Электронные лекции

×àñòü I. Òåîðèÿ ãðóïïÎñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìûðóïïû è ïîäãðóïïûÎïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî ñ àññîöèàòèâíîé áèíàðíîé îïåðàöèåé íàçûâàåòñÿ ïîëóãðóïïîé. Ïîëóãðóïïà ñ íåéòðàëüíûì ýëåìåíòîì íàçûâàåòñÿ ìîíîèäîì. Ìîíîèä, â êîòîðîì êàæäûé ýëåìåíò îáðàòèì, íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé.Îïðåäåëåíèå. Ïîäãðóïïîé â ãðóïïå G íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâî H G, êîòîðîå ñàìî ïî ñåáå ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé.Ïóñòü M1 ; : : : ; Ms G. Òîãäà M1 : : : Ms := x1 x2 : : : xs xi 2 Mi . Åñëè Mi êîíå÷íû, òî jM1 : : : Ms j 6 jM1 j : : : jMs j.Ïóñòü çàäàíà ãðóïïà (G; ) è ìíîæåñòâî (G0 ; ).Îïðåäåëåíèå. îìîìîðèçìîì ãðóïï G è G0 íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå f : G ! G0 : f (a b) = f (a) f (b) 8 a; b 2 G.Ýïèìîðèçìîì íàçûâàåòñÿ ñþðúåêòèâíûé ãîìîìîðèçì.Åñëè îòîáðàæåíèå f ñþðúåêòèâíî, òî G0 òîæå áóäåò ãðóïïîé.Ïðè ãîìîìîðèçìå åäèíèöà ïåðåõîäèò â åäèíèöó.

 ñàìîì äåëå, f (e) = f (e2 ) = f (e)f (e), ñëåäîâàòåëüíî, f (e) åäèíèöà ãðóïïû G0 .Îïðåäåëåíèå. Öèêëè÷åñêîé ïîäãðóïïîé ýëåìåíòà a 2 G íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîhai :=fan g ; n 2 Z.Îïðåäåëåíèå. Ïîðÿäêîì ýëåìåíòà a 2 G íàçûâàåòñÿ ÷èñëî O (a) := min k > 0 : ak = e .Ñìåæíûå êëàññûËåâûì ñìåæíûì êëàññîì ýëåìåíòà g ïî ïîäãðóïïå H íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî gH = gh h 2 H .Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ïðàâûé ñìåæíûé êëàññ.àññìîòðèì f : H ! aH , ãäå a 2 G èêñèðîâàí. f : h 7! ah. Ñþðúåêòèâíîñòü f î÷åâèäíà, äîêàæåì èíúåêòèâíîñòü.Äåéñòâèòåëüíî, f (h1 ) = f (h2 ) , ah1 = ah2 , h1 = h2 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî jH j = jaH j.Óòâåðæäåíèå. 1Æ Ñìåæíûå êëàññû ëèáî íå ïåðåñåêàþòñÿ, ëèáî ñîâïàäàþò.

2Æ aH = bH , a 1 b 2 H . 1Æ Ïóñòü aH \ bH 6= ? ) 9 h1 ; h2 2 H : ah1 =1 bh2 ) b = ah1 h2 1 . Çíà÷èò, bH = ah1 h2 1 H = aH , ò.ê. h1 h2 1 2 H .2Æ . Ïóñòü aH = bH . Òîãäà ah1 = bh2 ) a 1 b = h1 h2 2 H . Îáðàòíî:S a 1 b 2 H ) a 1 b = h ) bH = ahH = aH . Çíà÷èò, èìååòñÿ ðàçáèåíèå ãðóïïû G íà ñìåæíûå êëàññû: G = gi H .Îïðåäåëåíèå. Èíäåêñîì ïîäãðóïïû H íàçûâàåòñÿ ÷èñëî (G : H ) ñìåæíûõ êëàññîâ ïî ýòîé ïîäãðóïïå.Èç âñåãî âûøåñêàçàííîãî âûòåêàåòÒåîðåìà Ëàãðàíæà. Ïîðÿäîê ãðóïïû ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ïîðÿäêà ïîäãðóïïû íà å¼ èíäåêñ.Îïðåäåëåíèå.

