В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике

В.Е. ГМУРМАНРуководствок решению задачпо теориивероятностейи математическойстатистжеИздание девятое, стереотипноеРекомендованоМинистерством образованияРоссийской Федерациив качестве учебного пособиядля студентов вузовМосква«Высшая школа» 2 0 0 4У Д К 519.2Б Б К 22.171Г 55I S B N 5-06-004212-Х© ФГУП «Издательство «Высшая школа», 2004Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства«Высшая пшола», и его репродуцирование (воспроизведение) любым способомбез согласия издательства запрещается.ОГЛАВЛЕНИЕЧАСТЬ ПЕРВАЯСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯГлава первая.

<§ 1. Классическое и статистическое определения вероятности...§ 2. Геометрические вероятностиГлава вторая. Осионпие теоремы§§§§1. Теорема сложения и умножения вероятностей2. Вероятность появления хотя бы одного события3. Формула полной вероятности4. Формула БейесаГлава третья. Попорешю •саытшшй§ 1. Формула Бернулли§ 2. Локальная и интегральная теоремы Лапласа§ 3. Отклонение относительной частоты от постоянной верояггности в независимых испытаниях§ 4. Наивероятнейшее число появлений события в независимыхиспытаниях§ 5.

Производящая функция8121818293132373739434650ЧАСТЬ ВТОРАЯСЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫГлава четвертая. Дшсшретие сяучаЛиые велрвош§ Ь Закон распределения вероетноетей дискретной случайнойвеличины. Законы биномиальный и Пуассона52523§ 2. Простейший поток событий§ 3. Числовые хараюеристики дискретных случайных величин.§ 4. Теоретические моментыГлава пятая. Запш большвх чисел§ 1. Неравенство Чебышева§ 2. Теорема Чебышева606379828285Глава шестая.

Фувкщш н nJurraocni распределеии вероятностей слу§ 1. Функция распределения вероятностей случайной величины§ 2. Плотность распределения вероятностей непрерывной слу­чайной величины§ 3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин§ 4. Равномерное распределение§ 5. Нормальное распределение§ 6. Показательное распределение и его числовые характеристики§ 7. Функция надежностиГлава седьмая. Распределение функции одного и даух слдгчайных apiyмеигов§ 1. Функция одного случайного аргумента§ 2. Функция двух случайных аргументовГлава восьмая. Система двух случайных величин§ 1.

Закон распределения двумерной случайной величины§ 2. Условные законы распределения вероятностей составля­ющих дис1фетной двумерной случайной величины§ 3. Отыскание плотностей и условных законов распределениясоставляющих непрерывной двумерной случайной величины....§ 4. Числовые характеристики непрерывной системы двух слу­чайных величин879194106109114119121121132137137142144146ЧАСТЬ ТРЕТЬЯЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИГлава девятая. Выборочный метод§ 1. Статистическое распределение выборки§ 2. Эмпирическая функция распределения§ 3. Полигон и гистограммаГлава десятая.

Спгпкппескне оценки нарвиетрои расиределення.....§ 1. Точечные оценки4151151152152157157§ 2. Метод моментов§ 3. Метод наибольшего правдоподобия§ 4. Интервальные оценкиГлава одиннадцатая. Методы расчета сводных характеристик выборки§ 1. Метод произведений вычисления выборочных средней идисперсии§ 2. Метод сумм вычисления выборочньпс средней и дисперсии§ 3. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределенияГлава двенадцатая. Элементы теории корреляции%\.

Линейная корреляция§ 2. Криволинейная корреляция§ 3. Ранговая корреляция163169174181181184186190190196201Глава тринадцатая. Статисгаческая проверка спггастических гапотез 206§ 1. Основные сведения§ 2. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных сово­купностей§ 3. Сравнение исправленной выборочной дисперсии сгипотетической генеральной дисперсией нормальной совокуп­ности§ 4. Сравнение двух средних генеральных совокупностей,дисперсии которых известны (большие независимые выборки).§ 5.

Сравнение двух средних нормальных генеральных совокуп­ностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малыенезависимые выборки)§ 6. Сравнение выборочной средней с гипотетической генераль­ной средней нормальной совокупности§ 7. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокуп­ностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки)§ 8. Сравнение наблюдаемой относительной частоты сгипотетической вероятностью появления события§ 9. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральныхсовокупностей по выборкам различного объема.

Критерий Бартлетта§ 10. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральныхсовокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий Кочрена§11. Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений§ 12. Проверка гипотезы о значимости выборочногокоэффициента корреляции§ 13. Проверка гипотезы о значимости выборочногокоэффициента ранговой корреляции Спирмена206207210213215218226229231234237239244§ 14.

Проверка гипотезы о значимости выборочного коэф­фициента ранговой корреляции Кецдалла§ 15. Проверка гипотезы об однородности двух выборок по]фитерию Вилкоксона§ 16. Проверка гипотезы о нормальном распределении генераль­ной совокупности по критерию Пирсона§ 17. Графическая проверка гипотезы о нормальном распреде­лении генеральной совокупности. Метод спрямленных диаграмм§ 18. Проверка гипотезы о показательном распределении гене­ральной совокупности§ 19.

