с як тгкклгкккн як. с) ). кклнссификикдия язиинеиий и их хк)киктериятикн 1 . Урвяпеиие д-и де к г)си г дц дп к и~, г, )г) — —,, т 2)йз. и) —,— — ~ г.)Л, ц) --;, к „~(.г, ц. и, —,—. — ) -- 0 дкц '" ' д.гдц ' ' дцк "' 'дзг'дц.

оз'цк ~ 'г)0. (1 1) ~Н 1 ккз 1~ лгнт ппсрйоликескому гипс, если 1)н - а )! .'. О. .,ыркйолн ~ескок1у ~ииу, если Ог' ог)) ы — О, кллигынкескому кипу, если 1)г "и.), 'с с О, г)гкккиовюиос дифференциальное урзвне(ггке ~)ц '-' )ц г(зкц)~ -'- ) — 2Ь(х,ц) --'- к г(зк)г) .= 0 о! ' " ' ° ) г г ' ' ' г).г и,.

кзвзстся урзккением хзрзктернс гик лзк (1 1). Из 11.2) следует, ито цц ц+ кгР:пг. гЬ а 11)ктк -(.г, ц); — г н с (.г, ц) — г — неззвисимые первые иитегрзлл~ 12ни определгиот двз семействе кзрзктеристик. 1),,г2гкскрккгггггзнт )) > О. Оов сскгенствз вицествеикые. Невырожизк зкменк крггколпг т)гкписиис гт1исрйолг1кеского гипз к кснизии ~ясному визу ))кк ойг гцгк )г~с, г), ~г, 11А) иг, гд г ы(г, ~)) кг(.г.ц) с'1з, ц! и урзвиегинс ириюдк~тся ко второму кзяоиичегк<ому виду. г)з г ()зи г ~)ь ди Ф(гцд и.

— —,—,-) дмк д,)к ' ' ' дгг' ~'В 'с!г'' сл!(ЛсС И ы ди - — ссби х — 1)1, дп '' ди с)сс ди ди -; — (к)из .;- 1) -' д.с. д;, д.и до дзи дсс ди ди с) б, . до сЬ!з дг др й", дхдд дд дс'ди с1,1!) 4 2). Р .-.. 0 (зллюстическос ур шсиннс), Ха)сзктсрйсгссоссс ы ьсссзгссс-с ио-сопряйсснныс, и:сх, П) -- „-.(.г, Й).

Вспи ствсицай зсскссгнп Р(1* К) Ь'(СЗ(С) Йг(»З и) ' си(*Г. и1 11 бс 21' прйводит ъраькснис (1.1) к ксн!Ониьсскиму кид)ч с)зи, даи, сбс диз (1.7) ' сдсгсз д,)з 1' дс д,),1. 3). д =--. 0 (параболи покос ургишскнс), Имеем только о!шо гсмсй- СТВО ХЗРЗКТСРнстнк, тзк как уг(хп р) "' 1*(х, и). Л1Обзя ЙссисрОГКСтсцйзя ' замена,", = сс(сг,!С), д -:: 11(.с,р) (састо ссолзгавт г! -" .1, снс()11 11 — сд ' приводит уравцснис (1 1) к кзпоци жш ому юссзу: д" и, сдсс с Ссс ') (1.В) ' дтгт " " (Ь с)11~ ОтМСГИМ, спО ПРОИЗВОЛНЫС ПО СТЗРЫМ ПСРСМЕИИЫМ ИЬЦЫЛО1ГОГСК в Новых псрсмсинык по слслусоГЙЙМ формулам: ди до дг до дс) дх дб дх дл дх' дн ди дб ди сд) др дб др ссгс д!С' дти ссзсс Сд»')з дао дб дс! даи ссЬ)~З до ГСЗ' ди с)З1! дхз дсз удг~ дбдс! дт дх дггз 'ус);ссг дб сди дс) с)гз д' и д'и сс)0тз с)ин дб сЬ! д" и 'дгдя гбс сд» ди д"и дпс с)бз Удр.