Ïîäãðóïïà N G íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé, åñëè 8 g 2 G èìååì gN = Ng . Îáîçíà÷åíèå: N C G.Óòâåðæäåíèå. Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:1Æ Ïîäãðóïïà N íîðìàëüíà â G;2Æ 8 g 2 G èìååì gNg 1 = N ;3Æ 8 g 2 G èìååì gNg 1 N ;4Æ Ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ (g1 N )(g2 N ) ëåâûé ñìåæíûé êëàññ g1 g2 N ;5Æ Cóùåñòâóåò ãîìîìîðèçì f : G ! H , òàêîé, ÷òî N = Ker f .

Ýêâèâàëåíòíîñòü ïóíêòîâ 1Æ è 2Æ î÷åâèäíà. Äîêàæåì, ÷òî èç 3Æ ñëåäóåò 2Æ . àññìîòðèì îòîáðàæåíèå 'g (x) =gxg 1; x 2 N . Íàì äàíî, ÷òî Im ' N . Ïðîâåðèì èíúåêòèâíîñòü. Ïóñòü 'g (x1 ) = 'g (x2 ). Òîãäà gx1 g 1 = gx2 g 1 )x1 = x2 . Ïðîâåðèì ïóíêò 4Æ . Åñëè äëÿ 8 g1 ; g2 2 G èìååì ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ (g1 N )(g2 N ) = g1 g2 N , òî äëÿ 8 n1 ; n2 2 Níàéäåòñÿ ýëåìåíò n3 2 N : g1 n1 g2 n2 = g1 g2 n3 .

Ñîêðàòèì â ðàâåíñòâå íà g1 , äîìíîæèì ñïðàâà íà g2 1 è ñëåâà íà n1 1 .Ïîëó÷èì g2 n2 g2 1 = n1 1 n3 2 N , òî åñòü ïðè ñîïðÿæåíèè ñ ëþáûì ýëåìåíòîì ìû ñíîâà ïîïàäàåì â N , à çíà÷èò,âåðíî ñâîéñòâî 3Æ . Íàîáîðîò: åñëè N íîðìàëüíà, òî g1 Ng2 N = g1 (Ng2 )N = g1 (g2 N )N = g1 g2 N . Òåïåðü äîêàæåìýêâèâàëåíòíîñòü 1Æ è 5Æ .

Åñëè N = Ker f , òî f (gNg 1 ) = f (g )f (N )f (g 1 ) = f (g )ef (g 1 ) = f (gg 1 ) = f (e) = e 2Ker f = N , ò.å. âûïîëíÿåòñÿ 3Æ . Íàîáîðîò: âîçüì¼ì îòîáðàæåíèå f , ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå ýëåìåíòó èç G åãî ñìåæíûéêëàññ ïî ïîäãðóïïå N . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ãîìîìîðèçì, è åãî ÿäðî åñòü N . Îïðåäåëåíèå. Îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîõðàíÿþùåå îïåðàöèþ, íàçûâàåòñÿ êîíãðóýíöèåé.Îïðåäåëåíèå.ÔàêòîðãðóïïûÂâåä¼ì íà ìíîæåñòâå ñìåæíûõ êëàññîâ ïî ïîäãðóïïå H C G åñòåñòâåííóþ îïåðàöèþ fH gH = fgH . Òàêèì îáðàçîì,ìû ïîëó÷èëè àêòîðãðóïïó G=H .

(ñâîéñòâà ãðóïïû ëåãêî ïðîâåðèòü).Òåîðåìà î ãîìîìîðèçìå. Ïóñòü ' : G ! H ñþðúåêòèâíûé ãîìîìîðèçì (ò.å. Im ' = H ), Ker ' = K , à êàíîíè÷åñêèé ãîìîìîðèçì G ! G=K . Òîãäà G= Ker ' = Im ' è 9! èçîìîðèçì : G=K ! H , òàêîé, ÷òî = '. Îïðåäåëèì ñëåäóþùèì îáðàçîì: (gK ) := '(g). Îïåðàöèÿ ñîõðàíÿåòñÿ: (g1 K g2 K ) = (g1 g2 K ) = '(g1 g2 ) ='(g1 )'(g2 ) = (g1 K )(g2 K ). Çíà÷èò, ãîìîìîðèçì.

