21 (Ряды (Кузнецов Л.А.)), страница 2

1!а)!дсм А(у) = ~~~ „пу" . Заметим. что Фу) есть производная от функции В(у) = ~~ у", умноженная на у: В'(у) --~,пу" ' Л(у) =у В'(у). Сумма ряда В!У) есть сумма убывающей геометрической прогрессии и поэтому равна В(у) =- — ' —, при условии, что ! — у !у', -'! . Тогда производная от В(у) такова: у'11 — у) — у(! — У)' 1 — у + у 1 (1 ' У) (1 У.) (1 — У) ! у )огда Л(у)= У. В'(У) =У.— — —, = —,при !у!<1 и не (! — у) (1 — у) з существует нри' " у 1~> 1: Х (и+!)(х )" -Х и +Х (! — У) 1- у ) — '1(.1- у) 1 1 (1-у) (1-у) (! — х ) — ---; тп х'«! .

()гвез 7" !и -!)х " =:,,'(1- х'!' х.:. х зз Задача 1-! Разложиз ь функпиа1 в ряд Тейлора по степеням х: '1тооы реши Гь зту задачу, следуез воспользоваться табличными разложениями в степенные ряды. 11риведем функпи~о к виду. удобному для разложения: 5 5 1 6+к †' 6 х'-х 1--— 6 1 Воспользуемся табличным разложением для -- —: 1 — х О П Ряд, полученный нами. еще не является рядом Тейлора по степеням ап Следует воспользоваться табличными разложениями еше раз, Для втого преобразуем фуша~иго следующим образом: ,5"'5 '1х — х' 5 5 " 1 ':ь ~,' --- — ~ =- — +-: у — (х -х) '-.,6 '6 ...', 6 ! 6 6 .„,6" Воспользеемся тао ппппгьм разложением для 1а Ь) ': 5 5 '- 1, 5 5 '-- ' ~ — 1!' "Гх''.. (к — к! =--'--'-' ~' У' 6 6~6 ' 6 6 6" 5 5 "-1-!1""С,',х"'"' 6 6 ..., 6" 1!о:гогким !гг 1 ' и.

Г.к. 1;„пн!". 1О О < 1 < пг, 0 < и < пг. Из определения 1: следует, что й < и. '1'еперь найдем все возможные комбинации !' и и. *побы пг = к + и, где гп . произвольное фиксированное число. огне. Г.к. ~ < и, то 1<Ггтьг21. т.е. 15„„— ) пг/2). Найдем когффициент перед х'": так как пг раскладывается на сумму и и к несколькими способами, то (-1)" С„,,= ~~~ -- — С„„где суммирование ведется по всем допустимым парам (п,1с). Выразим индексы п и 1 через пп и = гп — 1 Итого: !и''л( 1)"' ~=о Гогла: 5: -5 ' " ...„,Сх" 5 5 ' „„, 5 ...'6' 6 6" 66„,,'6 , . '-~::- -" !- 1)" ., ",, 6-,„:~,, 6"" „Г -"( !)' !)гвсг: — — — - — — — '-У! ~~ -,;,—,!.'",,; 'х" 6-к- к С 6„,' ~Л 6' Задача 15 Е)ычпслит ь инте~ рал с п1чносгью до 0,001: 1 1 = ~;::.—....:-.—;.—..4х ! ъ'125 + х Разложим подынтегральное выраткенне в ряд '1'ейлора по х: — -с)х = ) — !1+ 2 ( — 1)" — П! — +ти О! — ~ х ,, )!25+ ' „5~ ...,, и!„,(,3 )' ' 125, Гак как интеграл суммы равен сумме интегралов, то возьмем приведенный выше интеграл почлеино.

Результат будет выглядеть следу(ощим образом: ) — ~1+,> ( — 1)"' — П! --+ш~ ! — ~ дх = .2 С д-) т 1 ') з~н! )! „5 5.„,"' ' и.',„,',,3 ) 125" (3п+1,) ~!я У нас получился знакопсрсмснный рял. Чтобы вычнслпп ньшнпой ~очностью. листа~очно найти стиму псяо ряда ло члена, по модул~о меньше1о. чем О.ОО!. Ганич оорагом. пам и~ткни найти )ч, удовлетворягоп(се слс, г. яп пену неравенс1в) .