' дб дсс др др ' сдс(т др г()ьс с)рс 'Ь; дрс' дзн дзсс дб дб дгн (д; дсс с)б дс)~ ГЬ'дя дссс дт ду дбдг)(дх сгсс др 121.) 2". Примсры. Опрсдслить тип уравнепия и привсстк смс к ьсссссйссс- ЧССКОМГ' ВИДУ" дти дзи :. дзи дк з) -,--:; . 2ьшхто — —. сьсь-.г —,—;,. ссмх-- .: 0; 1! 1О) дх' дз дп дии др сг"и з джесс о сссисс ди б) .г —,: —;, . 2и-"г. -;. ', 2х'т — з —. -,— -= О, х Г(01 дхз сбс 1?р дра Ыг до Эсо здн, дн (1,12) с)хл дгда ' ' дуз " сг)с КЛДН01НРЙКДЫЙЙ К(Л111ССНссь! и ЙХ КссссСУКТС:Гсйбтикс~ б 111 шс иия, а), Урасссссссис (! 10) отйоситсй к гигсрболнческому типу, ипи!с к!н х ! гои х - 1. Диффсренпизлькым уравнсиисм хзрзктс- рш"!Й1 сля нс о ЙВЛК11ся 101кйсннс сдсс уз . 11и л .1.

2 Йш х --". - созз.г —., О, дх сдг Йи иску З.С СЗСД"Ст, ЧТО --'- .= Й)и.г 31 1; к итоги имссм о .— с.оьх с.,с. -1 с с.игссигы слсдусонсуссз нсвыролкдснйую замену, с:-- р — гокх -..Г. гой,с - .сз сскобкан которой — —. 2, г)СГЙ 1!) !И1пх и 1 Й)их: — 1! д,.с,! с)ссс з , с)с о , ,'Й!11.г и 1) с-2 —,--;.- (а!и х . !1.с ссгг габт ' ' д.';дг) д- и з дн с)сс —;.

(Йш.г — !) . - — — ссмз:+ .,— Мк з, дс)с ' суб дсс сСзн ди, до до д,(-' д.:"У ' д,'()11 сус(з ' 1'11 и дзн,, д и, дзи, . — (кис х -' 1 1- —,—;-- (Инх.с 1 Й кюх -. !) + —,",; (Гбпх 1). дг ди дгз ' дс 101 сЬ)з ' И си а» Л;«- (110),; с')л дс) по позволит Йам рссиить урависйиа в явном вида.

дн . дг В самом дслс, обозна снм —; — -- и. Тоглз получим —; — „== О и, слсгки ссстс"льссси 1 кс зависит от,'. т.с. 1 --. Ь(д), гдс Ь(д) — произволысая ди пллдшш функция. А сак как —,—. — 11(11), то и!с„д) —.- ~ Ь(11) дс! '..

«1(б) --.-,"1(б) 1 (ср(), (1.13) ВО1ВОгнцзясь к старым псрсмсгснсым, пОлучим Обпсссс (ьснжнис исхОднОГО у)ссскнсисос. 11(х; 1,1 — гс(р — сон.г -,1 ) ь "з(р - мых -1 з). слс 11 и (з — пропзвольныс гсважды диффсренпирусмыс функции. зк и ."Ы)(Ф И1 Фи ди дзи тди 'д.г ' д. ОУ 'дуз г)х 6). Урааиеиис (1 11) есть ураанеиие зллнпти~1еского типа, тзк как: (д:-: - з" ' О. Днфференцнальным уравнением характеристик лсги него. служит урааиение ;н(у з, Й~ х( —.

