2 (Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.))
Описание файла
PDF-файл из архива "Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "кузнецов (высшая математика)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
tigtu.ruСкачано с http://antigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-2Условие задачиНаписать разложение векторапо векторамРешениеимеет вид:Получаем:аносИли в виде системы:anИскомое разложение вектора:СкачКо второй строке прибавим первую умноженную наКо второй строке прибавим третью умноженную на::tigtu.ruanаносИскомое разложение:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 2-2Условие задачии, построенные по векторамачКоллинеарны ли векторыи?РешениеСкВекторы коллинеарны если существует такое число такое, чтоколлинеарны если их координаты пропорциональны.Находим:Получаем:.
Т.е. векторыи- не коллинеарны.tigtu.ruЗначит векторыЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-2Условие задачиНайти косинус угла между векторамииРешениеи:между векторамии:аносНаходим косинус углаanНайдем.ачТ.е. косинус угла:Ски следовательно уголЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 4-2Условие задачиВычислить площадь параллелограмма, построенного на векторахи.tigtu.ruРешениеПлощадь параллелограмма, построенного на векторахпроизведения:и, численно равна модулю их векторногоan, используя его свойства векторного произведения:ВычисляеманосВычисляем площадь:Т.е.
площадь параллелограмма, построенного на векторахиравна.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-2Условие задачи,иачКомпланарны ли векторы?РешениеДля того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельныхСкплоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведениенулю.было равно,иtigtu.ru, то векторыТак каккомпланарны.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-2Условие задачиРешениепроведем векторы:аносИз вершиныи его высоту, опущенную изanВычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахвершинына грань.В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем:СкачВычислим смешанное произведение:Получаем:Так какtigtu.ruСогласно геометрическому смыслу векторного произведения:anВычислим векторное произведение:Получаем:Объем тетраэдра:Высота:аносТогда:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 7-2Условие задачидо плоскости, проходящей через три точки.СкачНайти расстояние от точкиРешениеНаходим уравнение плоскости, проходящей через три точки:от точкиНаходим:tigtu.ruдо плоскостианосРасстояниеanПроведем преобразования::Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-2Условие задачиперпендикулярно вектору.ачНаписать уравнение плоскости, проходящей через точкуСкРешениеНайдем вектор:Так как векторперпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве векторанормали.
Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-2Условие задачиНайти угол между плоскостями:Решениемежду плоскостями определяется формулой:аносУголanДвугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормальныевекторы заданных плоскостей:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 10-2ачУсловие задачи, равноудаленной от точекСкНайти координаты точкиРешениеНайдем расстояниеи:и.Таким образом, тоtigtu.ruТак как по условию задачи.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-2Условие задачиanПусть - коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, что точкапринадлежит образу плоскости ?РешениеаносПри преобразовании подобия с центром в начале координат плоскостьи коэффициентомпереходит в плоскость.
Находим образ плоскостиПодставим координаты точки, то точка:принадлежит образу плоскостиачТак какв уравнениеЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 12-2Условие задачиСкНаписать канонические уравнения прямой.РешениеКанонические уравнения прямой:.:tigtu.ru,где- координаты какой-либо точки прямой, а- ее направляющийвектор.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий векторортогонален нормальным векторам обеих плоскостей.
Нормальные вектора плоскостей::anНайдем направляющий вектор. ПустьСкачаносНайдем какую-либо точку прямойСледовательно, точкапринадлежит прямой.Получаем канонические уравнения прямой:, тогдаtigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 13-2Условие задачиНайти точку пересечения прямой и плоскости.РешениеаносanЗапишем параметрические уравнения прямой.Подставляем в уравнение плоскости:ачНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:СкПолучаем:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 14-2Условие задачиНайти точкусимметричную точкеотносительно прямой.tigtu.ruРешениеНаходим уравнение плоскости, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через точку.
Так плоскость перпендикулярна заданной прямой, то в качестве ее вектора нормали можно взятьнаправляющий вектор прямой:anТогда уравнение искомой плоскости:аносНайдем точкупересечения прямой и плоскости.Запишем параметрические уравнения прямой.Подставляем в уравнение плоскости:СкачНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:Получаем:Так какявляется серединой отрезка, тоаносачСкtigtu.ruanПолучаем:.