Ульянов (новое издание)

ОглавлениеЛекция 11.1 Предисловие . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Конечные вероятностные пространстваные исходы. Классическая вероятность1.2.1 Задача о разделе ставки . . . .1.2.2 Примеры устойчивости частот .1.2.3 Петербургский парадокс . . . .. . . . . . . . . . .и равновероятные. . . . . . . .

. . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .элементар. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .445567Лекция 22.1 Аксиоматика А. Н. Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1 Вероятностное пространство, σ-алгебра событий, вероятность .2.1.2 Примеры вероятностных пространств . . . . . . . . . . .

. . . .2.1.3 Свойства вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8881113Лекция 33.1 Урновые схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1 Выборка с возвращением, биномиальное распределение . . . .3.1.2 Выборка без возвращения, гипергеометрическое распределение3.2 Условная вероятность . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Независимость множества событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.1 Пример Бернштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4 Формула полной вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .3.5 Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.6 Дискретные случайные величины, индикаторы событий . . . . . . . .3.7 Схема Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2121212223262627282931Лекция 44.1 Независимость дискретных случайных величин, теорема о независимости двух функций от непересекающихся совокупностей независимыхдискретных случайных величин .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2 Математическое ожидание дискретной случайной величины . . . . . .4.2.1 Свойства математического ожидания . . . . . . . . . . . . . . .4.2.2 Пример случайной величины, не имеющей мат. ожидания . . .4.2.3 Мат. ожидание биномиально распределённой случайной величины . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3 Моменты и центральные моменты k-го порядка . . . . . . . . . . . . .4.4 Дисперсия и её свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1 Дисперсия биномиально распределённой случайной величины4.4.2 Среднеквадратичное отклонение . . . . . . . . . . . . . . . . . .3313335353839394041424.5.....4243444546Лекция 55.1 Закон больших чисел Чебышева . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2 Теорема Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3 Пуассоновское распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4 Теорема Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .5.4.1 Оценка близости биномиальных вероятностей к пуассоновским5.5 Задача о конкуренции (завязка) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.6 Локальная предельная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа . . .5.7 Задача о конкуренции (развязка) . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .474747484850505152Лекция 66.1 Задача о различении двух гипотез о доле шаров в урне . . . . . . . .6.1.1 Ошибки первого и второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.1.2 Оценка для числа наблюдений, необходимых для различениягипотез с заданной точностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2 Определение вероятностного пространства в общем случае .

. . . . .6.3 Сигма-алгебра, порождённая классом множеств . . . . . . . . . . . . .6.4 Борелевская сигма-алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.5 Случайные величины как измеримые отображения . . . . . . . . . . .535354Лекция 77.1 Функция распределения случайной величины . . . . . . . . . . .

. . .7.1.1 Свойства функции распределения . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2 Распределение случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3 Теорема о единственности продолжения вероятности с алгебры на порождённую ею σ-алгебру . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .7.4 Взаимно однозначное соответствие между функциями распределенияи вероятностными распределениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62626264Лекция 88.1 Неравенство и УЗБЧ Колмогорова . . . . . . . . . . .8.1.1 Неравенство Колмогорова . . . . . . . . . . . .8.1.2 Усиленный закон больших чисел Колмогорова8.1.3 Применение УЗБЧ: метод Монте-Карло . . .

.8.2 Сходимость в среднем . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.3 Производящие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.3.1 Свойства производящих функций . . . . . . . ........6969697071727373Лекция 99.1 Характеристические функции . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .9.1.1 Свойства характеристических функций . . . . . . . . . . . . . .9.2 Формула обращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .767678804.64.7Ковариация и коэффициент корреляции . .4.5.1 Свойства коэффициента корреляцииНеравенство А. А. Маркова . . .

. . . . . .Неравенство Чебышева . . . . . . . . . . . .4.7.1 Правило трёх сигм . . . . . . . . . . .2..............................................................................................................................55565858606565Лекция 1010.1 Слабая cходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.2 Предельные теоремыдля характеристических функций . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .8484Лекция 1111.1 Метод характеристических функций в доказательстве предельных теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.1.1 Центральная предельная теорема . . . . . . .

. . . . . . . . . .91Лекция 1212.1 Условное математическое ожидание, условноераспределение случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.1.1 Условное математическое ожидание, условное распределение вслучае дискретных случайных величин . . . . . . . . . . . . . .12.1.2 Условное математическое ожидание, условное распределение вслучае абсолютно непрерывных случайных величин . . . .

. .12.2 Свойства условного математического ожидания . . . . . . . . . . . . .96Лекция 1313.1 Введение в математическую статистику . . . .13.2 Эмпирическая функция распределения . . . . .13.3 Эмпирические или выборочные моменты . . . .13.4 Порядковые статистики и вариационные ряды .13.5 Статистические оценки . . . . . . . . . . . . . .13.5.1 Свойства несмещенных оценок . . . .

. .13.5.2 Свойства cостоятельных оценок . . . . .Лекция 1414.1 Оптимальные оценки . . . . . .14.2 Неравенство Рао - Крамера . . .14.2.1 Функция правдоподобия14.3 Метод моментов . . . . . . . . .14.4 Достаточные статистики . . . ..............................................................................................................................................................................................87919396969799.......100100101102104105106106.....107107108108111112Лекция 1511515.1 Достаточные и полные статистики . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 11515.2 Оценки максимального правдоподобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Лекция 1611916.1 Доверительные интервалы и трактовка коэффициента доверия . . . . 119Лекция 1717.1 Методы построения интервальных оценок . . . . . . .

. . . . .17.1.1 Метод, основанный на точечных оценках . . . . . . . . .17.1.2 Метод, основанный на центральной статистике . . . . .17.1.3 Метод, основанный на центральной предельной теореме17.2 Проверка статистических гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . .17.2.1 Общая постановка проверки статистических гипотез . .17.2.2 Типы гипотез .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3............................121121121122124126126126Лекция 1813018.1 Лемма Неймана-Пирсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13018.2 Равномерно наиболее мощные критерии . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Лекция 1919.1 Состоятельные критерии . . . . . .

. . . . .19.2 Критерий χ2 Пирсона . . . . . . . . . . . . .19.2.1 Критерий χ2 Пирсона . . . . . . . . .19.2.2 Асимптотика для критерия Пирсона19.3 Состоятельность критерия Пирсона . . . . .19.4 Обобщение классического критерия χ2 . . .............Лекция 2020.1 Критерий согласия Пирсона χ 2 для абсолютноделений . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .20.2 Критерий независимости χ 2 . . . . . . . . . . .20.3 Критерий независимости χ 2 . . . . . . . . . . .20.4 Проверка гипотез и доверительный интервал .20.5 Несмещенные критерии . . . . . . . . . . . . . .4..............................................................................134134134134135136137138непрерывных. . . . . . . ..