~ + 2х" —,' -,2зы — О. .г(,гх ' ' и.г Отсела получаем ду —.г д ис или у -- — — ='. (-- д 4'. г(з 1 11огахжнм г — и е — х, г/ =.;, 3' 1(ри х У О преоб)гззоаснпм ~ииихрохс- 2 ' 2 ленное: (М 11) —:==- .хУО. д(.г, у) 1 О( В ноаых переменных (см (1.9)) урааиеиие ирнм~ т нид а дьи (дуи а). Уравнение (1,12) о тсосится к уравнениям иарзздолииескиго тниз, так как х) — О, и ему соотьезстаует следуаидее д114и)к'(ииии1алыюс, урааненне характеристик: ~.) ду хз из ., г(11 плк г гЬ Х ((и ' ' дх У(нтегрнруя его. колунам адно ссмсйстао характеристик у, ;,г- 1 Положим д .--- у 1 2.гт, у '- х, тогда д(х, 4 ,'х д(х у) ',1 О| Вырезна пргзнзаодиые, аходящне а урзакение, ь1ерез и(их~ехидные ио неаым переменным (см, (1.9)), подставив найденные аырзжениа и уравнена* (1.12), принудим <мо к следукипему каконикеекому аиду, да и ди дд 3'1 Задаии.

()И(тсдсхити тии Н Найтн ХараКтсрнетикн триыи Иий ,()ги д'и З1Ри ди 2. хз —., -. 2гу -,'— — - Зу -'-:; ' 9у —, . и .-- О, д,г ду '" гг|г " ду КЛМХ Игаихх1Ц1Н УРЛВНКИИИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 7 Уи, (~ и ° '1зи ди ди 14.,' . 2х и — ~ хл--х.1 "-; — -- -; — -:2и -О, д~ ду дут йх ду гьд«д"их ... д"и и и . ди Ф, иир х1'--:;.. тх~ —. :Ыи2х —,--- е ---.

-ь к(их —.—:- О, дг ду (1~«)х ~ги де ди ди ди Ы ду «)у дз' ди Ф'и . д" и, ди ди (1, и -:, ' Оиу —,; — 1 дг"' ",. з у; — ~ х;--: О. ,Ьг' " ди ду ди ' дг ди 1 и д и ди ди 7. ~ 1 ~ г'; -'--', гу (1-1 у") —, + х —, е у --: — 2и —. О. д~з ' ду дх * ди 1(ли~и одластк гипсрболн аости, иарздолииностн н зллнпти изости храми иий и ду и и дри ди ди диз ' дх ду з ди, ди,ди 1О.!,г' 1) — -г —, 2и у.,— -, (у — 1, '—;- .-: О.

' дз ' гдхс~~у ' ди и" и,, д и и" и ди 11, ---, 2х, - ( у —..', 1.;.1:= О, д.ду ' " ггуд 'ду' '" 1(унаестк к канани сескому аиду следукпзис уравнения. 12, 2 --х 1 3 —,— е -' —, -', 7 — 1 4 ---' — 2и::. О. суи . иуи ди, -ди, ди, ;Ы" дх дз ди' дх ди д~-* ди ду ' дух дх дгд дх ду г),,гг ду „тди г, г)и, ' ди 2уз,, дл иуГ зди ди ...ди 16.

11 Ь Хе)ь . —, -Ь --; 1 2Х(1 я.,Г'1- — = О. ем ду дг ~1 и 17. 4у' — ', 12.гу; — -;*- и 9хе — --, =- О. дг ду дуг и" и,, д" и,„д" и и:г' дх ду ду ал)1л'1и дх дх ду и:гг д«ц, .- д»««ада а до 27. хд» '-:; 2тад ' Ч .с' — -., — да -'- = О, х ~: О, «Зг дх д«Х д«Г" дх 11айти общее решение следую!пик уравнений. 28 ' О д«г ду Зз. ---. =. 6Х'Р, д 'и дгг 29.

