18 (Ряды (Кузнецов Л.А.))

Задача 1 Найти сумму ряда Х;,-, 72 """ п — 9и+18 Произведем эквивалентные преобразования ряда: Так как и -9и+18 = (п-б)(п-3), то получаем. что исходный ряд мы можем переписать в следующем виде: 72 72 ( ! 1 " 'и" — 9п+18 ''"(и — 3)(и — 6) ~п — 3 и — 6 = — ( — ) ~ = "» „72 †. ( - -- — ! = 3 и — 6 и-3) "" 3 и — 6 и — 3' Х',( — — — ) =2 (Х', -Х;, 1 1 1 -.

1 "=" и — 6 и — 3 ""и — б "=~и — 3 с . ! Рассмотрим ряд э И,=Я „ Произведем замену ',и-6 = к,'. тогда суммирование будет 1 1 производиться от);= и-6= ,'п=8',-" 8 6=-2. а и — 6 1 .1"1одетавим полученные значения в ряд» '''"и — б ~ ~п-ь 6 4 ~к-.2 1, Задача 2 Исследовать ряд на сходимость; Х агс1а и н=~ 4 Обозначим а„= ягела'и и +3 ТаК КаК дпя ВСЕХ И ( )" > аГС1п И > О ти ЛЛя ВССХ И таКжс л .1 2 верно следующее утверждение: 1 л~ а„,. < —— и 8 л' „1 Докажем схолимость ряда — ~ —. Тогда из его Я в — 1 4 сходимости будет следовать сходимость исходного ряда.

так как гогда он будет ограничен сходящимся рядом сверху и нулем снизу 1все члены ряда неотрицательны). 1 Обозначим Ь„= —,. По признаку сравнения и 1 1говоряитему; что ряд аида 7 -"- сходится голько ири дс * и условии. что а строго больше 1. ~..е. а' 1 и расходится в противном случае. при а 1), ряд -"- ~" сходится. л ~ 4 и гак как выполняется хсловис сходимосз и: 4>1.

, Лозтому и исходный ряд ~ - |оже сходится. агс1а'и 2.„1 и +> Ответ: ряд ~ ' —.....—.— сходится. т агс!д и 2... ";з--.—. и ) Исследовать ряд на сходимостзс ~> 1и и' 1 Обозначим а„= 1п . = !и!! —, ) и'+1 , э+1 1 1 При и -+ос 1и!! — . ) =---;— и'+1 и'+1 Поэтому получаем, что сходимость исходного ряда эквивалентна сходимости следующего ряда 1 " 1 и+1 „~ и Докажем сходимость ряда — — ~ —. Тогда из его 1 — 1 пм 2 сходимости будет следовать сходимость исходного ряда, так как тогда он будет ограничен сходящимся рядом снизу и нулем сверху !все члены ряда отрицательны). 1 Обозначим Ь„=, По признаку сравнения !говорящему.

1 что ряд вида 3 , †, сходится только при условии. что а строго больше 1. т.е. а>! и расходится в противном случае. при а< 1) .ряд — — У вЂ” сходится, так как выполняется 2 ~~ам условие сходимости: 2>1. Поэтом) и исходный ряд ) 1и „тоже сходится. и +1 и' Ответ: рял,) !и —: -- сходится. и'+1 Задача 4 Исследовать ряд на сходимостгк и Ъ пя1п— 2п вл Обозначим а„= пз1п о~ 11ри п — + аз з1п( — ) = — . Тогда получаем, что сходимость зп зв лп исходного ряда зквивалентна сходимости ряда р й — ! 2~' лп Обозначим Ьь = — „ Используем признак Даламбера: ( л1п+1) 1пп~ — 'и 1= 1пп ' - = 11тп1 1 — =- <1 -',1, ! 2н '1'ак как 1ит признаку Даламбера рял сходится.

сели лля всех лосьвточно болыпих и выполнено неравенство — "" < ц < 1 а„ и, й,1засхолигся, когда — — — > 1, 'Го нсхо:шый рял схоиптся. а„ л Ответ: ) и в1п — сходится. зй сл Задача 5 Исследовать ряд на сходимость: 2 „н ~) и з1п"— п=1 П Воспользуемся признаком Коши: ~~~ а. - сходится. п.-1 Х а„- расходится. Если 1ип~~а„<1, то ряд Р~.~; Если !ипата„>1, то ряд 3 — ~У я 1ип~а„= 1ппс'и а1п — =0<1 2п н Ответ: ~ и з1п — — сходится. и-! 2п Таким образом, по признаку Коши исходный ряд является сход5пциыся.