Äîêàæåì åãî èíúåêòèâíîñòü: (g1 K ) = (g2 K ) , '(g1 ) ='(g2 ) , e = '(g1 1 )'(g2 ) = '(g1 1 g2 ) , g1 1 g2 2 K , à òîãäà ïî çàìå÷àíèþ g1K = g2 K . Îòñþäà ñëåäóåò êîððåêòíîñòü: îíî íå çàâèñèò îò âûáîðà ïðåäñòàâèòåëÿ ñìåæíîãî êëàññà. Èòàê, èçîìîðèçì. Èç óñëîâèÿ = ' ñëåäóåòåäèíñòâåííîñòü , òàê êàê åñëè '(g ) = g 0 , à (g ) = [g ℄, òî ([g ℄) = ( (g )) = '(g ) = g 0 , ò.å. îïðåäåë¼í îäíîçíà÷íî. Ïðîèçâåäåíèÿ ïîäãðóïïK; L G.

Ìíîæåñòâî KL ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé , KL = LK .Äîêàæåì, ÷òî åñëè LK = KL, òî LK ïîäãðóïïà. Ïðîâåðèì, ÷òî l1 k1 l2 k2 2 LK . Ïîñêîëüêó íàøè ìíîæåñòâàñîâïàäàþò, òî l2 k2 ñîâïàäàåò ñ íåêîòîðûì ýëåìåíòîì k 0 l0 èç KL. Òîãäà l1 k1 l2 k2 = l1 k1 k 0 l0 . Àíàëîãè÷íî kl0 = l00 k 00 ,|{z}Óòâåðæäåíèå.k1îòêóäà l1 kl0= |{z}l1 l00 k00 2 LK .

Îáðàòíûé ýëåìåíò: (lk)1= l 1k12 KL = LK . Òàêèì îáðàçîì, LKlîáðàòíóþ ñòîðîíó: ïóñòü H = KL ïîäãðóïïà. Ìû èìååì òîæäåñòâî H 1 = H . Òîãäà (KL) 1LK , ÷òî è òðåáîâàëîñü. SSgL def=Lg = LK .Çàìå÷àíèå. àññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé: L C G. Òîãäà KL =g2K ïîäãðóïïà. Â= (ab) 1 = b 1 a1 =g2KÏóñòü åñòü ýïèìîðèçì ' : G ! F; Ker ' =: H . àññìîòðèì âñå ïîäãðóïïû â A G, ñîäåðæàùèå H (íàçîâ¼ì èõ âûäåëåííûìè). Ñîïîñòàâèì êàæäîé âûäåëåííîé ãðóïïå A å¼îáðàç U := '(A). Òîãäà òàêîå ñîïîñòàâëåíèå åñòü áèåêöèÿ ìåæäó âûäåëåííûìè ïîäãðóïïàìè è âñåìè ïîäãðóïïàìèâ F .

Ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùèå äðóã äðóãó ãðóïïû îäíîâðåìåííî íîðìàëüíû è àêòîðãðóïïû ïî íèì èçîìîðíû,ò.å. A C G; H A , U C F , è G=A = F=U . Äîêàæåì áèåêòèâíîñòü íàøåãî ñîîòâåòñòâèÿ. Ñþðúåêòèâíîñòü: ðàññìîòðèì ïîëíûé ïðîîáðàç A ëþáîé ïîäãðóïïû U F .

Åäèíèöà ãðóïïû F ëåæèò â U , à ïîëíûé ïðîîáðàç åäèíèöû è åñòü ÿäðî. Çíà÷èò, Ker ' A, ò.å. A âûäåëåííàÿ ïîäãðóïïà. Çíà÷èò, ëþáîé ïîäãðóïïå èç F ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðàÿ âûäåëåííàÿ ïîäãðóïïà â G. Òåïåðüäîêàæåì èíúåêòèâíîñòü: ïóñòü åñòü òàêèå âûäåëåííûå ïîäãðóïïû A è B , ÷òî '(A) = '(B ). Òîãäà 8 a 2 A íàéäåòñÿb 2 B : '(a) = '(b). Ñëåäîâàòåëüíî, '(b) 1 '(a) = e , '(b 1 a) = e, òî åñòü b 1 a 2 Ker '.

