В.И. Богачёв - Курс лекций по действительному анализу

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций подействительному анализуЛектор — Владимир Игоревич БогачёвII курс, 4 семестр, отделение математикиМосква 2008От наборщикаЭтот документ представляет собой записки лекций, читавшихся весной 2004-го года, и основывается наконспекте (отсканированные лекции в формате djvu), доступном на сайте http://dmvn.mexmat.net с 2005-гогода. По сравнению с упомянутым конспектом в данном варианте исправлены неточности и дописаны некоторыедоказательства.Весь текст прочитан и одобрен лектором.О замечаниях, предложениях, а также найденных неточностях или опечатках можете писать на адресsuselr@yandex.ru.Данный документ набран с использованием стилевого пакета dmvn.Роман АвдеевОт (в)редакцииБыли внесены косметические правки в исходные тексты.

Сообщения об ошибках и опечатках мы с радостьюпередадим автору для исправления! В заключение добавим, что djvu-версия скорее всего будет убрана с сайтав пользу этой, более качественной версии.Последняя компиляция: 4 мая 2012 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.1Оглавление1.2.3.Введение3Основные понятия теории меры2.1. Алгебры и σ-алгебры множеств . . . .

. . . . . . . . . . . . .2.1.1. Борелевская σ-алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Измеримые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Меры и их продолжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1. Меры . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.2. Компактные классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.3. Эквивалентные условия счётной аддитивности меры2.4. Внешняя мера и продолжение мер . . . . . . . . . . . . . . .2.4.1. Внешняя мера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .2.4.2. Основная теорема о продолжении меры . . . . . . . .2.4.3. Применения основной теоремы . . . . . . . . . . . . .2.4.4. Свойства меры Лебега в Rn . . . . . . . . . . . . . . .2.4.5. Описание измеримых множеств . . . . . . . . . . . . .2.5. Измеримые функции на пространствах с мерами . . . . . . .2.5.1. Сходимость по мере . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .2.5.2. Теорема Рисса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.3. Теорема Егорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.4. Теорема Лузина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.5. Связь µ-измеримых функций с A -измеримыми . . .....................................................................................................................................................................................................................................3344556777891011111112121313Интеграл Лебега3.1. Определение Интеграла Лебега . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1. Простые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.2. Свойства интеграла на простых функциях . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.3. Общее определение интеграла Лебега . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .3.2. Свойства интеграла Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега и неравенство Чебышёва3.2.2. Критерий интегрируемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.3.2.3. Предельный переход в интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.4. Связь интегралов Лебега и Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Пространства L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .3.3.1. Пространство L 1 (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.2. Неравенства Гёльдера и Минковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.3. Пространство L p (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .3.3.4. Связь разных видов сходимости измеримых функций . . . . . . . . . . .3.3.5. О пространстве L∞ (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.6. Пространство L2 (µ) и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Теорема Радона–Никодима . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5. Теорема Фубини и смежные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5.1. Произведение мер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5.2. Замечание о бесконечных мерах . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .3.5.3. Теорема Фубини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.6. О замене переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.7. Свёртки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .3.8. Связь интеграла и производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.8.1. Функции ограниченной вариации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.8.2. Абсолютно непрерывные функции и формула Ньютона–Лейбница . .

.3.8.3. Несколько заключительных замечаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................141414141516161717181919202020212121232324242526262627282..............................................................................................................................................................................................1.

ВведениеСия теория создана А. Лебегом. Суть: новая теория меры и интеграла, призванная расширить как классизмеримых множеств, так и класс интегрируемых функций.Исходными объектами теории меры являются элементарные множества: на прямой R1 это конечные объединения промежутков вида [α, β], (α, β), (α, β], [α, β); на плоскости R2 и в Rn — произведения таковых. Наэлементарных множествах естественным образом задаётся мера: в R1 это длина промежутка, в R2 и в Rn —соответственно площадь и n-мерный объём. Далее нужно продолжить меру на более широкий класс множествтак, чтобы выполнялось свойство аддитивности меры: если A ∩ B = ∅, то мера множества A ∪ B равняетсясумме мер множеств A и B.

Значительных результатов в этом направлении достиг Жордан.Определение. Фигура E измерима по Жордану, если для любого ε > 0 существуют элементарные множества A, B, такие что A ⊂ E ⊂ B и λ(B\A) < ε. Здесь λ — мера.У этого определения есть один недостаток: класс измеримых по Жордану множеств не замкнут относительно счётного объединения. В частности, множество Q ∩ [0, 1] неизмеримо по Жордану. Поэтому потребовалосьуточнить понятие измеримости множества, и это было сделано Лебегом.

Для каждого множества E ⊂ [0, 1]n∞∞PSопределяется его внешняя мера: λ∗ (E) = inf{λ(Ek ) : Ek — элементарные и E ⊂Ek }. Эта функция неk=1k=1является мерой на классе всех подмножеств куба [0, 1]n , так как она, вообще говоря, неаддитивна. Тогда сужаякласс рассматриваемых множеств (с внешней мерой), мы приходим к понятию измеримости по Лебегу.Определение. Множество E измеримо по Лебегу, если для любого ε > 0 найдётся элементарное множествоEε , такое что λ∗ (E△Eε ) < ε, где E△Eε = (E ∪ Eε )\(E ∩ Eε ).Класс измеримых по Лебегу множеств значительно шире класса множеств, измеримых по Жордану, и замкнут относительно счётного объединения.Используя созданную им теорию меры, Лебег придумал совершенно новую конструкцию интеграла, отличную от конструкции Римана. Оказывается, что все интегрируемые по Риману функции интегрируемы и поЛебегу, но при этом класс интегрируемых по Лебегу функций намного шире.Но это было введение.

Теперь мы приступаем к систематическому изложению теории, содержащей анонсированные и многие другие результаты.2. Основные понятия теории меры2.1. Алгебры и σ-алгебры множествОпределение. Пусть X — основное пространство. Класс A подмножеств множества X называется алгеброй,если ∅, X ∈ A и A замкнуто относительно конечных теоретико-множественных операций. Алгебра называетсяσ-алгеброй, если допускаются счётные операции.Замечание.

В этом определении можно требовать замкнутости класса A относительно некоторых операций, через которые можно выразить все остальные. Например, в определении σ-алгебрыTдостаточноS требовать замкнутости относительно разности и счётных объединений. В самом деле, имеем X\( An ) = (X\An ),nnSTX\( An ) = (X\An ).nnПримеры:1◦ . A = {∅, X} — тривиальная σ-алгебра.2◦ .

A = 2X — дискретная σ-алгебра (алгебра всех подмножеств множества X).3◦ . Элементарные множества на отрезке [0, 1] образуют алгебру, но не σ-алгебру.4◦ . A = {Af⊂ N : либо Afконечно, либо N\Afконечно} — тоже алгебра, но не σ-алгебра.5◦ . A = {E ⊂ X : либо |E| 6 ℵ0 ; либо |(X\E)| 6 ℵ0 } является σ-алгеброй (ℵ0 — мощность множества∞Sнатуральных чисел). Докажем это. Если E ∈ A , то X\E ∈ A по определению. А если En ∈ A , тоEn ∈ A .В самом деле, если для всех En выполнено неравенство |En | 6 ℵ0 , то |имеем |X\En | 6 ℵ0 , то получаем |X\∞S∞Sn=1En | 6 ℵ0 ; а если для одного из Enn=1En | 6 ℵ0 .n=1Теорема 2.1. Если F — семейство подмножеств множества X, то существует наименьшая σ-алгебра,содержащая F .