Исследовать ряд на сходнмость: г „. -. 2пз~1п13п — 1) Воспользуемся предельным признаком сходимости. Если два ряда ~~» и„и ~ 6,, удовлетворяют условию: нм и„ 1пп —" = Е, где А конечное число, не равное О, то ряды ь„ ~а„и ~~» Ь„сходятся или расходятся одновременно. лы Рассмотрим следующий ряд: а 1пп —" = — —.- зто конечное число, не равное О :-" Ь„2 Значить ряды» а,, и ~ Ь„сходятся или расходятся одновременно. Для исследования сходимости второ~ о ряда воспользуемся интетральным признаком сходимости рядов.

Если некоторая функция ('(х) удовлетворяет условию /'(л) =)»„. то если )!'(х)дх сходится, то и ряд ~» Ь„ » »»=2 сходится, а если !Х(х)г)х расходится, то и ряд ~» Ь„ расходится. Рассмотрим следующую функцию: 6х) = 1 <». - »»» » »з, - »» Если ~~Г(хйх сходится. то и ряд ~~> Ь, сходится. если интеграл расходится. то и ряд ~» Ь,„расходится. дх 1 ~д1п(Зх — 1) 2 г — — — — -~ , (Зх — 1),„!1п(Зх — 1) 3, /)п(Зх -1) Интеграл расходится, значит и ряд ~» Ь, расходится. Из »-2 зтого следует. что исходный ряд тоже расхолится. 1 Ответ: ~ — - — расходится. ..

2п,!п(Зп — 1) Задача 7 Исследовать ряд на сходимость: Х( 1) 2п-1 Обозначим п-й член ряда. как а„: .„2п — 1 а„=(-1)" ----- Зп Найдем !ипата.!: й 2п — 1 2 !!пза„= !нп — = — ~ О Зп 3 Таким образом, не выполнено необходимое условие сходимостн ряда (!ппа, = О ). следовательно, ряд  — > расходится. .„2п — 1 Ответ: ряд ~ ( — 1')" — --- расходится. ь"-~ Зп Задача 8 Вычислить сумму ряда с точностью а: (2п71 и! Обозначим п-ный член ряда, как а,: 2п+1 а„= ( — 11" (2п ~ п!' Чтобы вычислить сумму ряда с задаьиюй точностью, следует принять во внимание то, что члены ряда с ростом и монотонно убывают.

Тогда нам требуется найти сумму ряда до 1~-го члена. где Х таково, что для любых п>Х выполняется неравенство !а„! ~с Найдем М: !а,(=1,5 >а !а, ! ~= 0.1042 > а !а.,! = 0,0016 > а 'а,: ;= 0.000009 > и => !ч = 4 Найдем сумму ряда до 4-го члена: „2п+1 Ответ: ,'~ ( — !)" — = — 1.397+ 0.001 (2п !1п! Найти область сходимостн ряда: Х.

- (-Н"' о=з и«' о ' и Функция 1п(х"+1) определена на множестве ', х . 1>О,'. Г!ронзведем замену переменных 1п(х' +1) = цз > О: С-= (-1)"' С- (-1)' ' -и 1)рн (1>1); (-1)ко (-1)" ' 1 а„= †,-- = — < — . следовательно. ряд ограничен п и' и' сверху сходяьцимся рялом. а значит, он тоже сходится. причем абсолютно.

Прн (!АЙ!0;Ц1: (-1)"'. (-1)" ' п'"' -"' и' Таам образом. исходный рял сходится при М(О;сс), Пер«еГздем обратно к х; з'=- 1п(х ~-1) => х = «,"с' — 1 ' з е ~О.-з) =: х е (- т;О) ~ ~ (О: со) 0 ~ вст: область сходи мости Х = х е ( — х;О) ~.~ (О::о) .

Обозначим ряда- Х. (-1)"" а„==--, . а искомую область сходимости ьч «-'-~ ~ Задача 10 Найти область сходимости ряда: и 2п+! ,— — (х+5)" "-' (и+ 1)! Приведем этот ряд к степенному. ~.е. к виду: ~~~ а„х, где а„. не зависит от х и является постоянной величиной. й' Положим а, = О,а, = — — — тогда исходный ряд п=и ' в-,ио (~ 1)~ можно переписать в виде: 1'х+5)-'"' = ~ „,а,. (к+5)' Используем формулу лля нахождения радиуса схолимости.