Проверка гипотезы о распределении генеральной совокуп­ности по биномиальному закону§ 20. Проверка гипотезы о равномерном распределении генераль­ной совокупности§ 21. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокуп­ности по закону ПуассонаГлава четырнадцатая. Одрюфиториый дкперсвошшй ашшв§ 1.

Одинаковое число испытаний на всех уровнях§ 2. Неодинаковое число испытаний на различных уровнях24624725125 9268272275279283283289ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯМОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНГлава пятнадцатая. Моделаромшю (разыгрышипе) сяучшЛшиквелпш методом Мовте-Карло§ 1. Разыгрывание дискретной случайной величины§ 2. Разыгрывание полной группы событий§ 3. Разыгрывание непрерывной случайной величины§ 4. Приближенное разыгрывание нормальной случайнойвеличины§ 5. Разыгрывание двумерной случайной величины§ 6.

Оценка надежности простейших систем методом МонтеКарло§ 7. Расчет систем массового обслуживания с отказами методомМонге-Карло§ 8. Вычисление определенных икгегралов методом Мон­те-Карло294294295297302303307311317ЧАСТЬ ПЯТАЯСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИГлава шестнадцатая. Корреляцрошиш теорш сяучшЁяых футщЛ ••••§ 1. Основные понятия. Характеристики случайных функций...6330330§ 2. Характеристики суммы случайных функций§ 3. Характеристики производной от случайной функции§ 4.

Характеристики интеграла от случайной функцииГлава семнадцатая. Стацкоиярные случайные функции§ 1. Характеристики стационарной случайной функции§ 2. Стационарно связанные случайные функции§ 3. Корреляционная функция производной от стационарнойслучайной функции§ 4. Корреляционная фушощя интеграла от стационарной слу>чайной функции§ 5. Взаимная корреляционная функция дифференцируемойстационарной случайной функции и ее производных§ 6.

Спектральная плотность стационарной случайной функции§ 7. Преобразование стационарной случайной функциистационарной линейной динамической системойОтветыПриложения337339342347347351352355357360369373387Часть перваяСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯГлава перваяОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ§ 1. Классическое и статистическоеопределение вероятностиПри классическом определении вероятность события опреле^-хпется равенствомР(А)^т/п.где Л1—число элементарных исходов испытания, благоприятствующихпоявлению события А; п—общее число возможных элементарныхисходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы обра­зуют полную группу и равновозможны.Относительная частота события А определяется равенствомWiA)^m/n,где т—число испытаний, в которых событие А наступило; п —общеечисло произведенных испытаний.При статистическом определении в качестве вероятности событияпринимают его относительную частоту.1.

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, чтосумма очков на выпавших гранях—четная, причем на срани хотя(кд одирй из костей появится шестерка.Р е ш е н и е . На выпавшей грани «первой)^ игральной косги мо*жет появиться одно очко, два очка, . . . , шесть очков. Аналогич­ные шес1ъ элементарных исходов возможны при бросании «второй»кости. Каждый из исходов бросания «первой» кости может сочетаться с каждым из исходов бросания «второй».

Таким образом, общеечисло возможных элементарных исходов испытания равно 6-6'=^-36.Эти исходы образуют полную группу и в силу симметрии костейравновозможны.Благоприятствующими интересующему нас событию (хотя бы на од­ной грани появится шестерка, сумма выпавших очков — четная) явля­ются следующие пять исходов (первым записано число очков, выпав­ших на «первой» кости, вторым—число очков, выпавших на «второй»кости; далее найдена сумма очков):1) 6, 2; 64-2 = 8, 2) 6, 4; 6 + 4-= 10. 3) 6, 6; 6-f6=rl2, 4) 2.

6:2 + 6-«8. 5) 4, 6; 4 + 6 = 1 0 .Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благопри­ятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исхо­дов: Я = 5/36.2. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартнаяя 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестнокакая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика детальоказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна:а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.Р е ш е н и е , а) Извлеченная стандартная деталь, очевидно, немогла быть утеряна; могла быть потеряна любая из остальных 30детглей (21-Ь10 — 1 = 3 0 ) , причем среди них было 20 стандартных(21—1=20).

Вероятность того, что была потеряна стандартная де­таль, Р = 20/30 =.2/3.б) Среди 30 деталей, каждая из которых могла быть утеряна, бы­ло 10 нестандартных. Вероятность того, что потеряна нестандартнаядеталь, Р == 10/30-^ 1/3.3. Задумано двузначное число. Найти вероятностьтого, что задуманным числом окажется: а) случайно на­званное двузначное число; б) случайно названное двузнач­ное число, цифры которого различны.4.

Указать ошибку «решения» задачи: брошены двеигральные кости; найти вероятность того, что сумлш вы­павших очков равна 3 (событие А).«Р е ш е н и е>. Возможны два исхода испытания: сумма выпавшихочков равна 3, сумма выпавших очков не равна 3. Отбытию Л 6.iaroприятствует один исход; общее число исходов равно двум. Следова­тельно, искомая вероятность Р(>4)~1/2.Ошибка этого «решения» состоит в том, что рассматриваемые ис­ходы не являются равновозможными.П р а в и л ! ь н о е р е ш е н и е .