—,--;- дх дд 30. -' — ". д«г дд 3!. —, «7««««'.»1» = 2 '.д'. Дт' дц -- —.- — — О. ду д.ц 34. —,, дд 35. — -.-, дх ди +,— = у. Рух Привести к каноническому виду и решить уравнения. д и дх«дх ду 12 — ", =:О. д««' 6 д'ц дд» дц ди 37. ---., - 5 а —,—.. д,т дх ду д«'" д«гид и, « 22 ' 1»" — '„+ !4««тт..— —,.— + 2»хь —, =-2'— —, 25-- —,—. «дц дц, ««ац, ««»62, х ди дх" дт«71Х дд " дч д «11» е дгц, д ц л «1»«« 23.

2цш-х — -„. — 5сйп2т —,-+ Зсоц х -'-;, = О, ' «2«Д ' " дтдл ' дда ,; дти, д"ц о; «)»«««7«« 24. дх —;:; + 2хц —,--- е 2х» —,, + у — .= О. и, дд ' .»це»1» а «7»««,, «тс««а«дци 25. кю'х —; — 2дюпх —. ! дь — -.; =-О.

дх д«.«: 1»д дц '« ийц сйи 26. х: —, + --;, =- О, .т > О. д»* ду' ди д«ц 27..г — ц+ — —, —.— О,,г -:. О, д;г' да' »ладил кдши .: Зч«»ти, «1««« . д' ц ««» " *»»'«Чд д«г .-«ц г ««ц, ди Ф«:«г .", у' — —,,' -. 2у -- - О. ,"!'«'«дд» ' «)«г .*«»ц «, дц,«дц 4!. «г -,:, 2хд .—,-- ц д' —,:.-- О.

д.г дд «уд «."ц «г*ц ц д 2 гоц, дцй и «" «'«х «!«««Чг«д.«' д«Г д ц «х««ц «Хц . «уц 43,:О ' - .':, — 5ху — + 2д —,, + Зх --. ;««дх «»у «7«»» дх и«» ' ' дхдд ' дд» гд дц а2д —,'- =. О. дд дц е2д; —:: !. дпг г . «Г ц д и '«д ц . Ои 4». '1,«х —:; . охд —, 1 йцц -- .т «3.«г «2у —,.— =- 2,«- д". дгт ' д«'ду " «!««У «Уг " «)д 1!«.1««ханш к полярным координатам, решить уравиш«ия. «ди ди 46. «.

-' — — д —" =- О. дд ' дх ди ди, а««. 47. г; — Е д —,.-: .=. 21хь 1 д 1- дг ' ду ;ди, ди, а«»ц 4й, .« -' —; + 2хд —,,' 1- д —,-т = О и»" «1«гда «»»г , дгц дц ., дцц, дц дц5 49. «д — '„-- 2»д--+ т- —;, — ).г —,'.— т д —,) =' О. дхг ' ду дд» дт ' «дд~ ф 2. Задича аьоши !'. Задачей Коп»»« для уравнения 17Я««,, дцц «гец «ди д««» ц1«,д! --;, «251ху) -- —,.— » с)т ««) —,—, ч- )) х,д и.

—,—. — ~: — О, дхе * *' ' Игдир '' ддт '' ' д.«' дд ц- !»ач «д '-О, 12.!) «ш ывается задача определения его решения, удовлетворявшего дополня.«"лцным условиям на некото!»ой кр»»п«»й !'' с)и ~ и)х, и)1, — ««««)х. д)! .. -',— ) .-. ««~)х.д)) „ .«Г '" «" Щ«. " 1 1'» 2) «;ш 1 — некасательное к !' направление, например нормаль и. Если кривая ! не является характеристик«»й (см. )! 2)), то н некоторой ЗИ!Дс11! ЗАыяд ьОши )'т) Зч 51 (' ч) ~ (2 )О) най !ем - -т)1::т,"!»1 1')!9);', -ь уз(е!1,ь„= !з- 2(я- )-Ь(' 6(9-2х) — !4(9.