Интегралы 31 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-31Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:СкачТ.е. получаем:аносВоспользуемся формулой интегрирования по частям. Получаем::tiGTЗадача Кузнецов Интегралы 2-31Условие задачиВычислить определенный интеграл:anРешениеU.ruБез потери общности считаемосОбозначим:. Получаем:СкачанВоспользуемся формулой интегрирования по частямОбозначим:Воспользуемся формулой интегрирования по частям.

Получаем:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 3-31Условие задачиanВычислить неопределенный интеграл:осРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 4-31Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 5-31Условие задачиtiGTВычислить неопределенный интеграл:РешениеanПод интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:осПолучаем:СкачанРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:Прибавим ко второй строке первую умноженную на 2:U.rutiGTТогда получаем:Задача Кузнецов Интегралы 6-31Вычислить неопределенный интеграл:anУсловие задачиосРешениеСкачанРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:Прибавим к четвертому уравнению третье умноженное на 2:СкачаносU.ruanПрибавим к четвертому уравнению первое:tiGTПрибавим к четвертому уравнению второе умноженное на 4:Тогда:Задача Кузнецов Интегралы 7-31Условие задачиU.ruНайти неопределенный интеграл:РешениеосantiGTРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачанВычтем из третьего уравнения первое:U.ruУсловие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 8-31antiGTТогда:РешениеанВычислить определенный интеграл:СкачВоспользуемся универсальной подстановкой:Откуда:U.ruПодставим:осantiGTРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачанВычтем из третьего уравнения первое:U.ruосantiGTТогда:Задача Кузнецов Интегралы 9-31Условие задачиСкачанВычислить определенный интеграл:РешениеВоспользуемся подстановкой:Откуда:U.rutiGTПодставим:СкачаносanРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTПолучаем:Условие задачиосВычислить определенный интеграл:anЗадача Кузнецов Интегралы 10-31СкачанРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 11-31Условие задачиВычислить определенный интеграл:U.ruРешениеtiGTВведем подстановку:anТогдаПрианПолучаем:осПриСкачПод интегралом неправильная дробь.

Выделим целую часть:Получаем:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 12-31Условие задачиtiGTВычислить определенный интеграл:anРешениеосЗамена:СкачанПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 13-31Условие задачиНайти неопределенный интеграл:U.ruРешениеПреобразуем подынтегральное выражение:.tiGTДанный интеграл представляет собой дифференциальный бином.Поскольку— целое число, то делаем замену переменной:.anТогда:,.осПолучаем:— произвольная постоянная.ан, гдеЗадача Кузнецов Интегралы 14-31Условие задачиСкачВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:tiGTU.ruРешениеНаходим ординаты точек пересечения графиков функцийan:,СкачаносВычисляем площадь:Задача Кузнецов Интегралы 15-31Условие задачиВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.tiGTU.ruРешениеТак как функцииотрезок длинойосanНайдем точки пересечения:периодичны (с периодом.

Возьмем. Тогда:анили), то берем любойна отрезкеСкачИз рисунка видно, что область симметрична относительно осипо формуле:и ее площадь можно посчитатьU.rutiGTanЗадача Кузнецов Интегралы 16-31осУсловие задачиВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.СкачанРешениеU.ruи тогда получаем:Условие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 17-31antiGTГдеРешениеанВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.СкачДлина дуги кривой, заданной уравнениемНайдем производную данной функции:Тогда по вышеприведенной формуле получаем:, определяется формулойU.rutiGTanУсловие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 18-31РешениеанВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.СкачДлина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулойНайдем производные подля заданной кривой:tiGTU.ruТогда по приведенной выше формуле имеем:Задача Кузнецов Интегралы 19-31Условие задачиanВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.осРешениеанЗадача Кузнецов Интегралы 20-31Условие задачиСкачВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.РешениеВ сечении данной фигуры плоскостьюПлощадь эллипса с радиусамииПо определения радиуса эллипса:равнанаходится эллипс:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 21-31Условие задачиВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Осьвращения.является осью вращения, то объём находится по формуле:СкачПоскольку осьаносanРешениеВыразимчерези найдем пределы интегрирования:Из условия задачи уже имеем:Теперь найдем верхний предел:tiGTU.ruНайдем объём правой области, как разность объёмов двух тел вращения:анИ в итоге получаем:осanНайдем объём левой области:Задача Кузнецов Интегралы 22-31СкачУсловие задачиУказание: Уравнение состояния газам,м,, гдем.РешениеПлощадь поршня:– давление,– объем.tiGTОбъём газа в процессе сжатия:U.ruЦилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным,определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимсявнутрь цилиндра на м (см.

рис.).Давление газа в процессе сжатия:Сила давления на поршень:СкачаносanПо определению элементарная работакДж.