основанную иа применении признака Коши: 1 . ~~(1<+1» К = 1пп — = = 1пп и ~!',! = ас с Таким образом, интервал сходимости ряда будет выглядеть следуюшим образом: Ответ: область сходимости Х = !х о ( — ж.„х)) 12 Задача 11 Найти область сходимости ряда: ',~ — —,1!п х)" амэй з Приведем этот ряд к степенному, т.е. к виду; ~~ „, а,.х'. гле а,- не зависит от х и является постоянной величиной. 1 ! 1оложим а „= —;, тогда исходньш ряд можно 2" и переписать в ниле: ,— —,(!пх)" = ~~~,а„!!пх)" Теперь нам требуется найти 1пп )'; а„~ = !.: о В 2 !нп2мпз Восполь )уехтся следующим равснсз вом: 11пз'ъ'ай+ !э =1, глс а и !з постоянныс числа.

а-'-'О. 13 Таким образом. по теореме Коши-Адамара, область 1 схолимости Х = Ц 1и х ~< — = 2) . Е Решим неравенство, чтобы и явном виде записать область сходимости: — 2<!пх <2 Подставим все части этого неравенства в показатели экспонент. Тогда получим следующее неравенство: — сх се 1 1 Таким образом, Х = ( — „,е ) с' 1 Ответ: область сходимости Х = 1 —,,е ) .

е' Задача 12 Найти сумму ряда: — !1 — х )" ~ = У вЂ” (1-х')" " 'и "'в+1 Произведем замену переменной: х . 1 Найдем сумму ряда р — у Р~с т~ рг~ро зглв~~~ — у ~: Я=1 1 (Сумма убывакяцей геометрической прогрессии) Произведем обратные преобразования для нахождения 7-. ! суммщ ряда 7 — у" . то есть возьмем интеграл: .й 4~с).

1 — - — -ду = — 1и!! — у)+С !! — у) Чтобы найти константу С. найдем значение ряда в некоторой фиксированной точке у. возьмем у = О. токда: ~~> ' — О" = О = — )п(1 — О) + С =."~ С = О Вм ! Таким образом, сумма ряда ~, — - --. (1 — х" )" есть й=ь — (-- — —,)!п(1 — (1 — х')) при !! — х', с!=>;'х~ <1. и пе 1 — х сучцествует при всех остааьных х. — (- — — —;-)!п(х )+1,! х !<1 1,4 Ответ: ~~,— (1 — х )" = 1 — х ( — Л,!х~ >1 Найти сумму ряда: „(и+1)(х )" Преобразуем ряд: „(и+1)(х')"' =~~~,п(х )" Произведем замену переменных у = х .

Найдем А(у) = ~~, пу" . Заметим, что А(у) есть производная от функции В(у) = ~, у" . умноженная на у: В'(у) = ~~>,пу" ' А(у) = у. В'(у) Сумма ряда В(у) есть сумма убывающей геометрической прогрессии и позтому равна В(у) = —, при условии. что у 1 — у !у,< !. '!'огда производная от В(у) такова. у(1-у)-у(1-у) 1-у+у в(у)=- . 11 — у)' (1 — у)-' (! — у)' у Тогда А(у) '= у В(у) = у, = — "—,при !у,'=1 и не (1 — у) ' (1 — у) существует при,' у !> 1: (1 — у)" (1 — х') х* —...) х ~<1 Ответ: ~~>,(п+1)х'"" =1(! — х')' (м,! х />1 Задача 14 Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х; 1п(1+ 2х — 8х') Чтобы решить эту задачу, следует воспользоваться табличными разложениями в степенные ряды.

?1риведсм функцию к виду, удобному для разложения: 1п('1+ 2х — 8х ) =!п(1 — ( — 2х+ 8х')) Воспользуемся табличным разложением для 1п(1-у): (8х' — 2х)' (8х — 2х)" 1п(1 — ( — 2х+ 8х" )) = — ~(8х — 2х)+ — + „+ — ' — — +, 2 и ~-- (8х ' — 2х)" и Ряд, полученный нами, еще не является рялом Тейлора по степеням ' х. Следует воспользоваться табличными разложе!!йями еп!е раз. Для этого преобразуем функцию слслующим образом: ~'- (8х — 2х')" ' — ~ --= — = — ) — (8х — 2х)' п-! П ! и Восноз!ьзуех!ся табличным разложением лля (а'-Ь) ': и О-К вЂ” ~~~,— г8х — 2х)" =-~> 'У „,и пм с.-.О Иоложим гп = Х + и.