Íî Ker' B ) a = bh 2 B ,à çíà÷èò, A B . Àíàëîãè÷íî B A. Çíà÷èò, A = B è ïåðâîå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.Äîêàæåì îäíîâðåìåííóþ íîðìàëüíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîäãðóïï. Ïóñòü A âûäåëåííàÿ ïîäãðóïïà, è A C G.Òîãäà 8 g 2 G èìååì gAg 1 = A. Ïðèìåíèì ' ê ýòîìó ðàâåíñòâó: '(g )'(A)'(g 1 ) = '(A). Òàê êàê Im ' = F , òîåñëè g ïðîáåãàåò ïî âñåé G, òî '(g ) ïðîáåãàåò ïî âñåé F . Òîãäà ïîäãðóïïà '(A) íîðìàëüíà â F . Îñòàåòñÿ ïîêàçàòüèçîìîðíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ àêòîðãðóïï. Îáîçíà÷èì U := '(A) è ïîñòðîèì îòîáðàæåíèå : G ! F=U ïî ïðàâèëó(g) = '(g)U .

Îíî ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðèçìîì, òàê êàê (g1 g2 ) = '(g1 g2)U = '(g1 )'(g2 ) U = '(g1 )U '(g2 )U =(g1 )(g2 ). Îíî ñþðúåêòèâíî, ò.ê. åñëè g ïðîáåãàåò âñþ G, òî '(g)U ïðîáåãàåò âñþ àêòîðãðóïïó F=U . Òåïåðü íàéä¼ìåãî ÿäðî: g 2 Ker , (g ) = '(g )U = U , '(g ) 2 U = '(A) , g 2 A. Çíà÷èò, A = Ker , à òîãäà ïî òåîðåìå îãîìîìîðèçìå G=A = F=U , ÷òî è òðåáîâàëîñü. G=LÑëåäñòâèå. Ïóñòü L C K C G è L; K C G. Òîãäà K=L C G=L è K=L = G=K . àññìîòðì ýïèìîðèçì ' : G ! G=L è ïðèìåíèì ê íåìó óòâåðæäåíèå òåîðåìû. Î÷åâèäíî, ÷òî Ker ' = L.G=L Èìååì '(K ) = K=L, à çíà÷èò, K=L= G=K . Òåîðåìà îá èçîìîðèçìå 2. Ïóñòü K C G; H G; HK ïîäãðóïïà â G.

Òîãäà H \ K C H è HK=K = H=(H \ K ). Åñëè K C G, òî è ïîäàâíî K C HK , çíà÷èò, ìîæíî ðàññìîòðåòü àêòîðãðóïïó HK=K . Ïóñòü : G ! G=K0 êàíîíè÷åñêèé ýïèìîðèçì. àññìîòðèì îãðàíè÷åíèå íà H è îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç 0 . Òîãäà h 7 !hK . Òåïåðüðàññìîòðèì àêòîðãðóïïó HK=K . Îíà ñîñòîèò èç ñìåæíûõ êëàññîâ âèäà hkK , ò.å. èç ìíîæåñòâ hK . Çíà÷èò, Im 0 =HK=K .

Òîãäà Ker 0 ñîñòîèò èç òåõ h 2 H , äëÿ êîòîðûõ 0 (h) = eK = K . Íî hK = K , h 2 K , ñëåäîâàòåëüíî, èìååìh 2 H \ K , ò.å. Ker 0 = H \ K . Ïî òåîðåìå î ãîìîìîðèçìå HK=K = H=(H \ K ). Òåîðåìà î ñîîòâåòñòâèè (òåîðåìà îá èçîìîðèçìå 1).Àâòîìîðèçìû è êëàññû ñîïðÿæ¼ííîñòèÏðåîáðàçîâàíèÿ. Àâòîìîðèçìû. Ïðèìåðû.SM ãðóïïà áèåêòèâíûõ îòîáðàæåíèé ìíîæåñòâà M â ñåáÿ. Ïðèìåð: M âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî; SM = GL(V ).àññìîòðèì ãðóïïó äâèæåíèé ïëîñêîñòè, ñîõðàíÿþùèõ ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê.  íåé n âðàùåíèé íà óãîë 2kn èn îñåâûõ ñèììåòðèé. Ýòà ãðóïïà íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé äèýäðà è îáîçíà÷àåòñÿ Dn . Î÷åâèäíî, jDn j = 2n. Îáîçíà÷èìïîâîðîò íà óãîë 2n ÷åðåç a è îòðàæåíèå ÷åðåç b, òîãäà ëþáîå ïðåîáðàçîâàíèå èìååò âèä ak b.

Êîìïîçèöèÿ îòðàæåíèéåñòü ïîâîðîò, çíà÷èò, b0 b = ak ) b0 = ak b.Îïðåäåëåíèå. Èçîìîðèçì ãðóïïû íà ñåáÿ íàçûâàåòñÿ àâòîìîðèçìîì.Âñå àâòîìîðèçìû ãðóïïû G îáðàçóþò ãðóïïó, îáîçíà÷àåìóþ Aut G.Óòâåðæäåíèå. Aut hai1 = id; a 7! a 1 . Ïóñòü a ïîðîæäàþùèé ýëåìåíò, '(a) 6= a; a 1.Òîãäà '(a) = ak ; k 6= 1. Åñëè a ïîðîæàåò âñþ ãðóïïó, òî è'(a) òàêæå äîëæåí ïîðîæäàòü âñþ ãðóïïó. Íî h'(a)i = (ak )m m 2 Z 6= G, çíà÷èò, ' íå àâòîìîðèçì. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî Aut hain = '(a) = ak : (n; k ) = 1 .

Òàêèì îáðàçîì, àâòîìîðèçì öèêëè÷åñêîéãðóïïû ñîîòâåòñòâóåò îáðàòèìûì ýëåìåíòàì â Z=nZ) Aut hain = ãðóïïå îáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ â Z=nZ.Îïðåäåëåíèå. Âíóòðåííèì àâòîìîðèçìîì ãðóïïû G íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå âèäà 'g (x) = gxg 1 .Îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, ò. ê.

'g (x1 x2 ) = gx1 x2 g 1 = (gxg 1 )(gxg 1 ) = 'g (x1 )'g (x2 ), à áèåêòèâíîñòü î÷åâèäíà.ðóïïà âíóòðåííèõ àâòîìîðèçìîâ îáîçíà÷àåòñÿ Int G.Îïðåäåëåíèå. ðóïïà âíåøíèõ àâòîìîðèçìîâ åñòü àêòîðãðóïïà Out G := Aut G= Int G.Öåíòð ãðóïïûÖåíòðîì ãðóïïû G íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî Z (G) = fg : gx = xg 8 xg.àññìîòðèì îòîáðàæåíèå : G ! Int G, îïðåäåëåííîå ïî ïðàâèëó g 7! 'g . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ãîìîìîðèçì.Ïîñìîòðèì íà åãî ÿäðî: (g ) = id , 8 x gxg 1 = x , 8 x gx = xg , g 2 Z (G). Çíà÷èò, Ker = Z (G).Óòâåðæäåíèå. Åñëè ãðóïïà G íå àáåëåâà, òî G=Z (G) íå ìîæåò áûòü öèêëè÷åñêîé.

Äîïóñòèì, G=Z = haZ i. Òîãäà gZ = (aZ )k = ak Z . Âîçüì¼ì äâà ïðîèçâîëüíûõ ýëåìåíòà g1 = ak z1 è g2 = al z2 .Òîãäà èìååì g1 g2 = ak z1 al z2 = al z2 ak z1 = g2 g1 , òàê êàê z1 è z2 êîììóòèðóþò ñî âñåìè. Ïðîòèâîðå÷èå. Îïðåäåëåíèå.2Êëàññû ñîïðÿæåííûõ ýëåìåíòîâÊëàññîì ýëåìåíòîâ, ñîïðÿæåííûõ x 2 G, íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî xG := gxg 1 g 2 G .Ïîäãðóïïà H G ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì êëàññîâ ñîïðÿæåííîñòè (î÷åâèäíî).Ïðèìåð 1. Íàëè÷èå îäèíàêîâîé æîðäàíîâîé îðìû ó äâóõ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèåì èõ ñîïðÿæåííîñòè.Ïðèìåð 2.